벡터 필드

벡터 필드의 일부(sin y, sin x)

벡터 미적분과 물리학에서 벡터장은 공간의 ^[1]부분 집합에서 각 점에 벡터를 할당하는 것이다.예를 들어, 평면의 벡터 필드는 평면의 한 점에 각각 부착된 특정 크기와 방향을 가진 화살표 집합으로 시각화할 수 있습니다.벡터장은 예를 들어 공간 전체에 걸쳐 움직이는 유체의 속도와 방향, 또는 한 지점에서 다른 지점으로 변화할 때 자력이나 중력 같은 힘의 강도와 방향을 모델링하는 데 종종 사용됩니다.

미적분과 적분의 요소는 자연스럽게 벡터장으로 확장된다.벡터장이 힘을 나타낼 때, 벡터장의 선 적분은 경로를 따라 움직이는 힘에 의해 이루어진 작업을 나타내며, 이러한 해석 하에서 에너지의 보존은 미적분의 기본 정리의 특별한 경우로 나타난다.벡터장은 공간에서의 이동 흐름의 속도를 나타내는 것으로 유용하게 생각할 수 있으며, 이러한 물리적 직관은 발산(흐름의 체적 변화 속도를 나타내는)과 컬(흐름의 회전을 나타내는)과 같은 개념으로 이어진다.

좌표에서 n차원 유클리드 공간에서의 영역상의 벡터장은 영역의 각 점에 실수의 n-튜플을 관련짓는 벡터값 함수로 표현될 수 있다.벡터 필드의 이러한 표현은 좌표계에 따라 달라지며, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 전달될 때 명확한 변환 법칙이 있습니다.벡터장은 종종 유클리드 공간의 열린 부분 집합에서 논의되지만, 표면과 같은 다른 부분 집합에서도 의미가 있습니다. 여기서 각 점(접선 벡터)에서 표면에 접하는 화살표를 연관시킵니다.

보다 일반적으로, 벡터장은 작은 스케일로 유클리드 공간처럼 보이지만 큰 스케일로 더 복잡한 구조를 가진 미분 가능한 다양체에 정의된다.이 설정에서 벡터 필드는 매니폴드의 각 지점(즉, 매니폴드에 대한 접선 번들의 단면)에 탄젠트 벡터를 제공합니다.벡터 필드는 텐서 필드의 한 종류입니다.

정의.

유클리드 공간의 부분 집합 위의 벡터장

v(x, y) = -r과 같은 벡터 필드의 두 가지 표현입니다.화살표는 이산 지점의 필드를 나타내지만 필드는 어디에나 존재합니다.

$R$ 의ⁿ 부분 $집합$ S가 주어졌을 때 벡터장은 표준 데카르트 좌표 $(x 1, \dots,$ $x n)$ 에서 벡터 값 $함수$ V: $S$ → $R$ 로ⁿ 표현된다. $V$ 의 각 성분이 연속이면 $V$ 는 연속 벡터장이며, 보다 $일반적$ 으로 V의 $각$ 성분이 $k배$ 연속 미분 가능하면 V는 C $벡터장$ 이^k 된다.

벡터 필드는 n차원 ^[1]공간 내의 개별 점에 벡터를 할당하는 것으로 시각화할 수 있다.

2개의 $C-벡터 k$ $필드$ V, W가 $S$ 에 정의되어 있고 실값 $C-함수 k$ f가 $S$ 에 정의되어 있는 경우, 2개의 연산 스칼라 곱셈과 벡터 덧셈은

{\displaystyle(fV)(p):=f(p)V(p)}

(V+W)(p):=V(p)+W(p)

함수의 곱셈이 점 단위로 정의되는 C-함수의

k

링 위에 C-벡터

k

필드의 모듈을 정의합니다(예: f

(p)

: =

1

의_id 곱셈 항등식과 가환).

좌표 변환의 법칙

물리학에서 벡터는 다른 배경 좌표계에 대해 동일한 벡터를 측정할 때 그 좌표가 어떻게 변화하는지에 의해 추가로 구별된다.벡터의 변환 속성은 벡터를 단순한 스칼라 목록 또는 코브터와 기하학적으로 구별되는 엔티티로 구분합니다.

