민코스키 기능

수학에서 기능분석 분야에서 민코프스키 기능이나 게이지 기능은 선형 공간의 거리 개념을 회복하는 기능이다.

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 실제 또는 복잡한 벡터 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$의 하위 집합인 경우 $K$ ${\displaystyle K}$의 민코스키 기능 또는 게이지는 함수 ${\displaystyle P_{}}$: ${\displaystyle X}$ →${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystystyle p_{K}:$로 정의된다$$.$X\to [0,\fully ],}$은(는) 확장된 실수에 의해 정의되며$$

여기서 빈 집합의 최소값은 양의 무한도 ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\$\,}($$$이것$은 p ${\displaystyle K_{}}$ ( x$){\displaystyle p_{K}(x)})$로 정의된다.민코스키 함수는 항상 음이 아닌($p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle p_{K}\geq$ 0$\}$을 의미), $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}x}$) ${\displaystyle p_{K}(x)}$는{> : ${\r>:x\in RK\}}}}$이 비어 있지 않은 경우에만 실제 숫자다$$.음수가 아닌 이 특성은 음수 값을 허용하는 하위 선형 함수 및 실제 선형 함수 등과 같은 다른 종류의 함수와는 대조적이다.

기능적 분석에서, K{K\displaystyle}보통(과 같은 흡수를 X,{\displaystyle X,}의 사례)모든 x∈ X에 가능하다고 보장할 것이다, 이{r∈ R:r>Kr 0, 탭 ∈}{\displaystyle\와 같이{r\in \mathbb{R}:r> 세트{x\in X\displaystyle,}, 0{\text{과}}x\i으로 추정된다.nrK\}${\displaystyle p_{}}$ K {\$displaystyle p_{K}$이(가) 실제 값을 갖게$$ 되므로 $}$이(가) 정확하게 비어 있지 않다.

더욱이 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 또한 이러한 속성이 ${\displaystyle p_{}}$ K ${\$가 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$에서 (실제 값) 세미몬이 될 것임을$$ 보증하기 때문에$$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 흡수 디스크와 $같은{\displaystyle }$ 더 많은 속성이 있다고 가정되는 경우가$$ 많다.X{X\displaystyle}은 민코프 스키 어떤 부분 집합 K{K\displaystyle}X의{)∈ X:p())<1}을 만족시키{X\displaystyle}기능에 ⊆ K⊆{)∈ X:p())≤ 1}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, 1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p())\leq 1\}}(모든 3의 반드시가 흡수한다.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ 및$$ 첫 번째 및 마지막도 디스크).따라서 모든 세미노름(순전히 대수적 속성으로 정의되는 함수)은 흡수 디스크(특이하지 않게)와 연관될 수 있고, 반대로 모든 흡수 디스크는 그 밍코프스키 기능(필수적으로 세미노름)과 연관될 수 있다.세미노름, 밍코우스키 기능, 흡수 디스크 사이의 이러한 관계는 밍코우스키 기능을 연구하여 기능 분석에 사용하는 주요 원인이다.특히 이러한 관계를 통해 민코프스키 함수들은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합의 특정 기하학적 특성을 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 함수의 특정 대수적 특성으로$$ "전환"할 수 있도록 한다.

민코프스키 기능은 나노정화 유체의 위상거동을 설명하기 위해 적용되었다.^[1]

정의

$K{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle K}$을(를) 실제 또는 복잡한 벡터 공간 $X$의 $하위$ 집합으로$$ 두십시오${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ X$.}$$K$ {\$displaystyle$ K} $또는$ K {\displaysty K$}$과(와$)$ 관련되거나$$ 유도된 민코스키 기능을 $P{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }],}$ ${\displaystypypypypyp_{K:$$X\to [0,\fully ],}$은(는) 확장된 실수에 의해 정의되며$$

