다지관의 G-구조

차동 기하학에서, 특정 구조물 그룹^[1] G에 대한 n-manifold M의 G-구조물은 M의 접선 프레임 번들 FM(또는 GL(M)의 주요 G-subbundle이다.

G-구조의 개념은 다지관에 정의될 수 있는 다양한 고전적 구조를 포함하고 있는데, 경우에 따라서는 텐서(tensor) 분야도 있다.예를 들어 직교 그룹의 경우 O(n) 구조는 리만 메트릭스를 정의하며, 특수 선형 그룹의 경우 SL(n,R) 구조는 볼륨 형태와 동일하다.사소한 그룹의 경우 {e} 구조는 다지관의 절대 평행으로 구성된다.

위상학적 공간에서 임의의 주성분 묶음에 이 아이디어를 일반화하면, $주성분{\displaystyle }$ G {\$displaystyle$ $G}$이($$가$)$ G {\$displaystyle G}$의 $부분군{\displaystyle }$ H ${\$$displaysty H}$에서 나오는 것인지 물을 수 있다$.$ 이를 구조물 그룹의 축소라고 $($H {\$displaystystyle$ H$}).$

복합 구조물, 공감 구조 또는 케흘러 구조와 같은 다지관의 여러 구조물은 추가적인 통합성 조건을 가진 G-구조물이다.

구조군 축소

One can ask if a principal ${\displaystyle G}$-bundle over a group ${\displaystyle G}$ "comes from" a subgroup ${\displaystyle H}$ of ${\displaystyle G}$. This is called reduction of the structure group (to ${\displaystyle H}$), and makes sense for any map ${\displaystyle H\to G}$, which need not포함 지도(용어 표기)이다.

정의

다음에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 위상학적 공간, ${\displaystyle G}$, H ${\displaystyle G,H}$ 위상학적$$ 그룹 및 그룹 동형상 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaysty \colon H\to G}$이(가)로$$ 한다$.$

콘크리트 묶음 면에서는

Given a principal ${\displaystyle G}$-bundle ${\displaystyle P}$ over ${\displaystyle X}$, a reduction of the structure group (from ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle H}$) is a ${\displaystyle H}$-bundle ${\displaystyle Q}$ and an isomorphism ${\displaystyle$$\phi _{Q}\colon Q\times _$${H}G\to P}$ 관련 번들의 \phi _{Q}\times _{H}G\to P}.

공간 분류 측면에서

Given a map ${\displaystyle \pi \colon X\to BG}$, where ${\displaystyle BG}$ is the classifying space for ${\displaystyle G}$-bundles, a reduction of the structure group is a map ${\displaystyle \pi _{Q}\colon X\to BH}$ and a homotopy ${\displaystyle \phi _$${Q}\colon B\pi \circule \{Q}\to \pi$

속성 및 예제

구조집단의 축소가 항상 존재하는 것은 아니다.만약 그것들이 존재한다면, 그들은 대개 본질적으로 독특하지 않다. 왜냐하면 이형성 $ism{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은 데이터의$$ 중요한 부분이기 때문이다.

구체적인 예로서, 모든 짝수차원의 실제 벡터 공간은 복잡한 벡터 공간의 밑바탕에 있는 실제 공간과 이형화되어 있다: 그것은 선형적인 복잡한 구조를 인정한다.실제 벡터 번들은 복잡한 벡터 번들의 기초적인 실제 번들에 이형성이 있는 경우에만 거의 복잡한 구조를 인정한다.이는 포함 GL(n,C) → GL(2n,R)에 따른 감소다.

전환 맵의 관점에서, 전환 맵이 H의 값을 갖는 것으로 간주될 수 있는 경우에만 G 번들(G-bundle)을 줄일 수 있다. 이 용어는 오해의 소지가 있다는 점에 유의한다: H가 종종 그렇지만 그럴 필요는 없다(예를 들어 스핀 구조의 경우): 적절히 리프팅이라고 한다.

좀 더 추상적으로 말하면, 「X번들 위에 G번들」은^[2] G: 지도 H → G를 주어, (위와 같이) 유도함으로써 H번들로부터 G번들까지의 지도를 얻는다.G번들 B의 구조 그룹의 감소는 이미지가 B인 H번들을 선택하는 것이다.

H번들부터 G번들까지의 유도 지도는 일반적으로 위나 일대일 모두 아니기 때문에 구조 집단을 항상 축소할 수 없으며, 그럴 수 있을 때 이러한 감소는 고유할 필요가 없다.예를 들어, 모든 다지관이 방향성이 있는 것은 아니며, 방향성이 있는 다지관은 정확히 두 방향성을 인정한다.

