밸런스 세트

수학의 선형 대수학 및 관련 영역에서 벡터 공간(필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 절대값 함수${\displaystyle }$balanced $displaystyle \cdot$ $\})$에 있는 균형 잡힌 집합, 동그라미형 집합 또는 $디스크$는 모든 스칼라에 $대해$ ${\displaystyle S}$$$${\displaystyle \subseteq }$ S ${\\displaystystylease S}$이다.${\displaystyle }$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$을 만족하는$$ ${\displaystyle a}$ ${\$$displaystyle$ a$}.$$\leq 1.}$

세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 균형 잡힌 선체 또는 균형 잡힌 외피는 $S$. ${\displaystyle$ $S$$}$을(를) 포함하는 가장 작은 균형 세트임. 부분$$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 균형 잡힌 중심은 $S$. ${\displaystyle S.}$에 포함된 가장 큰 균형 세트임.

모든 위상 벡터 공간(TV)에 있는 원소의 모든 근린에는 원산지의 균형 잡힌 근린(balance)이 있고, 원지의 모든 볼록 근린에는 (TVS가 국소적으로 볼록하지 않더라도) 균형 잡힌 볼록한 근린(balance contain)이 있기 때문에 기능 분석에서 어디에나 있다.또한 이 근방은 공개 집합 또는 폐쇄 집합으로 선택할 수 있다.

정의

X ${\displaystyle X}$을(를) $실제{\displaystyle \mathbb{}}$ 또는$$$$복잡한 $숫자$의 K {\$displaystyle \$mathb {$K}$ 필드 위에 있는 벡터 공간이 되도록$$ 하십시오.

표기법

If ${\displaystyle S}$ is a set, ${\displaystyle a}$ is a scalar, and ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$ then let ${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$ and ${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$ and for any ${\displaystyle 0\leq r\l$$eq \infit ,}$ lets$$

denote, respectively, the open ball and the closed ball of radius ${\displaystyle r}$ in the scalar field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ centered at ${\displaystyle 0}$ where ${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$ and ${\displaystyle$$B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$ Every balanced subset of the field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ is of the form ${\displaystyle B_{\leq r}}$ or ${\displaystyle B_{r}}$ for some ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

밸런스 세트

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면 균형 집합 또는 균형 집합이라고 한다.

1. 정의:${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle s}$ S${\displaystyle }${\$displaystyle s\in S}$ 및 and$$ 1.을 ${\displaystyle \mathrm{만족}}$하는 모든 스칼라 $a{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle a$$}$에 $대한$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ S ${\$$displaystyle as\in$ $S$$}$
2. ${\displaystyle a}$ 모든 스칼라에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ $S$ S ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \le }$ 1.을 $만족$하는 ${\displaystyle$ a$}.$${\displaystyle$a$\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ S${\displaystyle }$, ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S,}$ 여기서$$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ 1 ${\displaystyle :=}$ { ${\displaystyle ak\mathbb{}}$K :${\displaystyle 1}$ 1${\displaystyle }$. ${\displaystyle B_{\leq$ 1$}=\a\in \mathb$ : $\mathb$ : $\eq 1\}.$$}$
4. $(\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^[1]
5. 모든 $s{\displaystyle }$for ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle$ s$\in$ S$,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle K\mathbb{}}$ s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ S$\cap$\cap $\mathb$ {$K}s=B_{\leq$ 1$}(S\cap \mathb {K}s)$$}$
   • ${\displaystyle \mathbb{K}}$ ${\displaystyle s}$= ${\displaystyle \mathrm{span}}$${\displaystyle }$${\displaystyle \{s}$$}$ s$}$ {\$displaystyle$$\mathb$ {$K}$s=\$operatorname {span} \span\}}$은($$는${\displaystyle )}$ 0$${\$displaystyle$ $0$$}$ 또는 1 {\$displaystystyle$$s{\displaystyle \mathrm{}}$$neq$ $0$$\})$ 치수 벡터 $서브공간$이다$.$
   • $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle K}$ s ${\displaystyle R:=S\cap \mathb {K}s}$인 경우$$ 위의 동등성은 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle R=B_{\leq 1}R$이 되며$,$ 이는$$ 집합이 균형을 이루려면 정확히 이전 조건이 된다.따라서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$은(는) 모든 $s{\displaystyle \mathrm{for}}$ S , ${\displaystyle$ s$\in S,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle K}$ s ${\displaysty A\cap \mathb {K}s}$이(가) 균형 잡힌 집합인$$ 경우에만(이전의$$ 정의 조건에 따라) 밸런싱된다.
6. ${\displaystyle \mathrm{모든<img\; alt="Y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f"\; style="vertical-align:\; -0.171ex;\; width:1.773ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="127">}\mathrm{1차원}}$ 벡터 하위 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \operatorname {span}$ S$,}$${\displaystyle }$s ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S\cap Y}$에 대해 균형 잡힌 집합이다$$(이 정의 조건 이외의 정의 조건에 따라).
7. For every ${\displaystyle s\in S,}$ there exists some ${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$ such that ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$ or ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.$$}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 볼록 세트인 경우 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