여기서 빈 집합의 최소값은 ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\$즉, ${\displaystyle inf}$inf${\displaystyle }$= {${\displaystyle \inf \varnothing =\infty })$임을 상기하십시오.여기서{> : ${\displaystyle \{r}:0:x\in$ rK$\}}$은(는 { R: r >과 x K}. ${\displaystyle \{r\in \mathb {R} :0{r$}{\$text{} 및 }x\}.$$}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ≠ ${\displaystyle \mathrm{\{}}$ { { ${\displaystyle p_{K}(x)\neq \infit }$ 만약 {r>0: r ${\displaysty \{r>0:x\in rK\}$이 비어 있지 않은 경우에만 해당된다.R{\displaystyle \mathbb{R}의 산술 연산자}± ∞로 작동하도록 모두 0이 아닌 진짜− ∞<>에 r±∞:=0{\displaystyle{\frac{r}{\infty\pm}}:=0};r<>{\displaystyle \pm \infty,};∞. 0⋅ ∞{\displaystyle 제품은{\displaystyle-\infty<>r<, \infty.}확대할 수 있다.0\cdot \i$nfty }$과 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle 0\cdot$ -$\fty }$은(는) 정의되지 않은 상태로$$ 남아 있다.

게이지를 실제 값으로 설정하는 일부 조건

볼록 분석 분야에서는 $∞{\$의 값을 차지하는$$ 맵 p ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 반드시 문제가 되는 것은 아니다$$.However, in functional analysis ${\displaystyle p_{K}}$ is almost always real-valued (that is, to never take on the value of ${\displaystyle \,\infty \,}$), which happens if and only if the set ${\displaystyle \{r>0:x\in rK\}}$ is non-empty for every ${\displaystyle x\in X.}$

에서p K{\displaystyle p_{K}가}일 경우 실수를 사용한 하기 위한 X{X\displaystyle}의 기원 K{K\displaystyle}의 대수적 내부나 노심에 X에 속하는 것을[2]만약 K{K\displaystyle}X의 리콜은 이 의미를 내포하고{X\displaystyle,}가 무척 재미 있다{X\displaystyle}부족하다. 를t $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle 0\in$ K$,}$ 그러면$$ 원점은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 $있는{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle$K}의 대수적 내부에 속하므로$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$는 실제 값이다$$.$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 실제$$ 값일 때의 특성은 다음과 같다.

동기부여 사례

예 1

Consider a normed vector space ${\displaystyle (X,\ \,\cdot \,\ ),}$ with the norm ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ }$ and let ${\displaystyle U:=\{x\in X:\ x\ \leq 1\}}$ be the unit ball in ${\displaystyle X.}$ Then for every ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \Vert }$${\displaystyle$$}$ 따라서$$ 민코프스키 기능 p ${\displaystyle U_{}}$ ${\$$U{\displaystyle }$$}}$는 X . {\$displaystyle X.}$의 표준일 뿐이다.

예 2

$X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$을(를) 기본 스칼라 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ K${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {K}$을(를) 가진 위상이 없는 벡터 공간으로 두십시오$$$.$ $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle K\mathbb{}}$ ${\$$K}}$은(을)에서 선형 기능을 수행하도록$$ 두십시오$.$ ${\displaystyle a>0$을 고정하십시오$.$$}$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 세트로 설정$$

그리고 p ${\displaystyle K_{}}$ ${\$를 $K{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ K$.}$의 민코스키 기능으로 한다$$.$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ 함수에는 다음과 같은 속성이 있다$$.

1. 하위첨가성: ${\displaystyle p_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {}_{}}$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y).$$}$
2. 동일함: $모든{\displaystyle {}_{}}$ 스칼라의 $경우$ p ${\displaystyle K_{}}$( ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle K{}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p_{K}(sx)=$s$p_{K}(x)}.$ ${\displaystyle$ s$.}$
3. 음성이 아님: $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$≥ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle p_{K}\geq 0.}$

따라서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은${\displaystyle (}$는) $X{\displaystyle }$, {\$displaystyle$ X$}$에 유도 위상이 있는$$ 세미놈이다.이것은 "nice" 세트를 통해 정의된 민코스키 기능들의 특징이다.세미노름과 민코프스키 기능 사이에는 일대일 교감이 있다."좋음"이 정확히 의미하는 것은 아래 절에서 논한다.

