주 번들
Principal bundle수학에서 그것이 같은 방법으로 데카르트 곱, 주요한 다발 P{\displayst과 일부에서 데카르트의 제품은 그룹 G{G\displaystyle}과 공간 X{X\displaystyle}의 X× G{\displaystyle X\times G}의 근본적인 특색의 얘기하였다, 주역 bundle[1][2][3][4]는 수학적 개체입니다.P}은 yle을 갖춘.
제품 공간과 달리 주 번들은 선호되는 ,e (e의 아날로그가 없기 때문에, 일반적으로 두 번째 인X× → G 에 대한 투영을 일반화하는 투영은 없다t는 데카르트 제품에 대해 존재한다.그들은 또한 공간의 더 작은 조각에 그러한 구조를 정의함으로써 그러한 구조를 정의하려고 여러 자의적인 선택을 하더라도 제품 공간으로 실현되는 것을 막는 복잡한 위상들을 가지고 있을 수 있다.null
주요 번들의 일반적인 예는 벡터 번들 의 프레임 F() 인데 이는 각 포인트에 부착된 벡터 공간의 모든 정렬된 베이스로 구성되어 있다.이 경우 그룹 , 은 일반적인 선형 그룹으로, 일반적인 방식으로, 즉 기반 변화에 의해 오른쪽에 작용한다.벡터 공간의 순서적 기준을 선택할 수 있는 자연스러운 방법이 없기 때문에 프레임 묶음에는 아이덴티티 단면에 대한 표준적인 선택이 결여되어 있다.null
주요 번들은 위상과 미분 기하학 및 수학적 게이지 이론에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.그들은 또한 물리학에 응용하는 것을 발견했는데, 물리적인 게이지 이론의 기초적 프레임워크의 일부를 구성한다.null
형식 정의
-번들(서 G 은 모든 위상학적 그룹을 나타내는 섬유 번들 : → X : together with a continuous right action such that preserves the fibers of (i.e. if then for all ) andacts freely and transitively (i.e. regularly) on them in such a way that for each and , the map sending to is a homeomorphism.특히 번들의 각 섬유는 그룹 그 자체에 동형이다.흔히 기본 공간 을(를) 하우스도르프(Hausdorff)로 하고 파라콤팩트(paracompact)로 해야 한다.null
그룹 작용은 : → : 의 섬유를 보존하기 때문에.과(와) 변환적으로 작용하며 G -action의 궤도는 정확히 이 섬유들이며 궤도 P 은 기저 공간 에 대한 동형이다 작용이 자유롭기 때문에 섬유는 G-tors 구조를 갖는다. -toror는 과(와) 동형이지만 ID 요소를 선호하는 선택이 없어 그룹 구조가 부족한 공간이다.null
-분들의 등가 정의는 G -bundle } : → X{\: 그룹이 왼쪽 곱셈으로 섬유에 작용하는 섬유 G을(를) 사용하여 P\섬유에서 G에 의한 오른쪽 곱셈은 구조 그룹의 작용과 통하므로 P P에 G 에 오른쪽 곱셈에 대한 불변적인 개념이 존재한다 의 섬유는 이 작업에 적합한 -tor가 된다.null
위의 정의는 임의의 위상학적 공간을 위한 것이다.또한 부드러운 다지관의 범주에서 주 {\ -번들을 정의할 수 있다여기 : → :은(는) 매끄러운 다지관 사이의 매끄러운 지도가 되어야 하고, 은(는) Lie 그룹이어야 , P{\에 대한 해당 동작은 매끄러워야 한다.null
예
- The prototypical example of a smooth principal bundle is the frame bundle of a smooth manifold , often denoted or . Here the fiber over a point is the set of all frames (i.e. ordered bases) for the tangent space 이러한 프레임에서 그룹 G L( ) 이 자유롭고 트랜시픽적으로 작용한다.이 섬유들은 G (,R ,\{을(를) 위해 자연적인 방법으로 접착할 수 있다
- 위의 예에 대한 변동은 리만 다지관의 정형 프레임 다발을 포함한다.여기서 프레임은 미터법에 대해 정형화된 것이 요구된다.구조 그룹은 직교 그룹 ( n) 입니다The example also works for bundles other than the tangent bundle; if is any vector bundle of rank over , then the bundle of frames of is a principal -bundle, sometimes denoted ( ) .
