나시-모저 정리

수학적인 분석분야에서 수학자 존 포브스 내쉬가 발견하고 그와 위르겐 모서의 이름을 딴 내시-모저 정리는 바나흐 공간에 대한 역함수 정리를 선형화된 문제에 대한 필수 해법 매핑이 경계되지 않는 설정으로 일반화한 것이다.

소개

한 지점에서 파생상품의 변위성이 국지적으로 변위할 수 있을 정도로 충분한 Banach 우주 사례와 대조적으로, 내시-모저 정리에서는 파생상품이 인근 지역에서 변위될 수 있도록 요구한다.이 정리는 매끄러운 기능의 공간에서 비선형 부분 미분 방정식의 국소적 존재를 입증하는 데 널리 사용된다.파생상품 "loses" 파생상품에 역행하는 경우, 따라서 바나흐 공간 암묵적 함수 정리는 사용할 수 없을 때 특히 유용하다.

역사

내시-모저 정리는 등축성 내시 문제의 특수한 경우에서 정리를 증명했던 내시(1956년)에게 거슬러 올라간다.그의 논문에서 그의 방법이 일반화될 수 있다는 것은 분명하다.예를 들어 모서(1966a, 1966b)는 내시의 방법이 KAM 이론에서 천체역학의 주기적 궤도에 관한 문제를 해결하는 데 성공적으로 적용될 수 있다는 것을 보여주었다.그러나, 적절한 일반 제형을 찾는 것은 꽤 어려운 것으로 입증되었다; 현재까지 모든 것을 포괄하는 버전은 없다; 그로모프, 해밀턴, 호르만데르, 생레이몬드, 슈워츠, 세르제라르트로 인한 다양한 버전이 아래 참고자료에 제시되어 있다.아래에 인용된 해밀턴의 그것 은 특히 널리 인용되고 있다.

파생상품 손실 문제

이것은 등축 임베딩 문제의 원래 설정인 내시-모저 정리에 도입될 것이다.$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^n}$의 열린 하위 집합으로 두십시오$$. 지도 고려$$

$[\displaystyle P:C^{1}(\Oomega ;\mathb {R}^{N})\to C^{0}{\big (}\Oomega ;{\text}}}_{n\timen}n}(\mathb {R} )}}}}}}}}}{big )}}:$

에 의해 주어지는.

${\displaystyle P(f)_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha}}}{\partial u^{i}}{\frac {\partial f^{}}{\partial u^{j}}}}}.}$

(비선형 부분 미분방정식의 해법에서 예상할 수 있듯이) 내시의 해결책에서 주요 단계는 "f가 P(f)가 양수인 경우, 그렇다면 P(f)에 가까운 매트릭스 값 함수 g에 대해서는 P(f_g)=g와 함께 f가_g 존재한다"는 개략적 형태의 문장이다.

표준 실천요강에 따라 바나흐 공간 역함수 정리를 적용할 것으로 예상할 수 있다.따라서 예를 들어 P를 C로⁵ 제한(Ω^N;;)하고 이 영역의 몰입 f에 대해, P가 제공하는 선형화⁵ C(Ω;ℝ^N)→C⁴(Ω;Sym_n×n(ℝ))를 연구할 것으로 예상할 수 있다.

${\displaystyle {\widetilde {f}}\mapsto \sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\beta }}{\partial u^{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {\partial {\widetilde {f}}^{\alpha }}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial u^{j}}}.}$

만약 이것이 변위 역 함수와 함께 반전 가능하다는 것을 보여줄 수 있다면, 바나흐 공간 역함수 정리가 직접적으로 적용된다.

그러나 이러한 제형이 효과를 발휘하지 못하는 데는 깊은 이유가 있다.문제는 f에 적용된 2차 차등사업자와 일치하는 P(f)의 2차 차등사업자가 있다는 점이다.정확히 말하자면: 만약 f가 몰입이라면.

${\displaystyle R^{P(f)}=H(f)^{2}-h(f) _{P(f)^{2},$

여기서 R은^P(f) 리만 미터법 P(f)의 스칼라 곡률이며, H(f)는 몰입 f의 평균 곡률을 나타내고, h(f)는 두 번째 기본 형태를 나타낸다. 위의 방정식은 표면 이론에서 나온 가우스 방정식이다.따라서 P(f)가 C라면⁴ R은^P(f) 일반적으로 C에² 불과하다.그렇다면 위의 방정식에 따르면 f는 일반적으로 C일⁴ 수 있다. C일⁵ 경우 H - h는 최소한 C일³ 수 있다.문제의 근원은 다음과 같은 방법으로 상당히 간결하게 표현할 수 있다:가우스 방정식은 P와 Q의 순서의 합보다 P와 Q의 Q의 구성 순서가 작을 정도로 미분 연산자 Q가 있음을 보여준다.

