주 번들

Principal bundle

수학에서 그것이 같은 방법으로 데카르트 곱, 주요한 다발 P{\displayst과 일부에서 데카르트의 제품은 그룹 G{G\displaystyle}과 공간 X{X\displaystyle}의 X× G{\displaystyle X\times G}의 근본적인 특색의 얘기하였다, 주역 bundle[1][2][3][4]는 수학적 개체입니다.P}은 yle을 갖춘.

  1. P 에서 의 작업으로 제품 공간에 대한 , g) =( , h) 과 유사하다.
  2. 에 대한 투영 제품 공간의 경우 첫 번째 요인, g)에 대한 투영일 뿐이며, (x , ) x.

제품 공간과 달리 주 번들은 선호되는 ,e (e의 아날로그가 없기 때문에, 일반적으로 두 번째 X× → G 대한 투영을 일반화하는 투영은 없다t는 데카르트 제품에 대해 존재한다.그들은 또한 공간의 더 작은 조각에 그러한 구조를 정의함으로써 그러한 구조를 정의하려고 여러 자의적인 선택을 하더라도 제품 공간으로 실현되는 것을 막는 복잡한 위상들을 가지고 있을 수 있다.null

주요 번들의 일반적인 예는 벡터 번들 프레임 F() 인데 이는 각 포인트에 부착된 벡터 공간의 모든 정렬된 베이스로 구성되어 있다.이 경우 그룹 , 일반적인 선형 그룹으로, 일반적인 방식으로, 즉 기반 변화에 의해 오른쪽에 작용한다.벡터 공간의 순서적 기준을 선택할 수 있는 자연스러운 방법이 없기 때문에 프레임 묶음에는 아이덴티티 단면에 대한 표준적인 선택이 결여되어 있다.null

주요 번들은 위상미분 기하학 및 수학적 게이지 이론에서 중요한 응용 분야를 가지고 있다.그들은 또한 물리학에 응용하는 것을 발견했는데, 물리적인 게이지 이론의 기초적 프레임워크의 일부를 구성한다.null

형식 정의

-번들(서 G 은 모든 위상학적 그룹을 나타내는 섬유 번들 : → X : together with a continuous right action such that preserves the fibers of (i.e. if then for all ) andacts freely and transitively (i.e. regularly) on them in such a way that for each and , the map sending to is a homeomorphism.특히 번들의 각 섬유는 그룹 그 자체에 동형이다.흔히 기본 공간 을(를) 하우스도르프(Hausdorff)로 하고 파라콤팩트(paracompact)로 해야 한다.null

그룹 작용은 : : 의 섬유를 보존하기 때문에.(와) 변환적으로 작용하며 G -action의 궤도는 정확히 이 섬유들이며 궤도 P 기저 공간 에 대한 동형이다 작용이 자유롭기 때문에 섬유는 G-tors 구조를 갖는다. -toror는 과(와) 동형이지만 ID 요소를 선호하는 선택이 없어 그룹 구조가 부족한 공간이다.null

-분들의 등가 정의는 G -bundle } : → X{\: 그룹이 왼쪽 곱셈으로 섬유에 작용하는 섬유 G을(를) 사용하여 P\섬유에서 G에 의한 오른쪽 곱셈은 구조 그룹의 작용과 통하므로 P P에 G 오른쪽 곱셈에 대한 불변적인 개념이 존재한다 의 섬유는 이 작업에 적합한 -tor가 된다.null

위의 정의는 임의의 위상학적 공간을 위한 것이다.또한 부드러운 다지관범주에서 주 {\ -번들을 정의할 수 있다여기 : :은(는) 매끄러운 다지관 사이의 매끄러운 지도가 되어야 하고, 은(는) Lie 그룹이어야 , P{\에 대한 해당 동작은 매끄러워야 한다.null