따라서, $벡터$ V의 성분이 다음과 같은 관점에서 ( $x 1, ...,$ $x n)$ 가 데카르트 좌표의 선택이라고 가정하자.

\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots,V_{n,x})

그리고 (y₁,y_n)가 다른 좌표계를 정의하는 x의_i n개의 함수라고 가정한다.그러면 변환 법칙을 만족시키기 위해 새 좌표에 있는 벡터 V의 성분이 필요합니다.

V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\frac y_{i}{\frac x_{j}}V_{j,x}

(1)

그러한 변환 법칙은 역변이라고 불린다.유사한 변환법칙은 물리학에서 벡터장을 특징짓는다.구체적으로 벡터장은 다른 좌표계와 관련된 변환법칙(1)의 적용을 받는 각 좌표계에서의 n개의 함수의 사양이다.

따라서 벡터 필드는 공간의 모든 점에 숫자 또는 스칼라를 연관짓는 스칼라 필드와 대조되며 좌표 변경 시 변환되지 않는 스칼라 필드의 단순한 목록과도 대조됩니다.

다지관의 벡터 필드

구면상의 벡터장

갑자기 다른 방향 벡터의 M의 각 점에 M{M\displaystyle}에 대한 미분 가능한 다양체 M{M\displaystyle}는 벡터장을 감안할 때 임무 좀 더 정밀하게, M{M\displaystyle}으로부터 접선 다발 TM{TM\displaystyle}에 F{F\displaystyle}은 매핑 벡터장 .[2]{M\displaystyle}. $p\circ F$ p $p\circ F$ F { $displaystyle$ p $\circ$ F $p\circ F$ }는 $p\circ F$ ID 매핑입니다. $p$ 서p { $displaystyle$ p $}$ 는 $p$ $T$ M{ $displaystyle$ TM $}$ 에서 $TM$ M { $displaystyle$ M $으$ )로의 투영을 나타냅니다.즉, 벡터 필드는 접선 번들의 섹션입니다.

대체 정의: $매니폴드$ M $({displaystyle$ M $}$ 의 $매끄러운$ 벡터 필드 X $M$ $({$ displaystyleX})는 $X$ 선형 $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ X $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ $m$ ) $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ C x ( M ) {displaystyle X $:$ $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ $^{\infty$ $}(M)\to$ C $^{\infty }(M)$ 로 $X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ $X$ X $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ g $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ X $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ + $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ ( $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ g $($ ) g {\ $displaystyle$ X( $fg$ ) = $FX(g)+X(f)$ g $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ (fg) g(f) g) g g(fg) = F(fg) = F( $f,g\in C^{\infty }(M)$ ) $f,g\in C^{\infty }(M)$ ） $f,g\in C^{\infty }(M)$ 。

$매니폴드$ M(\ $displaystyle$ M $)$ 이 $M$ 매끄럽거나 해석적인 경우(즉, 좌표의 변화가 매끄럽고(분석적인) 경우) 매끄러운(분석적인)매끄러운 $매니폴드$ M의 $모든$ 매끄러운 벡터 필드 집합은 종종 $\Gamma (TM)$ ( T $\Gamma (TM)$ ) $\Gamma (TM)$ \ $display$ $style$ \ $Gamma$ ( TM $)또는$ $C^{\infty }(M,TM)$ $C^{\infty }(M,TM)$ ( $C^{\infty }(M,TM)$ M , $C^{\infty }(M,TM)$ M $C^{\infty }(M,TM)$ ) \ $display style$ C $^{\infty$ } ( $M$ , $TM$ ) $C^{\infty }(M,TM)$ ( $C^{\infty }(M,TM)$ 매끄러운 벡터 필드 집합의 모든 섹션으로 생각할 때)로 표시됩니다. ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ) { $textstyle$ { $mathfrak$ { $X$ } ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ （ M ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ）。

예

비행기 주위의 흐름장은 R의³ 벡터장입니다.여기서는 날개 끝 소용돌이를 나타내는 유선형들을 따라가는 기포로 시각화됩니다.

벡터 필드는 일반적으로 컴퓨터 그래픽에서 패턴을 만드는 데 사용됩니다.여기서: OpenSimplex 노이즈로 생성된 벡터 필드를 따르는 곡선의 추상적 구성.