맥락에서, 결론은 P가 지도 C^∞(Ω;Sym_n×n(Sym))로 존재하더라도 P의 선형화에 역행하는 것이다.→C^∞(Ω;Ω^N), 적절한 Banach 공간 사이에 경계할 수 없으므로 Banach 공간 암묵적 함수 정리는 적용할 수 없다.

정확히 같은 추리에 의해 쾰더 공간이나 소볼레프 공간, 또는^k C 공간 중 어느 곳을 사용하더라도 바나흐 공간 암묵적 함수 정리를 직접 적용할 수 없다.이러한 설정 중 하나에서 P의 선형화와 역행하는 것은 경계를 정하지 못할 것이다.

파생상품 손실의 문제다.매우 순진한 기대는 일반적으로 P가 주문 k 차등 연산자라면 P(f)가 C에^m 있으면 f가 C에^m+k 있어야 한다는 것이다.그러나 이것은 다소 드문 일이다.일률적으로 타원형 미분 연산자의 경우, 유명한 슈워더 추정치는 C 공간을^k 쾰더 공간 C로^k,α 대체해야 한다는 주의와 함께 이러한 순진한 기대가 배제된다는 것을 보여준다. 이는 Banach 공간 암묵적 함수 정리의 적용에 대해 어떠한 추가적인 어려움도 일으키지 않는다.그러나 위의 분석은 이 지도가 순서가 1인 것을 감안할 때, 이 지도가 운영자를 뒤집었을 때 "예상된" 파생상품은 얻지 못하는 리만 지표를 유도하는 지도에 대해 이러한 순진한 기대를 하지 않는다는 것을 보여준다.같은 실패는 차이점형 집단의 작용이 근본 원인이 되는 기하학적 문제와 가장 단순한 문제에서도 순진하게 기대되는 해결책의 부드러움을 갖지 못하는 쌍곡선 미분방정식의 문제에서도 흔히 나타난다.이러한 모든 어려움은 내시-모저 정리의 적용에 공통적인 맥락을 제공한다.

내시 용액의 도식적 형태

이 절은 단지 아이디어를 설명하는 것을 목적으로 하며, 따라서 의도적으로 부정확하다.구체성의 경우 P가 일부 기능 공간에 대해 순서 1 미분 연산자임을 가정하여 각 k에 대해 지도 P:C^k+1→C를^k 정의한다고 가정한다.일부 C^k+1 함수 f에서 선형화 DP_f:C^k+1→C가^k 우측 역 S:C^k→C를^k 갖는다고 가정한다. 위의 언어에서 이는 "하나의 파생상품 손실"을 반영한다.g가_∞ C에서^k P(f)에 가깝고 1이 반복을 정의하면 Banach 공간 암묵적 함수 정리를 증명하기 위해 뉴턴의 방법을 사용하려 했던 실패를 구체적으로 알 수 있다.

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big(}g_{\infit }-P(f_{n}{\big )},}$

그 다음₁ fcC는^k+1 g-P_∞(f_n)가^k C에 있고, 그 다음 f가₂^k C에 있음을 암시한다.같은 추리에 의해 f는₃ C에^k-1, f는₄ C에^k-2, f는 C에 있는 등등이 있다.모든 규칙성을 잃고 다음 단계는 정의조차 되지 않기 때문에 세부적인 여러 단계에서 반복은 끝나야 한다.

내시의 해법은 단순성이 상당히 두드러진다.각 t>0에 대해ⁿ C 함수를 사용하고, 부드러운 함수를 반환하며, t가 클 때 ID에 근사치를 갖는 평활 연산자 θ이_t 있다고 가정한다.그리고 "스무팅된" 뉴턴 반복

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\\theta _{n})(g_{\infit }-P(f_{n}){\big )}}}}}}}}}}}$

규칙성을 잃지 않는 매끄러운 기능의 공간에 반복이기 때문에, 투명하게 이전의 "무동화되지 않은" 버전과 같은 어려움에 직면하지 않는다.그래서 한 사람은 함수의 순서가 잘 정의되어 있다; 내쉬의 접근법의 주요한 놀라움은 이 순서가 실제로 P(f_∞)=g와_∞ 함수의_∞ f로 수렴된다는 것이다.스무딩 오퍼레이터를 던지는 '고정'이 너무 표면적이어서 표준 뉴턴 방식의 깊은 문제를 극복하지 못하는 것 같아 많은 수학자들에게는 오히려 놀라운 일이다.예를 들어, 이 점에 대해서 미카엘 그로모프는 말한다.