- 공간 : → p은(는) 구조 그룹이 있는 기본 번들임
- 단조로운 행동을 통해 의 섬유에 작용한다.특히 의 유니버설 커버는 구조 그룹 1( X) 을(를) 가진 보다 주요한 번들이다(범용 커버는 단순하게 연결되어 있으므로 1 ) \pi }(
- 을(를) Lie 그룹으로 하고 H 을(를) 닫힌 하위 그룹으로(필수 정규 분포는 아님) 두십시오.그러면 이(가) 주 H {\ (왼쪽) 코제트 공간/H {\ 서 G{\displaystyle G}에 대한 H H의 동작은 올바른 곱셈이다섬유는 의 왼쪽 코세츠(이 경우 고유 섬유로 식별된 것이 있으며, 이는 자연적으로 와 이형성이 있다.)이다.
- : → S 스타일 \: z z이 Z -번들은 뫼비우스 스트립의 관련 묶음이다.사소한 번들 외에 이것은 유일한 주체 2}} over S
- 투영 공간은 주요 번들의 몇 가지 흥미로운 예를 제공한다. -sphere 은(는) 실제 투영 공간 R \mathb \ {P}}}}}}의 2배 넓은 공간임을 기억하십시오The natural action of on gives it the structure of a principal -bundle over . Likewise, is a principal -bundle over complex projective space and is a principal -bundle over quaternionic projective space . We then have a각 양의 에 대한 기본 번들 시리즈
- 여기서 ( ) 은 유클리드 메트릭 포함)의 단위 구를 나타낸다. 모든 예에 대해 = 1 개의 경우 소위 Hopf 번들을 제공한다.
기본 속성
부분화 및 횡단면
어떤 섬유 묶음에 관한 가장 중요한 질문 중 하나는 그것이 사소한 것인지, 즉 제품 묶음에 대한 이형성적인지 여부다.주요 번들의 경우, 사소한 것에 대한 편리한 특성이 있다.
- 제안.주요 묶음은 글로벌 섹션을 승인하는 경우에만 사소한 것이다.
다른 섬유 묶음도 그렇지 않다.예를 들어 벡터 번들은 사소한 것이든 그렇지 않든 항상 0 섹션을 가지며 구면 번들은 사소한 것이 아니라 많은 글로벌 섹션을 인정할 수 있다.null
동일한 사실이 주요 번들의 지역적 사소한 일에도 적용된다.π : P → X를 주된 G번들(G-bundle)이 되게 한다.X의 개방형 집합 U는 U에 로컬 섹션이 있는 경우에만 로컬 사소한 부분화를 허용한다. 로컬 사소한 부분화가 주어짐
연관된 로컬 섹션을 정의할 수 있다.
여기서 e는 G의 정체성이다. 반대로 섹션 s에 주어진 1은 다음과 같이 사소한 것 ization을 정의한다.
P의 섬유에 대한 G 작용의 단순한 전이성은 이 지도가 편향됨을 보증하며, 또한 동형(同形)이기도 하다.지역 섹션에 의해 정의된 지역적 사소한 사항은 다음과 같은 의미에서 G 등가물이다.만약 우리가 쓴다면
형식상
그 다음 지도
만족시키다
따라서 등거리의 사소한 것이 섬유의 G-토르 구조를 보존한다.관련 국부 섹션의 측면에서 지도 φ은 다음에 의해 제공된다.
단면 정리의 로컬 버전은 주요 다발의 등가 지역적 사소한 사항이 현지 부분과 일대일 일치한다고 명시한다.null
P의 지역적 사소한 부분화({Ui}, {NOWi})를 고려할 때 각i U에 대한 지역 섹션이i 있다. 중복되는 부분은 구조 그룹 G의 작용에 의해 관련되어야 한다.사실, 그 관계는 전환 기능에 의해 제공된다.
이러한 전환 기능을 사용하여 지역 사소한 부분을 함께 접착함으로써 원래의 주요 번들을 재구성할 수 있다.이것은 섬유다발 건설 정리의 한 예다.어떤 x ui u uj u에 대해서도 우리는 가지고 있다.