지구상의 공기의 움직임을 위한 벡터장은 지구 표면의 모든 지점에 대해 그 지점의 풍속 및 방향과 벡터를 연관시킵니다.이는 바람을 나타내는 화살표를 사용하여 그릴 수 있습니다. 화살표의 길이(규모)는 풍속을 나타냅니다.통상적인 기압 지도의 "높음"은 공급원으로서 작용하며(화살표가 방향을 가리키며), "낮음"은 싱크대(화살표가 방향을 가리키며) 공기는 고압 영역에서 저압 영역으로 이동하는 경향이 있기 때문이다.
움직이는 유체의 속도장.이 경우 속도 벡터는 유체 내의 각 점에 관련지어진다.
유선, 스트릭선 및 경로선은 (시간에 따라) 벡터 필드에서 만들 수 있는 세 가지 유형의 선입니다.다음과 같은 것이 있습니다.
- 스트릭 라인: 특정 고정점을 여러 번 통과하는 입자에 의해 생성되는 선
- 경로선: (질량이 0인) 특정 입자가 따를 경로를 표시합니다.
- 유선(또는 필드 라인): 순간 필드의 영향을 받는 입자의 경로(즉, 필드가 고정되어 있는 경우 입자의 경로).
자기장필드라인은 작은 철필링을 사용하여 확인할 수 있습니다.
맥스웰 방정식은 주어진 초기 및 경계 조건 세트를 사용하여 유클리드 공간의 모든 점에 대해 그 지점에서 하전된 테스트 입자에 의해 경험되는 힘의 크기와 방향을 추론할 수 있습니다. 결과 벡터장은 전자장입니다.
어떤 거대한 물체에 의해 생성되는 중력장도 벡터장입니다.예를 들어, 구대칭 물체의 중력장 벡터는 모두 구체의 중심을 가리키며, 물체로부터의 반경 거리가 증가함에 따라 벡터 크기가 감소합니다.

유클리드 공간의 경사장

점을 중심으로 순환하는 벡터 필드는 함수의 구배로 쓸 수 없습니다.

벡터 필드는 그라데이션 연산자(del: ^[4]∇)를 사용하여 스칼라 필드로 구성할 수 있습니다.

다음과 같이 S에 실값 함수(스칼라 필드) f가 존재하는 경우 오픈 집합 S에 정의된 벡터 필드 V를 그라데이션 필드 또는 보수 필드라고 한다.

V=\nabla f=\frac {\frac x_{1}, {\frac {\frac x_{2}, {\frac {\frac f}{\frac x_{3}}, {\frac {\frac f}, {\frac f}{\f}, {\frac f}, {\f},\frac f}, {\frac f}, {\f},\f},\fr},\f},\frac f},\frcfr

관련 흐름은 경사 흐름이라고 불리며 경사 하강 방법에 사용됩니다.

보수적 필드에서 닫힌 곡선 θ(θ(0) = θ(1)를 따라 적분된 경로는 0이다.

\displaystyle \point _{\mathbf {x}V(\mathbf {x})\cdot \mathbf {x} =\point _{\mathbf {x}\cdot \mathbf {x} = f(\cdisplay) - f(0)

유클리드 공간의 중심장

R \ { $0}$ $위$ 의ⁿ C-벡터 $\infty$ 필드는 다음과 같은 경우 중앙 필드라고 불립니다.

(\displaystyle V(p)=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O}(n,\mathbb {R}))}}}

여기

서 O

(n,

R)

는 직교 그룹입니다.중심 필드는 0 주변의 직교 변환에서 불변이라고 합니다.

점 0을 필드의 중심이라고 합니다.

직교 변환은 실제로 회전과 반사이기 때문에, 불변성 조건은 중심 필드의 벡터가 항상 0을 향하거나 0에서 멀어진다는 것을 의미합니다. 이것은 대체(그리고 단순한) 정의입니다.중앙 필드는 하나의 반축에 정의하여 적분하면 반방사선이 생기기 때문에 항상 그라데이션 필드입니다.