분석 초보자거나 내시 같은 천재여야만 그런 것이 결코 사실일 수 있다고 믿을 수 있다.] [...] [이것은 맥스웰의 마귀의 기계적인 구현으로 영진모빌의 성공적 수행만큼이나 현실적인 인상을 줄지도 모른다...내쉬의 계산을 따라하기 시작하고 스무딩이 효과가 있다는 것을 깨닫지 못한다면 말이다.

비고. 스무딩 오퍼레이터를 어디에 삽입하느냐에 따라 몇 가지 불평등한 형태가 있지만, 진정한 "스무팅 뉴턴 반복"은 위의 형태보다 조금 더 복잡하다.일차적 차이는 f의 선택 영역 전체에서 DP의_f 역직성을 요구하고, 그 다음 (단변수 표기법 사용)에 해당하는 "진정한" 뉴턴 반복을 사용한다는 것이다.

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n}){f'(x_{n})}}}$

에 반하여

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0}}}},},}$

그 중 후자는 위에 제시된 형식을 반영한다.이것은 오히려 중요한데, "진정한" 뉴턴 반복의 개선된 2차적 수렴이 수렴을 얻기 위해 "스무팅"의 오류와 싸우는 데 크게 사용되기 때문이다.어떤 접근법, 특히 내시와 해밀턴의 접근법은 함수 공간의 반복이 아닌 함수 공간의 일반적인 미분 방정식의 해답을 따른다; 후자와 전자의 관계는 본질적으로 오일러 방법의 해답과 미분 방정식의 해답이다.

해밀턴의 정리 정리

해밀턴(1982년)에는 다음과 같은 문구가 등장한다.

F와 G를 프렛셰트 공간으로, $U{\displaystyle }$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U\subseteq F$$}$를 오픈 서브셋으로 하고$$, $P{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$P:$U\rightarrow G}$은(는) 매끄러운 길들이기 지도가 된다$$.각 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in U}$에 대해 선형화 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle dP_{f}:$$F\to G}$은(는) 돌이킬 수 없으며, 지도 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle U\time G\to F}$로서 인버스의 가문은 매끄럽게 길들여진다$$.그러면 P는 국소적으로 되돌릴 수 없고, 각각의 국소 역 $P{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ P$^{-1}$는 매끄러운 길들이기 맵이다$$.

마찬가지로 각 선형화가 주입식일 뿐이고, 좌뇌의 가족이 매끄럽게 길들여진다면 P는 국소 주입식이다.그리고 각각의 선형화가 허탈적일 뿐이고, 우뇌의 가족이 순탄하게 길들여진 것이라면, P는 국소적으로 순탄하게 길들여진 우뇌의 역행으로 국소적으로 허탈하게 된다.

테임 프레셰트 공간

등급이 지정된 프리셰 공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 벡터 $공간{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$
• countable collection of 세미노름 ${\displaystyle {collection}_{}}$ ${\displaystyle \cdot {}_{}\Vert {}_{}}$ n${\displaystyle }$: ${\displaystyle F\mathbb{}}$ → R$${\$displaystyle$\,\$cdot \,\ _{n}:$$다음과$$$같은 F\to $\mathb$ {$R} }$

${\displaystyle \ f\ _{0}\leq \f\{1}\leq \f\ \{2}\leq \cdots }$

모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle f\in F.}$에 대해 다음과 같은 조건을 충족하려면 이러한 조건이 필요하다.

• ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle n=0}$에$대해$ f${\displaystyle }$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$\$f\ _{n}=0}$이($가)$ $같으면$ f = 0$${\$displaystyle$$f$=$0}$
• 만약 fjF{\displaystyle f_{j}\in F}시퀀스 ∈가 각각의 nx0,1,2,…{\displaystyle n=0,1,2,\ldots}과 모든 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}관계가 N,({\displaystyle N_{n,\varepsilon}}가 j, k>N, ε{\displaystyle j,k&gt을 말한다.N_{n,\varepsilon}}을 내포한다. - < , ${\displaystyle \f_f_{k$}\$_{n}<\varepsilon }}$이(가) 존재하므로 각 $n{\displaystyle }$ ,${\displaystyle n$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ F ${\displaystyf\in F}$이$($가)가$$ 있다.