표준에 대한 보다 강력한 요구 조건과는 달리 ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle p_{K}(x)=0}$은(는) $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle x=0$을 의미할 필요가$$ 없다는 점에 유의하십시오$.$$}}$ 위의$$ 예에서${\displaystyle }f{\displaystyle }$ .$${\$displaystyle f.}$의 커널에서$$ $nonzero{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x}$을(를) 취할 수 있으므로$$ 결과 위상은 Hausdorff일 필요가 없다.

게이지가 세미놈임을 보장하는 일반적인 조건

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle p_{K}(0)=0}$을(를) 보장하려면, $앞$으로 0${\displaystyle k}$K .$${\$displaystyle 0\in$ K$.}$로 가정한다.

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 세미노름으로 되기$$ 위해서는 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 디스크(즉, 볼록하고 균형잡힌)가 되고${\displaystyle }$X ,$${\$displaystyle X}$에 흡수되는 것으로 충분하며$$, $이$는${\displaystyle }$K .$${\$displaystystyle$ K$.}$에 가장 일반적인 가정이다.

보다 일반적으로 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 볼록하고 원점이 $K{\displaystyle }$, ${\displaystyle K,}$의 대수적 내부에 속한다면, ${\displaystyle p_{}}$ K$${\$displaystyle p_{K}$는${\displaystyle }$X ,$${\$displaystytle$ X$}$에 음이 아닌 하위 선형으로, 특히$$ 아첨성과 양의 동질성을 내포한다.If ${\displaystyle K}$ is absorbing in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle p_{[0,1]K}}$ is positive homogeneous, meaning that ${\displaystyle p_{[0,1]K}(sx)=sp_{[0,1]K}(x)}$ for all real ${\displaystyle s\geq 0,}$ where ${\displaystyle [0,}$X{X\displaystyle}에 긍정적인 단일 민족이다 만약 q{\displaystyle q}은 비음의 실수를 사용한 기능, 다음 세트 U:)({\displaystyle U:=\{x\in X:q())<, 1\}}와 D1]K){tk:t∈[0,1], k∈ K}.{\displaystyle[0,1]K=\{tk:t\in[0,1],k\in K\}.}:={)∈ X:q(x.[4])≤ 1}${\displaystyle D:=\{x\in X:q(x)\leq 1\}}$ satisfy ${\displaystyle [0,1]U=U}$ and ${\displaystyle [0,1]D=D;}$ if in addition ${\displaystyle q}$ is absolutely homogeneous then both ${\displaystyle U}$ and ${\displaystyle D}$ are balanced.^[4]

흡수 디스크 게이지

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 세미몬임을 보장하기$$ 위해$$ 세트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 배치된 가장 일반적인 요구 사항은 K ${\displaystyle$ $K$$}$이(가) $X{\displaystyle }$.${\displaystyle$ X$.}$의 흡수식 디스크임을$$ 확인하는 것이다. 이러한 가정이 얼마나 공통적인가에 따라$$, 민코프스키 ${\displaystyle {기능}_{}}$ P$${\$displays$.$이제{\displaystyle }$ K {\$displaystyle K}$이(가$)$ 흡수 디스크일$$ 때$$ $tyle p_{K}$를 조사한다.위에서 언급한 모든 결과는 $K{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ K$,}$에 대해 거의 (있는 경우) 가정을 하지 않았기 때문에 이 특별한 경우에 적용할$$ 수 있다.

대수적 특성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 실제 또는 복잡한 벡터 공간으로 하고$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 흡수 디스크로$$ 두십시오.

• ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는$)$ X . {\$displaystyle$ X$.}$에 있는 세미놈이다.
• ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$은(는) K ${\displaystyle K}$이(가) 비삼각 벡터 하위 공간을 포함하지 않는$$ 경우에만$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 표준이다.^[5]
• ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$= ${\displaystyle \frac{1초}{}{}_{}}$ p ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ 스칼라 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s\neq 0.}$
• $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J\subseteq K}$의 흡수 디스크인$$ 경우 $P$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle p_{K}\leq p_{J}.$$}$
• 만약 K{K\displaystyle}은{)∈ X:p())<1}⊆ K⊆{)∈ X:p())≤ 1}{\displaystyle\와 같이{x\in X:p())<, 1\}\, \subseteq\와 같이 만족하는;K\, \subseteq\;\{x\in X:p())\leq 1\}}그때 K{K\displaystyle}X{X\displaystyle}에 및 p)pK,{\displaystyle p=p_{K},가 무척 재미 있}이 p.K.{$\displaystyle p_{K}}$는 $K{\displaystyle }$; ${\displaystyle$ K$;}$와 $연관$된 Minkowski 기능, 즉 K . ${\displaystyle$ K$.}$의 게이지인 것이다${\displaystyle .}$
  • In particular, if ${\displaystyle K}$ is as above and ${\displaystyle q}$ is any seminorm on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle q=p}$ if and only if ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\;\subseteq \;K\;\subseteq \;\{x\in X:q(x)\leq 1\}.$$}$^[6]
• $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$이(가) ()< 1 ${\displaystyle p_{K}(x)<1}$을(를) 충족하면$$ $x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$. ${\displaystyle$ x$\in K.}$

위상학적 특성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) (실제 또는 복잡한) 위상 벡터 공간(TV)이라고$$ 가정하고(필수적으로 Hausdorff 또는 로컬 볼록스는 아님) K ${\displaystyle K}$을(를) $X{\displaystyle }$ .${\displaystyty$ X}의 흡수 디스크로$$ 두십시오$$$.$

어디 Int X⁡ K(_{X}K}은 위상적인 인테리어와 당분이나 지방 말고도 X⁡ K(_{X}K}K{K\displaystyle}의 X를 위상.{X\displaystyle}[7]가장 중요한 것이 pK{\displaystyle p_{K}}지속적인 것으로 추정되지 않았다n$또는{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$이(가) 위상학적 특성을 가지고$$ 있다고 가정했다.

$더욱이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {민코프스키}_{}}$ 기능 p ${\displaystyle K_{}}$ ${\$$displaystyle$ $p_{K}$는 $X{\displaystyle .}$${\$$displaystyle$ $X}$의^[7][7] 원점 부근일 경우에만$$ 연속된다$.$

세트의 최소 요구 사항

이 섹션에서는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 $하위{\displaystyle }$ 집합 K ${\displaystyle K}$ 게이지의 가장 일반적인 경우를 조사한다. $X$ ${\displaystyle X}$에서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 흡수 디스크로 가정하는$$ 보다 일반적인 특수 사례는 위에서 논의되었다$$.

특성.

$이{\displaystyle }$ 섹션의 모든 결과는 K ${\displaystyle K}$이(가) 흡수 디스크인$$ 경우에 적용할 수 있다.

전체적으로 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 하위 집합이다.