동그라미 위에 있는 비경쟁 Z/2Z 기본 번들.각 섬유에서 어느 점이 +1 또는 -1에 해당하는지 식별할 수 있는 명확한 방법은 없다.이 번들은 투영 π에 전체적으로 정의된 부분이 없기 때문에 비교가 안 된다.
  • The prototypical example of a smooth principal bundle is the frame bundle of a smooth manifold , often denoted or . Here the fiber over a point is the set of all frames (i.e. ordered bases) for the tangent space 이러한 프레임에서 그룹 G L( ) 이 자유롭고 트랜시픽적으로 작용한다.이 섬유들은 G (,R ,\{을(를) 위해 자연적인 방법으로 접착할 수 있다
  • 위의 예에 대한 변동은 리만 다지관정형 프레임 다발을 포함한다.여기서 프레임은 미터법에 대해 정형화된 것이 요구된다.구조 그룹은 직교 그룹 ( n) 입니다The example also works for bundles other than the tangent bundle; if is any vector bundle of rank over , then the bundle of frames of is a principal -bundle, sometimes denoted ( ) .
  • 공간 : p(는) 구조 그룹이 있는 기본 번들임
단조로운 행동을 통해 의 섬유에 작용한다.특히 유니버설 커버는 구조 그룹 1( X) (를) 가진 보다 주요한 번들이다(범용 커버는 단순하게 연결되어 있으므로 1 ) \pi }(
  • 을(를) Lie 그룹으로 하고 H 을(를) 닫힌 하위 그룹으로(필수 정규 분포는 아님) 두십시오.그러면 (가) H {\ (왼쪽) 코제트 공간/H {\ G{\displaystyle G}에 대한 H H의 동작은 올바른 곱셈이다섬유는 의 왼쪽 코세츠(이 경우 고유 섬유로 식별된 것이 있으며, 이는 자연적으로 와 이형성이 있다.)이다.
  • : → S 스타일 \: z z Z -번들은 뫼비우스 스트립관련 묶음이다.사소한 번들 외에 이것은 유일한 주체 2}} over S
  • 투영 공간은 주요 번들의 몇 가지 흥미로운 예를 제공한다. -sphere 은(는) 실제 투영 공간 R \mathb \ {P}}}}}}의 2배 넓은 공간임을 기억하십시오The natural action of on gives it the structure of a principal -bundle over . Likewise, is a principal -bundle over complex projective space and is a principal -bundle over quaternionic projective space . We then have a각 양의 에 대한 기본 번들 시리즈
여기서 ( ) 유클리드 메트릭 포함)의 단위 구를 나타낸다. 모든 예에 대해 = 1 개의 경우 소위 Hopf 번들을 제공한다.

기본 속성

부분화 및 횡단면

어떤 섬유 묶음에 관한 가장 중요한 질문 중 하나는 그것이 사소한 것인지, 즉 제품 묶음에 대한 이형성적인지 여부다.주요 번들의 경우, 사소한 것에 대한 편리한 특성이 있다.

제안.주요 묶음은 글로벌 섹션을 승인하는 경우에만 사소한 것이다.

다른 섬유 묶음도 그렇지 않다.예를 들어 벡터 번들은 사소한 것이든 그렇지 않든 항상 0 섹션을 가지며 구면 번들은 사소한 것이 아니라 많은 글로벌 섹션을 인정할 수 있다.null

동일한 사실이 주요 번들의 지역적 사소한 일에도 적용된다.π : P X를 주된 G번들(G-bundle)이 되게 한다.X개방형 집합 UU에 로컬 섹션이 있는 경우에만 로컬 사소한 부분화를 허용한다. 로컬 사소한 부분화가 주어짐

연관된 로컬 섹션을 정의할 수 있다.

여기서 eG정체성이다. 반대로 섹션 s에 주어진 1은 다음과 같이 사소한 것 ization을 정의한다.

P의 섬유에 대한 G 작용의 단순한 전이성은 이 지도가 편향됨을 보증하며, 또한 동형(同形)이기도 하다.지역 섹션에 의해 정의된 지역적 사소한 사항은 다음과 같은 의미에서 G 등가물이다.만약 우리가 쓴다면

형식상

그 다음 지도

만족시키다

따라서 등거리의 사소한 것이 섬유의 G-토르 구조를 보존한다.관련 국부 섹션의 측면에서 지도 φ은 다음에 의해 제공된다.

단면 정리의 로컬 버전은 주요 다발의 등가 지역적 사소한 사항이 현지 부분과 일대일 일치한다고 명시한다.null

P의 지역적 사소한 부분화({Ui}, {NOWi})를 고려할 때 i U에 대한 지역 섹션i 있다. 중복되는 부분은 구조 그룹 G의 작용에 의해 관련되어야 한다.사실, 그 관계는 전환 기능에 의해 제공된다.