매끄러운 기본 번들의 특성화
만약 : → 은(는) 평활 G -번들링 후 이(가) P에 자유롭고 적절하게 작용하여 궤도 공간 이(가)와 상이(가)가 상이(가 상이한 공간 ) X 이러한 특성이 매끄럽게 인쇄되는 것으로 나타났다씨팔 묶음즉, 이(가) 매끄러운 다지관이라면 은(는) 거짓말 그룹이고 : → {\: P 자유롭고 적절한 조치
- / 은(는) 부드러운 다지관이며,
- 자연 투영 : → P/ 스타일 :은(는) 부드러운 침하로,
- 은(는) 부드러운 G -bundle over 이다
개념의 사용
구조군 축소
G의 부분군 H가 주어질 경우, 섬유들이 코스메트 G/ G과(와) 동형인 다발 {\ 을(를) 고려할 수 있다 만약 새로운 다발이 구간을 허용한다면, 그 구간은 G }에서 로 구조 그룹의 축소라고 말할 수 있다. . 이 이름의 이유는 이 섹션의 값의 (섬유와이즈) 역 영상이 주 -bundle인 의 하위 번들을 형성하기 때문이다. 이(가) ID라면 의 한 섹션 자체가 ID로 구조 그룹을 축소하는 것이다.구조집단의 감소는 일반적으로 존재하지 않는다.null
다지관의 구조 또는 다지관의 구조 위에 번들 구조와 관련된 많은 위상학적 질문들은 구조집단의 감소 능력에 대한 질문으로 대체될 수 있다 에서 H 예를 들면 다음과 같다.
- A -dimensional real manifold admits an almost-complex structure if the frame bundle on the manifold, whose fibers are , can be reduced to the group
- An -dimensional real manifold admits a -plane field if the frame bundle can be reduced to the structure group .
- 다지관의 프레임 번들을 특수 직교 인 O( (, ) 로 축소할 수 있는 경우에만 다지관의 방향을 지정할 수 있다
- 다지관의 프레임 번들을 O( ) {에서 p () {n)로 더 축소할 수 있는 경우에만 다지관은 스핀 구조를 가지며, S 에 매핑한다.
또한 참고: -차원 다지관은 프레임 번들이 전역 섹션을 허용하는 경우에만 각 지점에서 선형적으로 독립적인 벡터 필드를 허용한다.이 경우 다지관을 병렬처리 가능한 것으로 부른다.null
관련 벡터 번들 및 프레임
If is a principal -bundle and is a linear representation of , then one can construct a vector bundle with fibre , as the quotient of the product 의 대각선 작용에 의한 V {\ V 은 관련 번들 구조의 특별한 경우로서 E은 에 대한 관련 벡터 번들이라고 불린다 V{\에 G의 faithful, so that is a subgroup of the general linear group GL(), then is a -bundle and provides a reduction of structure group of the frame bundle of from 에서 까지 주번들이 프레임 번들 이론의 추상적인 공식화를 제공하는 감각이다.null
주 번들의 분류
어떤 위상학적 그룹 G는 분류 공간 BG를 인정한다. 즉 일부 약하게 수축할 수 있는 공간의 G 작용에 의한 지수, 즉 호모토피 그룹이 소멸되는 위상학적 공간이다.분류 공간은 파라콤팩트 다지관 B 위에 있는 G 주 다발이 주 다발 EG → BG의 풀백에 이형성이라는 특성을 가지고 있다.[5]사실, 더 많은 것이 사실인데, 기본 B 위에 있는 주요 G 번들의 이형성 등급 집합이 지도 B → BG의 호모토피 클래스 집합과 동일시되기 때문이다.null
참고 항목
참조
- ^ Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. 35페이지
- ^ Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8. 42페이지
- ^ Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. 37페이지
- ^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 370쪽
- ^ Stasheff, James D. (1971), "H-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments", Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 247–272, 정리 2
원천
- Bleecker, David (1981). Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1.
- Jost, Jürgen (2005). Riemannian Geometry and Geometric Analysis ((4th ed.) ed.). New York: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
- Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
- Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.