예

1. If ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is a non-empty collection of subsets of ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle p_{\cup {\mathcal {L}}}(x)=\inf \left\{p_{L}(x):$$L\in {\mathcal {{L}\right\}$ x$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ ${\displaystyle \underset{}{x\mathcal{}}}$$\$${\displaystyle \underset{}{in}}$ X$,}$ 여기서$$ $\cup {\displaystyle }$ ${\displaystyle \underset{}{L}}$ :=${\displaystyle \underset{}{}}$= L.${\displaystyle \cup{\mathcal}=\bigcup_{L\in {\mathcal}L}$L.$}$
   • ${\displaystyle {\mathrm{따라서}}_{}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {\cup }_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 최소}${ ${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle L{}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \}}$ ${\$ $모든$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; p\_\{K\backslash cup\; L\}(x)=\backslash min\; \backslash left\backslash \{p\_\{K\}(x),p\_\{L\}(x)\backslash right\backslash \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ef809c91e62c8ea30279810b774f822574bd4f66"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:30.687ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="701">}}$ ${\displaystyle \in }$ $X.$
2. $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합이 비어 있지 않고 I${\displaystyle \mathrm{and<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="722">}}$ X ${\displaystyle I\subseteq X}$이(가) 충족되는 경우
   $${\displaystyle \left\{x\in X:p_{L}(x)<1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}\quad \subseteq \quad I\quad \subseteq \quad \left\{x\in X:p_{L}(x)\leq 1{\text{ for all }}L\in {\mathcal {L}}\right\}}$$

   
   그러면 ${\displaystyle P_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle supp}${ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle L}$∈ ${\displaystyle L\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$$L$\$in{\displaystyle }$ ${\mathcal{L}\right\}}$ 모든 x ${\displaystyle \in X}$. {\$displaystyle x\in$ X$.}$에 대해 L$\in$ {\mathcal}\right\}.

다음의 예는 격납건물( ⊆ e> 0( + e) ${\displaystyle (0,R]K\subseteq \bigcap _{e>0}(0,R+e)K}$이 적절할 수 있음을 보여준다.

예제:만약 R=0{R=0\displaystyle}, K)X{K=X\displaystyle} 다음(0, R을 생성하는 K)(0,0]X)∅ X){\displaystyle(0,R]K=(0,0]X=\varnothing X=\varnothing}지만⋂ e>0(0, e∅)K)⋂ e>0X)X,{\displaystyle \bigcap_{e>0}(0,e)K=\bigcap _{e>0}X=X,}그것은 그를 위한 가능한 것을 보여 준다. (0, R${\displaystyle ]}$ $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle R=0$ {\$displaystyle \bigcap _{e}(0,R+e)K}$의 적절한 하위 집합이 되도록$$ K${\$displaystyle R=0$.}$${\displaysty \blacksquare }$

다음 예를 들을 때 R=1격납 건물 제대로 할 수 있다;{\displaystyle R=1.}를 실질적인 R을;0.{\displaystyle R>0이 개괄될 지를 보여 준다.어떻게 x ∈ X{\displaystyle x\in이 일어나는지}은[0,1]K⊆ K, 아래의 예{[0,1]K\subseteq K\displaystyle,}하고 있다.$X}$은(는${\displaystyle )}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ K${\displaystyle {}_{}}$( x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1$}을$($를) 충족하지만$$ $x{\displaystyle }$∉${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ K${\displaystyle }$. ${\displaystyle x\not \in (0,1]K$)을 만족한다$.$$}$

Example: Let ${\displaystyle x\in X}$ be non-zero and let ${\displaystyle K=[0,1)x}$ so that ${\displaystyle [0,1]K=K}$ and ${\displaystyle x\not \in K.}$ From ${\displaystyle x\not \in (0,1)K=K}$ it follows that ${\displaystyle$$p_{K}(x)\geq 1.}$ That ${\displaystyle p_{K}(x)\leq 1}$ follows from observing that for every ${\displaystyle e>0,}$ ${\displaystyle (0,1+e)K=[0,1+e)([0,1)x)=[0,1+e)x,}$ which contains ${\displaystyle x.}$$$ 따라서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{K}(x)=1}$ 및$$ > ( + e) . ${\displaystyle x\in \bigcap _{e>0}(0,1+e)K.$$}$ However, ${\displaystyle (0,1]K=(0,1]([0,1)x)=[0,1)x=K}$ so that ${\displaystyle x\not \in (0,1]K,}$ as desired.${\displaystyle \blacksquare }$