이러한 전환 기능을 사용하여 지역 사소한 부분을 함께 접착함으로써 원래의 주요 번들을 재구성할 수 있다.이것은 섬유다발 건설 정리의 한 예다.어떤 x ui u uj u에 대해서도 우리는 가지고 있다.

매끄러운 기본 번들의 특성화

만약 : (는) 평활 G -번들링 이(가) P에 자유롭고 적절하게 작용하여 궤도 공간 이(가)와 상이(가)가 이(가 상이한 공간 ) X 이러한 특성이 매끄럽게 인쇄되는 것으로 나타났다씨팔 묶음즉, (가) 매끄러운 다지관이라면 (는) 거짓말 그룹이고 : {\: P 자유롭고 적절한 조치

  • / (는) 부드러운 다지관이며,
  • 자연 투영 : → P/ 스타일 :(는) 부드러운 침하로,
  • (는) 부드러운 G -bundle over 이다

개념의 사용

구조군 축소

G의 부분군 H가 주어질 경우, 섬유들이 코스메트 G/ G과(와) 동형인 다발 {\ 을(를) 고려할 수 있다 만약 새로운 다발이 구간을 허용한다면, 그 구간은 G }에서 구조 그룹의 축소라고 말할 수 있다. . 이 이름의 이유는 이 섹션의 값의 (섬유와이즈) 역 영상이 주 -bundle인 의 하위 번들을 형성하기 때문이다. 이(가) ID라면 한 섹션 자체가 ID로 구조 그룹을 축소하는 것이다.구조집단의 감소는 일반적으로 존재하지 않는다.null

다지관의 구조 또는 다지관의 구조 위에 번들 구조와 관련된 많은 위상학적 질문들은 구조집단의 감소 능력에 대한 질문으로 대체될 수 있다 에서 H 예를 들면 다음과 같다.

Möbius E{\}의 프레임 F() 은(는) 비삼위 Z Z{\ -번들 위에 있다.
  • A -dimensional real manifold admits an almost-complex structure if the frame bundle on the manifold, whose fibers are , can be reduced to the group
  • An -dimensional real manifold admits a -plane field if the frame bundle can be reduced to the structure group .
  • 다지관의 프레임 번들을 특수 직교 O( (, ) 로 축소할 수 있는 경우에만 다지관의 방향을 지정할 수 있다
  • 다지관의 프레임 번들을 O( ) {에서 p () {n)로 더 축소할 수 있는 경우에만 다지관은 스핀 구조를 가지며, S 매핑한다.

또한 참고: -차원 다지관은 프레임 번들이 전역 섹션을 허용하는 경우에만 각 지점에서 선형적으로 독립적인 벡터 필드를 허용한다.이 경우 다지관을 병렬처리 가능한 것으로 부른다.null

관련 벡터 번들 및 프레임

If is a principal -bundle and is a linear representation of , then one can construct a vector bundle with fibre , as the quotient of the product 의 대각선 작용에 의한 V {\ V 관련 번들 구조의 특별한 경우로서 E 에 대한 관련 벡터 번들이라고 불린다 V{\ Gfaithful, so that is a subgroup of the general linear group GL(), then is a -bundle and provides a reduction of structure group of the frame bundle of from 에서 까지 주번들이 프레임 번들 이론의 추상적인 공식화를 제공하는 감각이다.null

주 번들의 분류

어떤 위상학적 그룹 G분류 공간 BG를 인정한다. 즉 일부 약하게 수축할 수 있는 공간의 G 작용에 의한 지수, 호모토피 그룹이 소멸되는 위상학적 공간이다.분류 공간은 파라콤팩트 다지관 B 위에 있는 G 주 다발이 주 다발 EGBG의 풀백에 이형성이라는 특성을 가지고 있다.[5]사실, 더 많은 것이 사실인데, 기본 B 위에 있는 주요 G 번들의 이형성 등급 집합이 지도 B → BG의 호모토피 클래스 집합과 동일시되기 때문이다.null

참고 항목

참조

  1. ^ Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6. 35페이지
  2. ^ Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8. 42페이지
  3. ^ Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. 37페이지
  4. ^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 370쪽
  5. ^ Stasheff, James D. (1971), "H-spaces and classifying spaces: foundations and recent developments", Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 247–272, 정리 2

원천