${\displaystyle \lim _{j\to \infit }\ f_{j}-f\ _{n}=0.}$

이렇게 등급이 매겨진 프레셰 공간은 다음과 같은 조건을 만족하면 길들인 프레셰 공간이라고 불린다.

• Banach 공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및 선형$$ $지도{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle (B}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L:$$F\$$to \Sigma (B)}$ 및 $M$ : ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$( ${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M:\Sigma (B)\to F}$이$($가) $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle L}$의 오른쪽 역인$$ 경우, 다음과$$ 같은 경우:

• $r{\displaystyle }$ $r}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$이(가) 존재하므로 각 > b ${\displaystyle n>b}$에 대해 다음과 같은$$ 숫자 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 있다.

${\displaystyle \sup _{k\in \mathb {N}}e^{nk}\L(f)_{k}\{B}\leq C_{n}\ _{r+n}}}$

모든$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle f\in F,}$ 및

${\displaystyle \M(\{x_{i}\}\ _{n}\{n}\}\{k\in \mathb {N} }e^{(r+n)k}\x_{k}\{B}}}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}{\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \in }$∈ ( B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}\in \Sigma (B).$$}$

여기서 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}(B}$) ${\displaystyle \Sigma(B)}$은 $B{\displaystyle }$ , {\$displaystyle$ B$,}$에서 기하급수적으로 $감소$하는 시퀀스의 벡터 공간을 나타낸다$$$$.

${\displaystyle \Sigma (B)={\Big \{}{\text{maps }}x:\mathbb {N} \to B{\text{ s.t. }}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\ x_{k}\ _{B}<\infty {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} {\Big \}}.}$

정의의 복잡성은 길들여진 프레셰 공간의 주요 예에 의해 정당화된다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(경계 포함 또는 미포함) 콤팩트한 평활 다지관인 경우, $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}M}$) ${\displaystyle$ C$^{\infit }(M)}$은 다음과 같은 등급 구조물이 주어졌을 때 길들여진 등급의 Frechet 공간이다$$.

• $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_n}$ ${\$\$f\$ _${n}$을(를$)$ ${\displaystyle {Cn}^{}}$ {\$displaystyle$ C$^{n}}$ $-normal{\displaystyle }$ of$$ f ${\displaystyle$f}이$($가) 되도록$$ 한다.
• ${\displaystyle \mathrm{고정}}$$$${\displaystyle {}_{}}$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\ $\f\$ _{$n}$을(를) C${\displaystyle {}^{}}n{\displaystyle {}^{}}$ ,$$ {\$displaystyle C^{$n,\$alpha$$$}}의 $-norm$ f ${\displaystyle f}$이(가$)$ 되도록$$ 한다.
• 고정 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 $\Vert {\displaystyle }$ f ${\displaystyle {}_n}$ ${\$\$f\ _{n}$을(를${\displaystyle {)}^{}}$ W$$n , p {\$displaystyle$W^{n$,p}$ -norm$$ $of{\displaystyle }$f {\$displaystyf$}이 되도록 $한다.$

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이($가$) 경계가 있는 콤팩트한 부드러운 다지관이라면, C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle }$M )${\displaystyle }$, ${\displaystyle C_{0}^{\infit }}}}}}$ 부드러운 기능의 공간은$$ 위의 등급이 매겨진 구조와 함께 길들여진 프레셰트 공간이다.
• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 컴팩트한 스무딩 다지관이고 ${\displaystyle V}$→ M ${\displaystyle V\to M}$이(가) 스무드 벡터 번들이라면, 위의 등급 구조 중 하나라도 있는 부드러운 부분의 공간이 길들여진다.

이러한 예제의 길들인 구조를 인식하기 위해 유클리드 공간에 하나의$$ 위상학적으로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 내장하고, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $B$$}$을(를) 이 유클리드 공간에 ${\displaystyle {대한\mathrm{}}^{}}$ $L{\displaystyle {}^{}}$ 1 ${\$ L$^{1}$함수의$$ 공간으로 가져가고$$, 지도 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$}은 푸리에 의해 정의된다$$.rm. 자세한 내용은 해밀턴 기사의 133-140쪽에 있다.