벡터 필드에 대한 연산

라인 적분

물리학의 일반적인 기술은 곡선을 따라 벡터장을 적분하는 것인데, 이를 직선 적분 결정이라고도 합니다.직관적으로 이것은 스칼라 곱으로 표현되는 곡선의 접선에 따라 모든 벡터 성분을 합한 것입니다.예를 들어, 힘의 장(예를 들어 중력)에 있는 입자가 주어진 경우, 공간의 어떤 지점에서 각 벡터는 입자에 작용하는 힘을 나타내며, 특정 경로를 따라 통합된 선은 입자가 이 경로를 따라 이동할 때 입자에 가해지는 작업이다.직관적으로 이것은 힘 벡터와 곡선을 따라 있는 각 점의 작은 탄젠트 벡터의 스칼라 곱의 합계입니다.

선 적분은 리만 적분과 유사하게 구성되며 곡선이 정류 가능하고(유한 길이를 가지며) 벡터장이 연속적일 때 존재합니다.

$벡터장$ V와 [ $a, b$ ]( $여기$ 서 $a$ 와 b는 실수)에서 t에 $의해$ 매개변수화된 곡선 $θ$ 가 주어졌을 때, 선 적분은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \int _{\mathbf {x}V(\mathbf {x})\cdot \mathbf {x} =\int _{a}^b}V(\gamma(t)\cdot {d})\dot {d}.

발산

유클리드 공간에서의 벡터장의 분산은 함수(또는 스칼라장)이다.3차원에서, 차이는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {div} \mathbf {F} =\displayla \cdot \mathbf {F} =\frac {\partial x} + {\frac {\frac F_{2} {\partial y} + {\frac {\f} z

임의의 차원으로 명백하게 일반화되어 있습니다.한 점에서의 발산이란 점 주위의 작은 부피가 벡터 흐름의 소스 또는 싱크인 정도를 나타내며, 그 결과는 발산 정리에 의해 정밀해진다.

발산 또한 리만 다양체, 즉 벡터의 길이를 측정하는 리만 메트릭을 가진 다양체에서도 정의할 수 있습니다.

입체적으로 컬링

컬은 벡터 필드를 가져와서 다른 벡터 필드를 생성하는 작업입니다.컬은 3차원으로만 정의되지만, 일부 컬 특성은 외부 파생 모델을 사용하여 더 높은 차원으로 캡처할 수 있습니다.3차원에서는 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \operatorname {f} =\displayla \times \mathbf {F} =\leftfac\frac {\partial y}-{\frac {\partial z} {\right} \mathbf {e} {1-frac fr}partial y}}\right)\mathbf {e}_{3}.}

컬은 한 지점에서 벡터 흐름의 각 운동량 밀도를 측정합니다. 즉, 흐름이 고정된 축을 중심으로 순환하는 양입니다.이 직관적인 설명은 스토크스의 정리에 의해 정확하게 만들어졌다.

벡터 필드의 색인

벡터 필드의 지수는 고립된 0(즉, 필드의 고립된 특이성) 주위의 벡터 필드의 동작을 설명하는 데 도움이 되는 정수이다.평면에서 지수는 안장 특이점에서는 -1을 취하지만 소스 또는 싱크 특이점에서는 +1을 취한다.

벡터장이 정의되는 다지관의 치수를 n이라고 하자.S의 내부에 다른 0이 존재하지 않도록 0 주위에 작은 구 S를 둡니다. 이 구에서 단위 구 n - 1 치수의 단위 구로의 지도는 이 구상의 각 벡터를 길이로 나누어 단위 구 Sⁿ⁻¹ 위의 점인 단위 길이 벡터를 형성함으로써 구성할 수 있습니다.이것은 S에서 S로의 연속적인ⁿ⁻¹ 맵을 정의합니다.점에서의 벡터장 인덱스는 이 맵의 도입니다.이 정수는 S의 선택에 의존하지 않기 때문에 벡터 필드 자체에 의존한다는 것을 알 수 있습니다.

벡터장 전체의 지수는 0의 수가 유한할 때 정의됩니다.이 경우 모든 0이 분리되며 벡터 필드의 인덱스는 모든 0에 대한 인덱스의 합으로 정의됩니다.