밍코우스키 기능성을 특징짓는 긍정적 동질성

다음 정리를 보면 민코프스키 함수는 ${\displaystyle \mathrm{정확히}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{X}}$→${\displaystyle }$[ 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f:X\to [0,\fty ]},$ 널리 사용되는 특정한 순수 대수적 특성을 가진 함수라는$$ 것을 알 수 있다.이 정리를 확장하여 [ - ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ,${\displaystyle \mathrm{]}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\inflat$,\$inforty$ 값$$ 지도(예를 들어, 실제 가치 하위 선형 함수)의 특정 클래스를 민코프스키 함수로 특징 지을 수 있다.예를 들어, 모든 실제 동질 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle X\mathbb{}}$ → R ${\$선형 함수 등)를 특정 속성을 갖는 고유한 민코프스키 기능 측면에서 어떻게 기록할 수 있는지 설명하는 데 사용할 수 있다.

세미노름인 Minkowski 기능의 특징

위의 문장에서 바로 이어지는 이 다음 정리에서는 K ${\displaystyle K}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 흡수되고 있다고 가정하지 않고$$$$, 그 대신 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 세미노름일$$ 때 $0,$ $)K}$이 흡수되고$$ 있다고 추론한다.It is also not assumed that ${\displaystyle K}$ is balanced (which is a property that ${\displaystyle K}$ is often required to have); in its place is the weaker condition that ${\displaystyle (0,1)sK\subseteq (0,1)K}$ for all scalars ${\displaystyle s}$ satisfying ${\dis$$Playstyle$s =1$.}$ $K{\displaystyle }$ {\$displaystyle K}$을(를) 볼록해야 한다는 일반적인$$ 요구 조건도${\displaystyle }$약해져${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)$$K {\$displaystyle (0,1$)K}만 볼록해야$$ 한다.

포지티브 서브선형 기능 및 민코스키 기능

임의의 위상학적 벡터 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$에 있는 실제 값진 하위 $부가함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ f$:X\to \mathb {R}이($가) 균일하게 연속인 경우에만 원본에서 연속적인$$ 것으로 나타날 수 있으며, 여기서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystyf}$은 음수가 아닌 $경우{\displaystyle }$ f${\displaysty$ f$}$X에서 만일 V:=({\displaystyle 5:=\{x\in X:f())<, 1\}}은 개방되어 근처이다.{X\displaystyle}[8]만약 f:X→ R{\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}은 어둡고 저가 산적 f(0)=0으로,{\displaystyle f(0)=0,} 다음 f{\displaystyle f}은 continuou 연속적인 것인가.s, 그리고 만약절대값 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle$ f $:X\to [0,\fty )}$이(가) 연속인$$ 경우에만 해당된다.

양수하선함수는 삼각불평등을 만족시키는$$ $비음수동질함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$: X${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,$)[\displaystyle f:X\to [0,\fty )]$이다.{\displaystyle f,}만약 V:=({\displaystyle 5:=\{x\in X:f())<, 1\}}그때 f)pV.{\displaystyle f=p_{V}그것은 즉각적으로 결과 그러한 함수 f이하에서,.}Given K⊆ X, 민코프 스키 기능 pK{\displaystyle p_{K}{\displaystyle K\subseteq X,}}다음과 같습니다.is 하위 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 함수는 (0 , linear${\displaystyle }$)${\displaystyle K}$= X ${\displaystyle (0,\infit )K$$=X}$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (0,1)K}$이 볼록한$$ 경우에만 발생한다.

개방형 볼록 집합과 양의 연속형 하선함수 사이의 일치성

참고 항목

• 비대칭 표준 – 표준 개념의 일반화
• Cauchy의 함수 방정식 – 함수 방정식
• 가장 미세한 국소 볼록 위상
• 핀슬러 다지관
• 하드와이거 정리
• 휴고 하드와이거 – 스위스 수학자
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 형태학적 이미지 처리
• 표준(수학) – 벡터 공간에서의 길이
• 세미놈
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

메모들

참조

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