전체 메트릭 공간

수학적 분석에서, $M$ 에 있는 점의 모든 Cauchy 시퀀스가 또한 $M$ 에 있는 한계를 갖는 경우 미터법 공간 $M$ 을 완전(또는 Cauchy 공간)이라고 부른다.

직관적으로 공간 내부 또는 경계에서 "점 누락"이 없으면 공간이 완성된다. 예를 들어, 합리적인 숫자의 집합은 완전하지 않다. 예를 들어, ${\sqrt {2}}$ ${\$ 그것으로부터 "누락"되기 ${\sqrt {2}}$ 때문이다. 그 집합에 수렴되는 합리적인 숫자의 Cauchy 시퀀스를 구성할 수 있지만(아래 추가 예 참조). "모든 구멍을 메우는 것"은 항상 가능한 것으로, 아래에 설명된 대로 주어진 공간을 완성하도록 이끈다.

정의

코치 수열

미터법

공간

(X,

d)

의 시퀀스

x 1,

x 2,

x 3,

…의 경우 모든 양의 정수 m,

n

>

N

에 대해 양의 정수

N이 있으면 Cauchy라고 부른다.

d (x m, x n) < r

.

팽창 상수^[1]

The expansion constant of a metric space is the infimum of all constants

{\textstyle \mu }

such that whenever the family

{\textstyle \left\{{\overline {B}}(x_{\alpha },\,r_{\alpha })\right\}}

intersects pairwise, the intersection

{\textstyle \bigc

ap _{\alpha }{\overline {B}(x_{\alpha }},\mu r_{\alpha }})

은

{\textstyle \bigcap _{\alpha }{\overline {B}}(x_{\alpha },\mu r_{\alpha })}

(는) 비어 있지 않다.

전체공간

미터법 공간

(X,

d)

은 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 충족되면 완료된다.

$X$ 에 있는 포인트의 모든 코치 시퀀스에는 $X$ 에도 있는 한계가 있다.
$X$ 의 모든 Cauchy 시퀀스는 $X$ 로 수렴된다( $즉$ , X의 어떤 점으로 수렴).
$(X,$ d $)$ 의 팽창 상수는 ≤ 2이다.^[1]
$X$ 의 지름이 0으로 되어 있는 비어 있지 않은 닫힘 부분 집합의 모든 감소 순서는 비어 있지 않은 교차점이 있다: F가 $닫혀 n$ 있고 비어 있지 않은 경우, F가 모든 $n$ 에 대해 $F n +1$ ⊆ $F n$ $,$ 그리고 $직경 \to 0$ 이면_n 모든 집합 $F$ 에_n $공통적$ 인 점 x ∈ $X$ 가 있다.

예

차이의 절대값으로 주어진 표준 미터법으로 합리적 숫자의 공간 Q는 완전하지 않다. $예$ 를₁ 들어 x = $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ 과 $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ + 1 $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ = $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ n $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ + 1 $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ . ${\displaystyle x_{n+1}={\frac{x_{n$ }}}{\ $frac{$ 1}:{ $n}}}}{\$ frac{1}{1 $}{n}}}}}}$ 에 $x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.$ 의해 정의된 시퀀스는 합리적인 숫자의 Cauchy 시퀀스지만 다음과 같은 어떤 합리적인 한계로 수렴되지 않는다. 시퀀스에 한계가 $x$ 인 $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ x $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ = $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ + $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ ${\$ x $={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ 을(를) 풀면 반드시 $x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}$ ² x = 2가 되지만 이 속성을 가진 합리적인 숫자는 없다. 그러나, 실수의 순서로 간주되어 비합리적인 ${\sqrt {2}}$ 2 ${\$ {\ $sqrt{2}}$ 에 수렴한다 ${\sqrt {2}}$

절대값 메트릭스를 사용하여 다시 열린간격( $0,1$ )도 완전하지 않다 $.$ $x$ 로_n 정의된 시퀀스 = 1/n은 Cauchy이지만 주어진 공간에 제한이 없다. 그러나 닫힌 간격 $[0,1]$ 이 완료되었다. 예를 들어 주어진 시퀀스는 이 간격에 한계가 있고 한계는 0이다.