8. ${\displaystyle }$$a{\displaystyle }$ ${\displaystyle 모든}$ 스칼라에 대한$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ a} a${\displaystyle }$= 1${\displaystyle$ a $=1$을 만족하는$$ ${\displaystyle$ $a}$$}$^[2]

$K{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$인 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

9. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$은(의어${\displaystyle }$- ${\displaystyle S}$= S ${\displaystyle -S=S$ ${\displaystyle 및}{\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle S}$.${\displaystyle [0,1)S\subseteq$ S$.}$이다.

균형선체

${\displaystyle 발}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle$ X$,}$ 발 $subset$ S, ${\displaystyle \operatorname {bal} S$로 표시된$$ 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$의 균형 잡힌 선체는 다음과 같은 동등한 방법으로 정의된다$$.

1. 정의: ${\displaystyle \mathrm{bal}s}$ S$${\$displaystyle \operatorname {bal} S}$이(가) 가장 작음${\displaystyle (\subseteq }$ ${\$ $\backslash ,\})$ $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$이(가) 포함된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$의 균형 부분 집합
2. ${\displaystyle 발}$ ${\displaystyle \mathrm{bal}}$S ${\displaystyle \operatorname$ {$bal}$ $S}$은(는) $S{\displaystyle }$ .${\displaystyle S.}$을(를) 포함하는 모든 균형 잡힌 집합의 교차점이다.
3. ${\displaystyle \operatorname {bal}S=\bigcup _{ \leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal}S=B_{\leq 1}S.}$^[1]

균형핵

$발코어 ⁡$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle X,}$으로 표시된$$ $부분{\displaystyle }$ 집합 $S$의$$$균형$ 잡힌 코어는 다음과 같은 동등한 방법으로 정의된다$$.

1. 정의: ${\displaystyle \mathrm{발코어}}$core ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore}$ S$}$은(는${\displaystyle )}$ S .${\displaystyle$ $\,\subseteq$ $\backslash ,\}$의 균형 $잡힌{\displaystyle }$ 부분 집합이다$.$
2. ${\displaystyle \mathrm{발코어}}$ S ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$은(는) $S{\displaystyle }$.${\displaystyle S.}$의 모든 균형 하위 집합의 조합이다.
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$ if ${\displaystyle 0\not \in S}$ while ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{ a \geq 1}(aS)}$ if ${\displaystyle 0\in S.}$