지수는 비단수점(즉, 벡터가 0이 아닌 점)에서 정의되지 않는다.선원 둘레에서 +1과 같으며, 일반적으로 k 수축 치수와 n-k 확장 치수를 갖는 안장 둘레에서 (-1)^k과 더 같다.3차원 공간의 일반(2차원) 구면에서는 구면상의 벡터장 지수가 반드시 2여야 한다는 것을 알 수 있다.이는 모든 벡터 필드가 0이어야 함을 나타냅니다.이것은 R의³ 벡터가 단위구² S의 각 점에 연속적으로 할당되면, 모든 벡터가 0이 아니고 S에² 접선하도록 연속적인 방법으로 벡터를 선택하는 것이 불가능하다는 털뭉치 공 정리를 의미한다.

0의 수가 유한한 콤팩트 다양체의 벡터장에 대해, 푸앵카레-홉프 정리는 벡터장의 지수가 다양체의 오일러 특성과 동일하다고 말한다.

물리적 직관

철봉(자기 쌍극자)의 자기장선

마이클 패러데이는 힘의 선에 대한 개념에서, 장 자체가 연구 대상이 되어야 한다고 강조했는데, 이것은 장 이론의 형태로 물리학 전반에 걸쳐서 연구 대상이 되었다.

자기장 외에도 패러데이에 의해 모델링된 다른 현상으로는 전기장과 빛장이 있다.

흐름 곡선

우주 영역을 통과하는 유체의 흐름을 생각해 보십시오.유체의 어떤 점에서도 유체와 관련된 특정 속도가 있기 때문에 모든 흐름과 관련된 벡터장이 있습니다.그 반대의 경우도 마찬가지입니다.그 벡터장을 그 속도로 하는 벡터장에 플로우를 관련지을 수 있습니다.

S에 정의된 벡터장 V가 주어졌을 때, 구간 I의 각 t에 대해 다음과 같이 S에 곡선θ(t)를 정의한다.

(t)=V(\gamma(t)),}

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, V가 립시츠 연속이라면, S의 각 점 x에 대해 고유한 C-곡선¹ θ가_x 존재하므로, 일부 θ > 0에 대해서는,

\displaystyle { displaystyle _ { x } ( 0 ) & = x \ \ \ \ spec ' _ { x } ( t ) & = V ( \ gamma _ { x } ( t ) \ qquad \ forall t \ in ( \ varepsilon , + \ varepsilon ) \ mathbbb { R } . \ } \ } } }

곡선 θ는_x 벡터장 V의 적분곡선 또는 궤도(또는 일반적으로 흐름선)라고 불리며, S를 등가 클래스로 분할합니다. $간격(-,, +))$ 을 실수의 행 전체로 확장할 수 있는 것은 아닙니다.예를 들어 흐름은 한정된 시간 내에 S의 가장자리에 도달할 수 있습니다.2차원 또는 3차원에서는 벡터장이 S상의 흐름을 발생시키는 것으로 시각화할 수 있다.p점에서 이 흐름에 입자를 떨어뜨리면 초기 p점에 따라 흐름의 곡선 θ를_p 따라 이동합니다.p가 V의 정지점(즉, 벡터장이 p 지점의 0 벡터와 동일)인 경우 입자는 p에 남습니다.

일반적인 애플리케이션은 유체, 측지선 흐름 및 단일 파라미터 하위 그룹의 경로선과 Lie 그룹의 지수 맵입니다.