실수의 공간 R과 복잡한 숫자의 공간 C(절대값으로 주어진 측정기준 포함)가 완성되어 있으며, 유클리드 공간ⁿ R도 통상적인 거리 측정기준이 있다. 반대로 무한 차원 규범 벡터 공간은 완전할 수도 있고 완전하지 않을 수도 있다. 완성된 공간은 바나흐 공간이다. 닫히고 경계된 간격으로 연속적인 실질 가치 함수의 공간 C $[a,$ $b]$ 는 바나흐 공간이며, 따라서 우월적 규범에 관한 완전한 메트릭 공간이다. 그러나, 우월적 규범은 ( $a,$ $b$ )에 대한 연속함수의 공간 $C (a$ , b $)$ 에 대한 규범을 제공하지 않는다 $.$ 왜냐하면 그것은 무한함수를 포함할 수 있기 때문이다. 대신에, 콤팩트 컨버전스의 위상과 함께, C $(a,$ $b)$ 는 프레셰트 공간의 구조, 즉 토폴로지를 완전한 번역-상변량 측정법으로 유도할 수 있는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간의 구조를 부여받을 수 있다.

p-adic 숫자의 공간 Q는_p 소수 $p$ 에 대해 완성된다. 이 공간은 R이 일반적인 메트릭스로 Q를 완료하는 것과 같은 방법으로 p-adic 메트릭으로 Q를 완료한다.

$S$ 가 임의의 집합인 경우, 시퀀스 $(x n)$ 와 ( $y n)$ 사이의 $거리$ 를 1 $/ N$ 으로 $정의$ 하면 S의 모든 시퀀스의 $설정 N$ S가 완전한 메트릭 공간이 되고, $여기$ 서 $N$ 은_N $x$ 가_N y와 구별되는 가장 작은 인덱스, 또는 그러한 인덱스가 없는 경우 $0$ 이 된다. 이 공간은 이산 공간 $S$ 의 셀 수 있는 수의 복사본의 산물에 대해 동형이다.

완성된 리만 다지관은 지오데틱 다지관이라고 불린다. 완전성은 홉프-리노우 정리로부터 따온다.

몇 가지 정리

모든 소형 미터법 공간은 완전하지만, 완전한 공간이 작을 필요는 없다. 사실, 미터법 공간은 완전하고 완전히 경계된 경우에만 압축된다. 이것은 하이네-보렐 정리의 일반화로서, $R$ 의ⁿ 어떤 폐쇄적이고 경계된 하위 $공간$ S는 압축적이므로 완전하다고 기술하고 있다.^[2]

$(X,$ $d)$ 완전한 메트릭 공간이 되도록 한다. $A$ ⊆ $X$ 가 닫힌 세트라면 $A$ 도 완성된다.^[3] 미터법 $공간$ (X, $d)$ 이 되도록 한다 $.$ $A$ ⊆ $X$ 가 완전한 서브스페이스라면 $A$ 도 닫힌다.^[4]

$X$ 가 집합이고 $M$ 이 완전한 메트릭스 공간이라면 $X$ 에서 $M$ 까지의 모든 경계함수 F의 $설정$ $B(X,$ $M)$ 는 완전한 메트릭스 공간이다. 여기서 우리는 거리를 $B(X,$ $M)$ 로 정의하고, $M$ 의 거리(우월성 규범)를 사용한다.

d(f,g)\equiv \sup \left\{d[f(x),g(x)]:x\in X\right\}

$X$ 가 위상학적 공간이고 $M$ 이 완전한 메트릭 공간이라면 $X$ 에서 $M$ 까지의 $모든$ 연속적인 경계 함수로 구성된 설정 $C b (X,$ $M)$ 는 $B(X,$ $M)$ 의 닫힌 하위 공간이며 따라서 또한 완전하다.

바이어 범주 정리는 모든 완전한 미터 공간은 바이어 공간이라고 말한다. 즉, 그 공간의 어딘지 모를 밀도 높은 하위 집합들의 결합은 텅 빈 내부를 가지고 있다.

바나흐 고정점 정리는 완전한 미터법 공간에 대한 수축 매핑이 고정점을 인정한다고 명시하고 있다. 고정점 정리는 바나흐 공간과 같은 완전한 미터법 공간에 대한 역함수 정리를 증명하기 위해 자주 사용된다.