위와 같이 직접 제시하면, 「동사」 상태의 의미와 자연성은 다소 불명확하다.Banach 공간의 관련 "우수한 감소" 시퀀스가 푸리에 변환의 제한에서 발생하는, 위에 제시된 기본적인 예를 다시 고려한다면 상황은 명확해진다.유클리드 공간의 기능의 부드러움은 푸리에 변환의 붕괴 속도와 직접적인 관련이 있다는 것을 기억하라.따라서 '타미니스'는 기능 공간에서 '스무팅 오퍼레이터'의 아이디어를 추상화할 수 있는 조건으로 간주된다.Banach 공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$${\displaystyle \}}$ 및$$ 해당 공간 ${\displaystyle \sigma }$(B ) {\$displaystyle \Sigma(B$$)}$의 기하급수적으로 감소하는 시퀀스를${\displaystyle }$B$$ , {\$displaystyle B}$에 지정하면 스무딩 연산자의 정확한$$ 아날로그를 다음과 같이 정의할 수 있다.Let ${\displaystyle s:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ be a smooth function which vanishes on ${\displaystyle (-\infty ,0),}$ is identically equal to one on ${\displaystyle (1,\infty ),}$ and takes values only in the interval ${\displaystyle [0,1].$$}$ 그런 다음$$ 각 실제 $번호{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$에 대해 ${\displaystyle {\theta }_{}}$ t :${\displaystyle {}_{}\sigma }$(${\displaystyle }$B )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \teta _{t}:$$\Sigma (B)\to \Sigma (B)}$ 다음에$$

내시가 고안한 증명서의 개략적인 발상, 특히 평활 연산자의 사용을 받아들인다면, 그 '동일' 상태는 오히려 합리적이 된다.

부드러운 길들이기 지도

F와 G를 프리쳇의 등급으로 매겨라.F의 U오픈 부분 집합,{f\in\displaystyle U}이 n∈ N{\displaystylen\in \mathbb{N}이 각 f에 ∈ U의미}과ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}자가‖ f− f1‖<>ε{\displaystyle)f-f_{1}\<>\varepsilon}을 시사하는 것은 f1{\displaystyle f_{1}}은 또한 c.에서 ontainedU.

평활도 $P{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle G}$ ${\디스플레이$ 스타일 $P:$U$\to G}$은(는) ${\displaystyle 모든\mathbb{}}$ $k{\displaystyle }$ $∈$ N {\$displaystyle$ k$\in \mathb {N}$에 대해 파생 $Dk{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle$ D$^{k}P:$$U\time F\time \cdots \time F\to G}$은(는) 다음을 만족한다$$.

• > b {\$displaystyle n>$b$$}이$(가$) 암시하는 r {\$displaystyle$ r} 및 ${\displaystyle b}$이$($가$)$ 있음

${\displaystyle {\big \ }D^{k}P\left(f,h_{1},\ldots ,h_{k}\right){\big \ }_{n}\leq C_{n}{\Big (}\ f\ _{n+r}+\ h_{1}\ _{n+r}+\cdots +\ h_{k}\ _{n+r}+1{\Big )}}$

모든${\displaystyle }$(${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(f, h_{1},\dots, h_{k}\right)\time F\cdots \times F$

기본적인 예는 소형 평활 다지관에서 비선형 부분 미분 운영자(아마도 다지관 위의 벡터 번들 섹션 사이)가 부드러운 길들이기 지도라는 것이다. 이 경우, r은 운영자의 순서가 될 수 있다.

정리증거

Let S는 역 매핑 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle U\times G\to F.}$Banach 공간에서 F와 G가 기하급수적으로 감소하는 시퀀스의 공간이라는 특수한 경우를 고려한다.(이것으로 일반사건을 입증하기에 충분하다고 보는 것은 그리 어렵지 않다.)양수 c의 경우 σ(B)의 일반 미분방정식을 고려한다.

${\displaystyle f'=cS{\Big (}\teta _{t}(f),\teta _{t}{t}{\big (}g_{\infit }-P(f){\Big )}.}$

Hamilton shows that if ${\displaystyle P(0)=0}$ and ${\displaystyle g_{\infty }}$ is sufficiently small in Σ(C), then the solution of this differential equation with initial condition ${\displaystyle f(0)=0}$ exists as a mapping [0,∞)→Σ(B), and that f(t) converges as t→∞ to a solution of ${\displaystyle P(f)}$${\displaystyle P(f)=g_{\infit }}$

참조

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