H가 G의 닫힌 부분군이라면, G-번들 B에서 H로 감산하는 것과 H의 올바른 작용에 의해 지수 B로 얻은 섬유다발 B/H의 전역 부분 사이에는 자연적으로 일대일 연관성이 있다. 구체적으로는 Fibration B → B/H는 B/H에 대한 주요 H번들이다.σ : X → B/H가 구간이라면 풀백 번들_H B = σB는⁻¹ B의 감소다.^[3]

G-구조체

차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 모든 벡터 번들에는 프레임 번들인 표준 G ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle GL(n)}$ -번들(bundle$$)이 있다$$.특히 매끄러운 다지관마다 표준 벡터 번들, 즉 접선 번들이 있다.Lie 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및 그룹$$ 동형상주의 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ L${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \phi$ \$colon G\to GL(n$의 $,$ G {\$displaystyle G}$ - 구조는$$ 프레임 번들의 구조 그룹을 $G{\displaystyle }$ ${\\\displaysty G}$로 축소하는 것이다$.$

예

다음의 예는 실제 벡터 번들, 특히 부드러운 다지관의 접선 번들에 대해 정의된다.

집단동형성	$그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$	${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ -구조$$	방해물
${\displaystyle GL^{+}(n)<GL(n)}$	양성결정요인의 일반선형군	오리엔테이션	번들은 방향을 잡을 수 있어야 한다.
$[\displaystyle SL(n)]<GL(n)}$	특수 선형군	부피 양식	묶음은 방향을 잡을 수 있어야 한다(${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle L{}^{}}$+ ${\$는 변형 수축)
${\displaystyle SL^{\pm }(n)}<GL(n)}$	${\displaystyle \mathrm{결정}}$ 요인${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle \pm 1}$	사이비-볼륨	항상 가능한
$[\displaystyle O(n)]<GL(n)}$	직교군	리만 미터법	항상 가능한 ( ${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle O(n)}$은(는) 최대 소형 하위 그룹이므로$$ 포함은 변형 수축)
${\displaystyle O(1,n-1)<GL(n)}$	무한직교군	사이비-리만 미터법	위상 장애[4]
${\displaystyle GL(n,\mathbf {C})<GL(2n,\mathbf {R})}$	복합일반선형군	거의 복잡한 구조	위상 장애
${\displaystyle GL(n,\mathbf {H} )\cdot Sp(1)<GL(4n,\mathbf {R})}$	${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n\mathbf{}}$ ${\displaystyle ,}$ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle GL(n,\mathbf {H}}}$: 왼쪽에서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{4n}}^{}}$ ${\$에 작용하는 쿼터니온 일반 선형 그룹 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= S ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$( 3${\displaystyle }$) ${\displaystyle Sp(1)=Spin(3)}$: 오른쪽에서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$에 작용하는 단위 쿼터니온 그룹	거의 사분오열 구조[5]	위상 장애[5]
$[\displaystyle GL(k)\time GL(n-k)]<GL(n)}$	일반선형군	순위 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 및$$ $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$의 하위 번들(직접 합계)의 Whitney 합으로 분해$.$	위상 장애

일부 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -구조체는$$ 정의된 다른 용어: 방향 다지관의 리만 메트릭스를 감안할 때, 2배 커버 ${\displaystyle \text{스핀}(n}$) → ${\displaystyle \text{SO}(n}$ )에 대한 ${\$$displaystyle{Spin}(n)\to {\mbox{{}}}(n)$은 스핀 구조물이다.(여기 있는 집단 동형성은 포함하지 않는다는 점에 유의하십시오.)

주 번들

G-구조연구에서 주체다발 이론이 중요한 역할을 하지만 두 개념은 다르다.G 구조는 접선 프레임 번들의 주요 하위 분절이지만, G 구조 번들이 접선 프레임으로 구성되어 있다는 사실은 데이터의 일부로 간주된다.예를 들어, R에ⁿ 대한 두 개의 리만 메트릭스를 생각해 보십시오.관련 O(n) 구조는 측정 지표가 등축인 경우에만 이형이다.그러나 R은ⁿ 계약할 수 있기 때문에 기본 O(n)번들은 계약 가능한 공간 위에 있는 유일한 묶음이 사소한 묶음이기 때문에 항상 주요 묶음으로 이형화 될 것이다.

이 두 이론 사이의 근본적인 차이는 G 구조의 기초 G번들, 즉 솔더 형태에 대한 데이터를 추가함으로써 포착할 수 있다.땜납 형태는 M의 접선 번들과 연관된 벡터 번들의 표준적 이형성을 명시함으로써 G 구조의 기본 주형 번들을 다지관 자체의 국부 기하학에 묶는 것이다.땜납 형태는 연결 형태는 아니지만, 때로는 하나의 전조로 간주될 수 있다.