완전한 벡터 필드

정의상 벡터 필드는 모든 흐름 곡선이 ^[5]항상 존재하는 경우 완전하다고 불립니다.특히 다지관상의 콤팩트하게 지지된 벡터장이 완전하다.X $({displaystyle$ X $})$ 가 $X$ $M$ ({ $displaystyle$ M $M$ 의 완전한 벡터 필드인경우 X({ $displaystyle$ X $})$ 를 $X$ $따라$ 흐르는 흐름에 의해 생성되는 1파라미터 그룹의 차분 형상은 항상 존재합니다.경계가 없는 콤팩트 매니폴드에서는 모든 매끄러운 벡터장이 완전합니다. $\mathbb {R}$ R의 불완전 벡터장 $(\$ $displaystyle \mathbb {R})$ 의 $V$ $\mathbb {R}$ 예는 V $V(x)=x^{2}$ $=$ $(\$ $displaystyle$ V $($ $x$ )= $x$ $^{2$ 이다. 단, ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ x ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ δ( ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ ) $=$ 2 $x(0)=x_{0}$ $x)$ = ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ x 2 $($ $x(0)=x_{0}$ ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ 이다. $x_{0}\neq 0$ ${0}$ 에는 $t\in \mathbb {R}$ 한 ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ x ( ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ) ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ - ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ t ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ 0 ( t) = ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ 0 ( $textstyle$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ x ( t) $x_{0}\neq 0$ 0 (x_ ${0$ $})$ {1 - ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ {1 - $flac$ ${$ 1 - flac _ { 0 ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ $x(t)=0$ }}}} $x_{0}\neq 0$ $x_{0}\neq 0$ $x_{0}\neq 0$ $.$ $x(t)=0$ ( $x(t)=0$ 및 x ( $)$ 0 ( $t\in \mathbb {R}$ ( t ) $displaystyle$ $x(t)=0$ $x$ ( t) $x_{0}\neq 0$ $t\in \mathbb {R}$ 0 ) $x_{0}\neq 0$ x 0 $x_{0}\neq 0$ 0 { $display style$ x _ { 0 } \ $x(t)$ $0$ } $x(t)$ x ( t ) { $displaystyle x$ ( t ) ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ 0 { $textstyle$ t = $sq$ frac ${1}$ { $x_{0}}}$ 에서는 ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ $x(t)$ x ( $x(t)$ )는 정의되어 $x(t)$ 있지 않으므로t { $displaystyle$ t $t$ 의 $모든$ 값에 대해 정의할 수 없습니다.

f-관련성

매니폴드 사이의 매끄러운 함수 f : M → N이 주어졌을 때, 도함수는 탄젠트 다발 위의 유도_* 맵 f : TM → TN이다. 벡터장 V : M → TM 및 W : N → TN이 주어졌을 때, 방정식 W f_∗ f = f가 유지된다면, W는 V와 f-관계라고 할 수 있다.

V가_i W와_i f-관련(i = 1, 2)이면 Lie 브래킷 [V₁, V₂]는 [W₁, W₂]와 f-관련됩니다.

일반화

벡터를 p-벡터(벡터의 p번째 외부 거듭제곱)로 대체하면 p-벡터장이 생성되고, 이중 공간과 외부 거듭제곱을 취하면 미분 k-형식이 생성되며, 이들을 결합하면 일반 텐서장이 생성된다.

대수적으로, 벡터장은 다양체 위의 매끄러운 함수의 대수에서 파생된 것으로 특징지을 수 있으며, 이것은 교환 대수에서 벡터장을 미분적분 이론에서 발전된 대수에 대한 파생물로 정의하도록 이끈다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 파라미터 사용(링크)
^ Tu, Loring W. (2010). "Vector fields". An Introduction to Manifolds. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.
^ Lerman, Eugene (August 19, 2011). "An Introduction to Differential Geometry" (PDF). Definition 3.23.
^ Dawber, P.G. (1987). Vectors and Vector Operators. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.
^ Sharpe, R. (1997). Differential geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

참고 문헌

Hubbard, J. H.; Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second ed.). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

외부 링크

Wikimedia Commons의 벡터 필드 관련 미디어

온라인 벡터 필드 편집기
"Vector field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
벡터 필드 - Mathworld
벡터 필드 : Planet Math
3D 자기장 뷰어
벡터 필드 및 필드 라인
벡터 필드 시뮬레이션 벡터 필드의 효과를 보여주는 인터랙티브 애플리케이션

[Galbis-2012-p12-1] Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 파라미터 사용(링크)

[2] Tu, Loring W. (2010). "Vector fields". An Introduction to Manifolds. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.

[3] Lerman, Eugene (August 19, 2011). "An Introduction to Differential Geometry" (PDF). Definition 3.23.

[4] Dawber, P.G. (1987). Vectors and Vector Operators. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4.

[5] Sharpe, R. (1997). Differential geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.

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[4]

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목차

정의.

유클리드 공간의 부분 집합 위의 벡터장

좌표 변환의 법칙

다지관의 벡터 필드

예

유클리드 공간의 경사장

유클리드 공간의 중심장

벡터 필드에 대한 연산

라인 적분

발산

입체적으로 컬링

벡터 필드의 색인

물리적 직관

흐름 곡선

완전한 벡터 필드

f-관련성

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