예

• 빈 세트는 균형 잡힌 세트다.
• 실제 또는 복잡한 벡터 공간의 벡터 하위 공간은 균형 잡힌 집합이다.
• 규범화된 벡터 공간에서 원점을 중심으로 열린 공과 닫힌 공은 균형 잡힌 세트다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 세미노름(또는 표준)인$$ 경우$,{\displaystyle }$ 모든$$ ${\displaystyle \mathrm{상수}}$ c> ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ c$>0$에 대해 ${$ x${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle p}$( $){\displaystystyle \{x\in$ X$:p(x)\leq c\$c\c\c\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}이$$ 균형을 맞춘다.
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq$ X$}$이(가) 하위 집합이고 1 :{ K: ${\displaystyle B_{1}:=\a\in \mathb$ : \${\displaystyle {}_{}}$ {$K}$ : $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystystyled B_{1}S$}S$}$이 균형 세트인$$ 경우.
  • In particular, if ${\displaystyle U\subseteq X}$ is any balanced neighborhood of the origin in a topological vector space ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U\subseteq B_{1}U=\bigcup _{0< a <1}aU\subseteq U.}$
• $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 필드 실제 또는 복잡한 숫자이고$$ X${\displaystyle }$= K ${\$이$($가) $일반적$인 유클리드 규범과$$ 함께$$K {\$display \mathb$ {$K}$에 대한 정규 공간인 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$의 균형 하위 집합은 정확히 다음과 같다$$.^[3]
  1. ${\displaystyle \varnothing}$
  2. $(\displaystyle X}$
  3. ${\displaystyle \{0\}}$
  4. : < } {\$displaystyle \{x\in X: x <r\}$ 일부 실제 > 0 ${\displaystyle r>0}$
  5. ${\displaystyle \mathrm{일부}}$${\displaystyle \mathrm{실제}}$ > 0 > 0 ${\displaystyle \{x\in X:$x$\leq r\}}.$ ${\displaystyle r>0$. {\displaystyle r>${\displaystyle 0}$$.$$}$
• If ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ (${\displaystyle X}$ is a vector space over ${\displaystyle \mathbb {R} }$), ${\displaystyle B_{\leq 1}}$ is the closed unit ball in ${\displaystyle X}$ centered at the origin, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ is non-zero, and ${\displaystyle L:}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle L:=\mathb {R} x_{0}},$ 그러면$$ $R{\displaystyle }$ :=${\displaystyle }$B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ L$${\$displaystyle R:$$=B_{\leq 1}\cup L}$ is a closed, symmetric, and balanced neighborhood of the origin in ${\displaystyle X.}$ More generally, if ${\displaystyle C}$ is any closed subset of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$ then ${\displaystyle S:=B_{$$\leq 1}\cup C\cup(-C)}$은(는) $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$의 원점에 대한 폐쇄적이고 대칭적이며 균형 잡힌 동네로, 이 예는$$ 모든 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ 1. ${\displaystyle n\geq 1.}$에 대해$$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\\\$ {\$mathb{R}$로 일반화할 수 있다${\displaystyle \mathrm{.}}$
• 균형 잡힌 세트 제품군의 데카르트 제품은 해당 벡터 공간의 제품 공간에서 균형을 이룬다(동일한 필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$
• $복잡한{\displaystyle \mathbb{}}$ 숫자의$필드$인 C , {\displaystyle$\mathb$ {$C}$을$($를) 1차원 복합 벡터 공간으로 간주한다${\displaystyle .}$균형 잡힌 세트는 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$그 자체로$$ 빈 세트와 열린 디스크와 닫힌 디스크가 0을 중심으로 한다.대조적으로, 2차원 유클리드 공간에는 더 많은 균형 잡힌 집합이 있다: 출발지의 중간점이 있는 모든 선 세그먼트가 가능하다.$결과적$으로 C ${\$ {C$}과($와) ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$ {R$} ^$2}}은$$메스커 곱셈에 관한 한 완전히 다르다$$.
• Let ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ and let ${\displaystyle B}$ be the union of the line segment between ${\displaystyle (-1,0)}$ and ${\displaystyle (1,0)}$ and the line segment between ${\displaystyle (0,-1)}$ and ${\displaystyle (0,1).$$}$ 그러면$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 균형을 이루지만 볼록하거나 흡수하지는 않는다.단, ${\displaystyle \mathrm{span}}$ ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle \operatorname {span}B=X.$$}$
• Let ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ and for every ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$ let ${\displaystyle r_{t}}$ be any positive real number and let ${\displaystyle B^{t}}$ be the (open or closed) line segment between the points ${\displaystyle (\cos$$t,\sin t)}$ 및$$${\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \sin t}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle -(\cos$ t$,\sin t).$$}}$ 세트 = 0 < r t t t$<\$ B$=\bigcup _{0\leq t<}r_{t}B^{t}}}}}}}}$이 균형이 잡혀 흡수되지만 반드시 볼록한 것은 아니다.
• 밀폐된 세트의 균형 잡힌 선체를 닫을 필요는 없다.예를$$ 들어 X = ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle xy=1}$ 그래프(${\displaystyle }$= R 2 . ${\displaystyle$ X=\$mathb {R} ^{2}).$$}$
• 이 예는 볼록한 세트의 균형 잡힌 선체가 볼록하지 않을 수 있음을 보여준다(그러나 균형 잡힌 세트의 볼록한 선체는 항상 균형을 이룬다).예를$$ 들어, $X{\displaystyle }$:= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle$ $X:=\mathb {R} ^{2$}}: 볼록 $부분집합$을 $S{\displaystyle :=}$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, 1${\displaystyle }$]${\displaystyle \times }$ { $},$ {\$displaystyle$ S$:=[-1]\time \{1$\}}},$x$ - ${\}$ 축$$ 위에 놓여 있는$$ 수평 닫힌 선 세그먼트.The balanced hull ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ is a non-convex subset that is "hour glass shaped" and equal to the union of two closed and filled isosceles triangles ${\displaystyle T_{1}}$ and ${\displaystyle T_{2},}$ where ${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$ and ${\displaystyle T_{}}$${\displaystyle T_{1}}$ is the filled triangle whose vertices are the origin together with the endpoints of ${\displaystyle S}$ (said differently, ${\displaystyle T_{1}}$ is the convex hull of ${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$ while ${\displaystyle T_{2}}$ is the convex hull of ${\displaystyle (}$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$∪{${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$ )${\displaystyle }$} ${\디스플레이$ 스타일$(-S)\컵$\{($0,0)\}}}.$