세부적으로 Q가 G-구조의 주요 번들이라고 가정한다.Q가 M의 프레임 다발의 축소로 실현되는 경우, 솔더 형태는 포함을 따라 프레임 다발의 tautological 형태의 풀백에 의해 주어진다.추상적으로 Q를 프레임 번들의 축소로써 실현과 무관하게 주된 번들로 간주하는 경우, 솔더 형태는 R에ⁿ G의 표현 ρ과 번들의 이형성 θ : TM → Q ×_ρ R으로ⁿ 구성된다.

통합성 조건 및 평평한 G-구조

복합 구조물, 공감 구조 또는 케흘러 구조와 같은 다지관의 여러 구조물은 G-구조물(그러므로 방해될 수 있음)이지만 추가적인 통합성 조건을 만족시킬 필요가 있다.그에 상응하는 통합성 조건이 없다면, 그 구조는 대신에 거의 복잡한 구조, 거의 공감하는 구조 또는 거의 케흘러 구조에서와 같이 "거의" 구조라고 불린다.

특히, 공감각 다지관 구조는 공감각군을 위한 G-구조보다 더 강한 개념이다.다지관의 공통점 구조는 비감속형($S{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Sp}$ -구조물$$ 또는 거의 동일점 구조)인 M에 대한 2-형태 Ω이며, dΩ = 0이라는 추가 조건과 함께 이 후자를 통합성 조건이라고 한다.

이와 유사하게, 여파는 프루베니우스 정리가 적용되도록 통합성 조건과 함께 블록 매트릭스에서 나오는 G-구조물에 해당한다.

평평한 G-구조물은 통근 벡터장으로 구성된 글로벌 섹션(V₁,...,V_n)을 가진 G-구조 P이다.G-구조는 국소적으로 평평한 G-구조에 이형화된 경우 통합할 수 있다(또는 국소적으로 평평하다).

G-구조물의 이형성

G구조를 보존하는 M의 차이점형성 집합은 그 구조의 자동형성 집단이라고 불린다.O(n) 구조의 경우 그들은 리만 메트릭스의 등위계 그룹이며 지도를 보존하는 SL(n,R) 구조 볼륨이다.

P를 다지관 M의 G-구조물로 하고, Q 다지관 N의 G-구조물로 한다.그렇다면 G-구조물의 이형성은 선형 프레임 f_* : FM → FN의 푸시포워드(push forward)가 P를 Q로 매핑하는 것을 제한하는 차이점형 f : M → N이다(참고, Q가 f의_* 이미지 내에 포함되어야 한다).G-구조물 P와 Q는 M이 오픈셋 U와 차이점형 f의_U 계열에 의한 커버를 인정하면 국소적으로 이형성이며, P → Q의 이형성을 유도한다_U.

G-구조의 자동형성은 그 자체로 G-구조의 P의 이형성이다.다지관의 많은 중요한 기하학적 구조들이 G-구조로 실현될 수 있기 때문에, 기하학적 구조들의 변환 그룹에 대한 연구에서 자동화는 자주^[6] 발생한다.

광범위한 종류의 동등성 문제는 G-구조체 언어로 공식화될 수 있다.예를 들어, 한 쌍의 리만 다지관은 정형 프레임의 묶음이 (로컬적으로) 이형성 G 구조인 경우에만 (로컬적으로) 동등하다.이 견해에서 동등성 문제를 해결하기 위한 일반적인 절차는 G-구조물의 쌍이 국소적으로 이형인지 여부를 결정하기에 충분한 G-구조물의 불변성 시스템을 구축하는 것이다.

G-구조물 연결부

Q는 M.에 대한 G-구조물이 되게 하라. 주요 번들 Q의 주요 연결은 관련된 벡터 번들, 특히 접선 번들에 대한 연결을 유도한다.TM에서 이와 같이 발생하는 선형 연결 with은 Q와 호환된다고 한다. Q와 호환되는 연결은 adapted connection이라고도 한다.

구체적으로 말하면, 조정된 연결은 움직이는 프레임의 관점에서 이해할 수 있다.^[7]V가_i Q의 섹션을 정의하는 TM의 로컬 섹션(즉, M의 프레임)의 기초라고 가정한다.임의의 연결 ∇은 다음을 통해 기본에 의존하는 1-폼 Ω의 시스템을 결정한다.