정리^[5](C) Ursescu) — $X$ 를 완전한 미터 공간으로 하고 $S 1,$ $S 2,$ …을 $X$ 의 하위 집합의 순서가 되게 한다.

If each $S i$ is closed in $X$ then ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$ .
If each $S i$ is open in $X$ then ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)}$ .

완성

모든 미터법 공간 M의 경우, M을 밀도 하위 공간으로 포함하는 전체 미터법 공간 M³(M으로도 표시됨)을 구성할 수 있다. N이 완전한 메트릭스 공간이고 f가 M에서 N까지의 균일하게 연속되는 함수라면, F를 확장하는 M′에서 N까지의 고유한 균일 연속 함수 f′가 존재한다. 공간 M'은 이 속성(M이 포함된 모든 전체 메트릭 공간 중)에 의해 등계까지 결정되며, M의 완료라고 불린다.

M의 완성은 M의 Cauchy 시퀀스의 동등성 등급 집합으로 구성될 수 있다. M에서 두 개의 Cauchy 시퀀스 x = (x_n) 및 y = (y_n)에 대해 우리는 이들의 거리를 다음과 같이 정의할 수 있다.

d(x,y)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)

(실수가 완전하기 때문에 이 한계가 존재한다.) 두 개의 서로 다른 Cauchy 시퀀스의 거리가 0일 수 있기 때문에 이것은 단지 가성계일 뿐 아직 미터법은 아니다. 그러나 "Have distance 0"은 모든 Cauchy 시퀀스의 집합에 대한 동등성 관계이며, 동등성 클래스 집합은 미터법 공간, 즉 M의 완성이다. 원래 공간은 M에서 x로 수렴되는 순서의 동등성 등급(즉, 상수값 x를 갖는 순서를 포함하는 동등성 등급)을 가진 M'의 요소 x의 식별을 통해 이 공간에 내장된다. 이것은 필요에 따라 밀도가 높은 하위 공간에 대한 등위계를 정의한다. 그러나 이 구조는 실제 숫자의 완전성을 명시적으로 사용하므로 합리적인 숫자의 완성에는 약간 다른 처리가 필요하다는 점에 유의하십시오.

칸토어의 실제 숫자의 구성은 위의 구성과 유사하며, 실제 숫자는 거리를 측정하기 위해 통상적인 절대값을 사용하여 합리적인 숫자의 완성이다. 또 다른 미묘함은 실수의 완전성을 그들 자신의 구성에서 이용하는 것이 논리적으로 허용될 수 없다는 것이다. 그럼에도 불구하고 Cauchy 시퀀스의 동등성 클래스는 위와 같이 정의되며, 동등성 클래스 세트는 하위 필드로서 합리적인 숫자를 가진 필드임을 쉽게 알 수 있다. 이 분야는 완전하고, 자연적인 전체 순서가 인정되며, 완전히 순서가 정해진 고유의 전체 필드(이형성까지)이다. 실수의 영역으로 정의된다(자세한 내용은 실수의 구성 참조). 이러한 식별을 실제 숫자로 시각화하는 한 가지 방법은 주어진 실제 한계를 갖기 위해 "생각"한 합리적인 숫자의 Cauchy 시퀀스로 구성된 동등성 등급이 해당 실제 숫자로 식별되는 것이다. 십진 확장 자르기에서는 관련 동등성 등급에서 Cauchy 시퀀스를 하나만 선택할 수 있다.

prime p의 경우 p-adic 번호는 다른 메트릭에 대한 합리적인 숫자를 완성함으로써 발생한다.

초기 완성 절차를 표준화된 벡터 공간에 적용하면 그 결과는 원래 공간을 촘촘한 서브공간으로 포함하고 있는 바나흐 공간이며, 내제품 공간에 적용하면 원래 공간을 촘촘한 서브공간으로 포함하는 힐버트 공간이 된다.

지형학적으로 완전한 공간

완전성은 메트릭의 속성이며 위상이 아니다. 즉 완전한 메트릭 공간이 완전하지 않은 공간과 동질적일 수 있다는 뜻이다. 실수에 의해 예를 제시하는데, 실수는 완전하지만 개방 간격 $(0,1$ )에 동형이며 $,$ 완전하지 않다.