충분한 조건

• 소형(완전 경계, 경계) 세트의 균형 잡힌 선체는 소형(완전 경계, 경계)이다.^[4]
• 균형 잡힌 세트의 볼록한 선체는 볼록하고 균형이 잡혀 있다(즉, 절대 볼록하다).그러나 볼록한 세트의 균형 잡힌 선체는 볼록하지 않을 수 있다(위의 역예가 제시된다.
• 균형 집합의 임의적인 조합은 균형을 이루며, 균형 집합의 임의적인 교차점에서도 마찬가지다.
• 균형 잡힌 세트의 스칼라 배수는 균형을 이룬다.
• 두 세트의 균형 잡힌 세트의 민코스키 합이 균형을 이루고 있다.
• 선형 연산자 아래 균형 잡힌 집합의 이미지는 다시 균형된 집합이다.
• 선형 연산자 아래의 균형 집합(코도메인)의 역 영상은 다시 균형 집합(도메인)이다.

균형 잡힌 이웃들

위상 벡터 공간에서는 균형 잡힌 집합의 폐쇄가 균형을 이룬다.^[5]${$ ${\displaystyle 0}$ } {\$displaystyle \{0\}}$의 조합과$$ 균형 잡힌 세트의 위상학적 내부가 균형을 이룬다.따라서 기원지의 균형 잡힌 근교의 위상학적 내부는 균형 잡힌 것이다.^{[5][proof 1]}However, ${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}: z \leq w \right\}}$ is a balanced subset of ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$ that contains the origin ${\displaystyle (0,0)\in X}$ but whose (nonempty) topological interior does not con원산지를 표시하기 때문에 균형 잡힌 세트가 아니다.^[6]

위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 기원의 모든 동네(존중, 볼록한 이웃)에는 기원의 균형 잡힌(존중, 볼록하고 균형 잡힌) 열린 동네가 들어$$ 있다.실제로 다음과 같은 건설은 그러한 균형 잡힌 세트를 생산한다.Given ${\displaystyle W\subseteq X,}$ the symmetric set ${\displaystyle \bigcap _{ u =1}uW\subseteq W}$ will be convex (respectively, closed, a neighborhood of the origin) whenever this is true of ${\displaystyle W.}$ It will be a balanced set if ${\displaystyle W}$ is a star shaped그 origin,[노트 1]에는 진정한 인스턴스, 경우 W{W\displaystyle}는 수막새와 0이 포함되어 있습니다. 특히{\displaystyle 0.}, 발신지의 W{W\displaystyle}은 볼록 이웃한 다음 원산지는 의⋂ ux1너 W{\displaystyle \bigcap_{ux}uW}가 될 것이다 균형 잡힌 볼록 근처이다.d서위상학적 내부는 기원지의 균형 잡힌 볼록이 될 것이다.^[5]

특성.