∇_X V = Ω_ii^j(X)V_j

여기서, 1-폼의 행렬로서, Ω Ω¹(M)glgl(n)의 Ω.적응된 연결은 G의 Lie 대수 g에서 Ω이 값을 취하는 연결이다.

G-구조물의 비틀림

G-구조와 관련된 것은 연결의 비틀림과 관련된 비틀림 개념이다.주어진 G-구조물은 서로 다른 비틀림을 가질 수 있는 많은 다른 호환 연결을 허용할 수 있지만, 그럼에도 불구하고 다음과 같이 G-구조물의 비틀림에 대한 독립적 개념을 제시할 수 있다.^[8]

두 개의 적응된 연결부의 차이는 M에 있는 1-폼이며, 조정 번들 Ad에_Q 값이 있다.즉, 적응된 연결의 공간 A는^Q Ω¹(Ad_Q)을 위한 아핀 공간이다.

적응된 연결의 비틀림은 지도를 정의한다.

$\displaystyle A^{Q}\to \Oomega ^{2}(TM)\,}$

TM에 계수가 있는 2-폼까지.이 지도는 선형이다; 선형화

${\displaystyle \tau :\Oomega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q}\to \Oomega ^{2}(TM)\,}$

대수적 비틀림 지도라고 불린다.∇과 ∇′의 두 개 어댑테이션 연결부를 볼 때, 이들의 비틀림 텐서 T_∇, T는_∇′ τ(∇-∇)에 의해 다르다.따라서 코커(τ)에서 T의_∇ 이미지는 ∇의 선택으로부터 독립적이다.

어떤 개조된 연결 ∇에 대한 코커(Coker) 내 T의_∇ 영상을 G-구조물의 비틀림이라고 한다.G 구조물은 비틀림이 사라지면 비틀림이 없는 구조라고 한다.이는 Q가 비틀림 없는 어댑테이션 연결을 승인할 때 정확히 발생한다.

예:거의 복잡한 구조물에 대한 비틀림

G-구조의 예로는 거의 복잡한 구조, 즉 고른 차원 다지관의 구조물 그룹을 GL(n,C)로 축소하는 것이 있다.그러한 감소는 J² = -1과 같은 C-선형^∞ 내형성 J ∈ End(TM)에 의해 고유하게 결정된다.이 상황에서 비틀림은 다음과 같이 명시적으로 계산할 수 있다.

쉬운 치수 카운트는 다음을 나타낸다.

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$, 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ (${\displaystyle \tau }$ )${\displaystyle }${ ${\displaystyle i\mathrm{}}$ (τ ) $\displaystyle \Oomega ^{2}(TM)=\Oomega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrmatrm {im}(\tau )},$ , $,,$

여기서 Ω^2,0(TM)은 만족하는 B ∈ Ω²(TM) 형태의 공간이다.

$B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y)\,}$

따라서 거의 복잡한 구조물의 비틀림은 Ω^2,0(TM)의 요소로 간주할 수 있다. 거의 복잡한 구조물의 비틀림이 니젠후이스 텐서(Nijenhuis tensor)와 동일한지 쉽게 확인할 수 있다.

상위 G-구조체

특정 G-구조물에 대한 통합성 조건을 부과하는 것(예를 들어, 동일성 형태의 경우)은 연장 과정을 통해 처리할 수 있다.이 경우 G-구조가 길어지는 것은 선형 프레임 묶음의 G-subbundle로 식별할 수 없다.그러나 많은 경우에 연장은 그 자체로 주요한 묶음이며, 그 구조 그룹은 고차 제트 그룹의 하위 그룹으로 식별할 수 있다.이 경우 고차 G구조 [고바야시]라고 한다.일반적으로 카르탄의 동등성 방법은 그러한 경우에 적용된다.

참고 항목

• G-구조₂

메모들

참조

• Chern, Shiing-Shen (1966). "The geometry of G-structures". Bulletin of the American Mathematical Society. 72 (2): 167–219. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11473-8.
• Gauduchon, Paul (1997). "Canonical connections for almost-hypercomplex structures". Complex Analysis and Geometry. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Vol. 366. Longman. pp. 123–13. ISBN 978-0-582-29276-5.
• Kobayashi, Shoshichi (1972). Transformation Groups in Differential Geometry. Classics in Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-58659-3. OCLC 31374337.
• Sternberg, Shlomo (1983). Lectures on Differential Geometry ((2nd ed.) ed.). New York: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8218-1385-0. OCLC 43032711.
• Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Reductive G-structures and Lie derivatives". Journal of Geometry and Physics. 47 (1): 66–86. arXiv:math/0201235. Bibcode:2003JGP....47...66G. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. MR 2006228. S2CID 119558088.