토폴로지에서는 주어진 토폴로지를 유도하는 최소 하나의 완전한 메트릭이 존재하는 완전히 측정 가능한 공간을 고려한다. 완전히 측정 가능한 공간은 일부 전체 메트릭 공간의 개략적인 부분 집합의 교차점으로 기록될 수 있는 공간으로 특징지어질 수 있다. 바이어 범주 정리의 결론은 순전히 위상학적이기 때문에 이러한 공간에도 적용된다.

완전히 메트리가 가능한 공간은 종종 위상학적으로 완전하다고 불린다. 그러나 측정기준은 완전성에 대해 말할 수 있는 위상학적 공간에서 가장 일반적인 구조가 아니기 때문에(대안 및 일반화 섹션 참조) 후자는 다소 자의적이다. 실제로 일부 저자들은 위상학적 공간의 더 넓은 계층, 즉 완전히 통일 가능한 공간에 대해 위상학적으로 완전한 용어를 사용한다.^[6]

분리 가능한 전체 미터법 공간에 대한 위상학적 공간 동형형을 폴란드 공간이라고 한다.

대안 및 일반화

Cauchy 시퀀스는 일반적인 위상학 그룹에서도 정의될 수 있기 때문에, 완전성을 정의하고 공간의 완성을 구성하기 위해 미터법에 의존하는 대안은 그룹 구조를 사용하는 것이다. 이는 위상학적 벡터 공간의 맥락에서 가장 많이 나타나지만, 연속적인 "굴절" 연산의 존재만을 필요로 한다. 이 설정에서 두 점 x와 y 사이의 거리는 비교 d(x, y) < ε에서 미터법 d를 통한 실제 숫자 ε이 아니라 비교 x - y ∈ N에서 뺄셈을 통해 0의 열린 인접 N으로 측정된다.

이러한 정의의 일반적인 일반화는 일률적인 공간의 맥락에서 찾을 수 있는데, 여기서 수행자는 서로에게서 특정한 "거리"에 지나지 않는 모든 점 쌍의 집합이다.

또한 완전성의 정의에서 카우치 그물이나 카우치 필터에 의한 카우치 시퀀스를 대체할 수도 있다. 모든 Cauchy net(또는 동등하게 모든 Cauchy 필터)에 X의 한계가 있으면 X를 complete라고 한다. 또한 메트릭 공간의 완료와 유사한 임의의 균일 공간에 대한 완료를 구성할 수 있다. Cauchy nets가 적용되는 가장 일반적인 상황은 Cauchy 공간이다; 이것들 역시 균일한 공간과 마찬가지로 완전성과 완성에 대한 개념을 가지고 있다.

참고 항목

카우치 공간
완료(알지브라)
완전한 균일 공간
완벽한 위상 벡터 공간 – 점차적으로 서로에게 가까워지는 지점이 항상 한 지점에 수렴되는 TVS
크나스터-타르스키 정리

메모들

^ ^a ^b Grünbaum, B. (1960). "Some applications of expansion constants". Pacific J. Math. 10 (1): 193–201. doi:10.2140/pjm.1960.10.193. Archived from the original on 2016-03-04.
^ Sutherland, Wilson A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. ISBN 978-0-19-853161-6.
^ "Archived copy". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)
^ "Archived copy". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)
^ Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.
^ 켈리, 문제 6.L, 페이지 208

참조

Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
Kreyszig, Erwin, 애플리케이션과 함께 도입 기능 분석(Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge, "실제 및 기능 분석" ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduction to functional analysis. Ramanujan, M.S. (trans.). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.

[Grünbaum-1] Grünbaum, B. (1960). "Some applications of expansion constants". Pacific J. Math. 10 (1): 193–201. doi:10.2140/pjm.1960.10.193. Archived from the original on 2016-03-04.

[2] Sutherland, Wilson A. (1975). Introduction to Metric and Topological Spaces. ISBN 978-0-19-853161-6.

[3] "Archived copy". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)

[4] "Archived copy". Archived from the original on 2007-06-30. Retrieved 2007-01-14.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)

[Zalinescu_2002_p._33-5] Zalinescu, C (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific. p. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

[6] 켈리, 문제 6.L, 페이지 208

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정의

예

몇 가지 정리

완성

지형학적으로 완전한 공간

대안 및 일반화

참고 항목

메모들

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