균형 집합의 속성

균형 잡힌 집합은 원점을 포함하는 경우에만 비어 있지 않다.정의에 따르면 세트는 볼록하고 균형 잡힌 경우에만 볼록하다.

• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가$)$ 균형을 이루면$$ ${\displaystyle 모든}$ 스칼라의 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle$ $a}$ 및 $b$ ${\displaystyle$ a$\leq$ $b$$,},$ ${\displaystyle B\mathrm{b<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; |a|\backslash leq\; |b|,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ca6550753637ae77e4e45ec70e27ee81eb61e8eb"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.56ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="508">}}$ B$${\$displaysty aB},$ ${\displaystyle \mathrm{그리고<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; aB\backslash subseteq\; bB\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/87a52970484415c0005e5aab070d9c6b1de22256"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:8.854ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="509">}}$ B${\displaystyle }$= ${\displaystyle B.}$ ${\displaystystyle aB= aB$.$}$
• If ${\displaystyle B}$ is a balanced subset of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle B}$ is absorbing in ${\displaystyle X}$ if and only if for all ${\displaystyle x\in X,}$ there exists ${\displaystyle r>0}$ such that ${\displaystyle x\in rB.$$}$^[2]
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) X ${\displaystyle X}$의 균형 부분 집합인 경우 ${\displaystyle \mathrm{B<img\; alt="X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="520">}}$ ${\displaystyle \operatorname {span}B.}$에서 B {\displaystystyle $B}$이(가) 흡수되고 있다$$.
• 모든 균형 집합은 별 모양(0)과 대칭 집합이다.
• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 균형 잡힌다고$$ 가정해 보십시오.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 1차원 벡터 하위 공간인$$ 경우 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cap }$ Y ${\displaystyle B\cap Y}$은(는) 볼록하고 균형 잡힌 것이다.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가)${\displaystyle \mathrm{span}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {span}$의 1차원 벡터 하위 공간인$$ 경우, ${\displaystyle \mathrm{B<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{span\}\; B\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/beb520995a775a555ec52686ae897b5cb3e194b7"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:6.815ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="554">}}$ ${\displaystyle \cap }$ Y ${\displaystyle$ $B$$\cap Y}$도 $Y{\displaystyle }$. ${\displaysty$ Y$.}$에서 흡수되고 있다$$.
• Suppose ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ is a balanced subset of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle x\in X.}$ Then ${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$ is a convex balanced neighborhood of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle \operatorname {span} x}$ wh이 0 또는 1차원 벡터 공간에는 하우스도르프 유클리드 위상이 부여된다.세트 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\cap \mathb {R}$ x$}$은 원점을 포함하는$$ 실제 벡터 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathb {R} x}$의 볼록 균형된 부분 집합이다$$.

균형 선체의 특성

• ${\displaystyle }$$a{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{bal}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle \mathrm{bal}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$) ${\$displaystyle $a$${\displaystyle .\}}$ X ${\displaystyle X}$의 $모든{\displaystyle }$ $부분$ 집합 S ${\displaystyle$ S$}$ 및 모든 $스칼라$a . {\$displaystystyle$ a$.}$에 대한 $a\displaysty$ a\$opername {bal}$ {bal$}{$bal}
• ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S}$ for any collection ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ of subsets of ${\displaystyle X.}$
• 어떤 위상학적 벡터 공간에서도 기원의 개방된 동네의 균형 잡힌 선체가 다시 열린다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) Hausdorff 위상학적 벡터 공간이고$$K {\$displaystyle$ K$}$이(^[7]$가$) X ${\displaystyle$ X$}$의 콤팩트 서브셋이면 $K$ ${\displaysty$ K$}$의 균형 잡힌 선체가 콤팩트하다$$.

균형 코어의 속성

만약 한 세트가 닫힌다면(존중하게, 볼록하고, 흡수하는 것, 기원의 주변) 그 균형 잡힌 핵심도 마찬가지다.

참고 항목

• 절대 볼록 세트
• 흡수 세트 – 임의의 지점에 도달하도록 "팽창"할 수 있는 세트
• 경계 집합(위상 벡터 공간) – 경계도의 일반화
• 볼록 세트 – 기하학에서 모든 선을 단일 선 세그먼트로 교차하는 세트
• 스타 도메인
• 대칭 집합
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

참조

교정쇄

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