조노헤드론

조노헤드론은 중앙 대칭인 볼록한 다면체로, 모든 얼굴은 중앙 대칭인 다각형이다.어떤 조노헤드론도 3차원 공간에서 선분할의 집합의 민코우스키 합 또는 하이퍼큐브의 3차원 투영으로 동등하게 설명될 수 있다.조노헤드라는 원래 러시아의 결정학자 E. S. Fedorov에 의해 정의되고 연구되었다.보다 일반적으로, 어떤 차원에서도, 라인 세그먼트의 민코프스키 합은 조노토프라고 알려진 폴리토프를 형성한다.

조노헤드라 저 타일 공간

조노헤드라 연구의 원래 동기는 어떤 격자의 보로노이 도표가 세포가 조노헤드라인 볼록한 균일한 벌집을 형성하기 때문이다.이런 식으로 형성된 조노헤드론은 3차원 공간을 테셀레이트할 수 있으며 일차 평행헤드론이라고 불린다.각 1차 평행면체는 콤비네이터(입방체 포함), 육각 프리즘, 잘린 옥타면, 롬보-헥사면 도데면체, 그리고 롬보-헥사면 도데면체의 다섯 가지 유형 중 하나에 해당한다.

민코프스키의 조노헤드라

조노토프는 라인 세그먼트의 민코스키 합이다.4개의 비콘벡스 세트(왼쪽)의 밍코우스키 합계를 이루는 16개의 암적색 포인트(오른쪽)는 각각 한 쌍의 적색 포인트로 구성되어 있다.그들의 볼록한 선체(분홍색)는 더하기 기호(+)를 포함하고 있다.오른쪽 플러스 부호는 왼쪽 플러스 부호의 합이다.

$\{v_{0},v_{1},\dots \}$ $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ v $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ , $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ ${\displaystyle$ \{ $v_{0},v_{1},\dots$ \}}}을(를) 3차원 벡터의 집합으로 $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ 두십시오.각 벡터 $v_{i}$ $v_{i}$ ${\$ 를 사용하여 $v_{i}$ 선 ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ 세그먼트 { ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{x_{i_{i}}\mid 0\leq x_{i}\leq$ 1 $\}}}$ 을(를) 연결할 수 있다 ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ 민코스키섬 ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ i} ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ x ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ } ${\$ \{\ $textstyle \sum_{i}v_{i}\mid$ 0 $\leq x_{i}\leq 1\}}}}}}$ 는 조노헤드론을 형성하며 ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ , 원점을 포함하는 모든 조노헤드라는 이런 형태를 가지고 있다.조노헤드론이 형성되는 벡터를 그 발생기라고 부른다.이러한 특성화를 통해 조노헤드라의 정의는 보다 높은 차원으로 일반화하여 조노토프를 부여할 수 있다.

조노헤드론의 각 가장자리는 최소한 하나의 발전기와 평행하며 길이가 평행한 발전기 길이의 합과 같다.따라서 벡터의 병렬 쌍이 없는 발전기 세트를 선택하고, 모든 벡터 길이를 동일하게 설정함으로써, 우리는 조노헤드론의 조합형식의 등변형 버전을 형성할 수 있다.

대칭도가 높은 벡터 세트를 선택함으로써, 우리는 이런 방식으로, 적어도 대칭 정도는 되는 조노헤드라(zonoheedra)를 형성할 수 있다.예를 들어, 발전기는 구의 적도를 중심으로 균등하게 간격을 두고, 구의 극을 통과하는 다른 한 쌍의 발전기와 함께 정규 $2k$ k $2k$ -곤 위에 $2k$ 프리즘 형태의 조노헤드라를 형성한다: 입방체, 육각 프리즘, 팔각 프리즘, 십각 프리즘, 도십각 프리즘 등.팔면체의 가장자리와 평행한 발전기는 잘린 팔면체를 형성하고, 입방체의 긴 대각선에 평행한 발전기는 횡면체 도면체를 형성한다.^[1]

어떤 두 개의 조노헤드라의 민코우스키 합계는 주어진 조노헤드라의 발전기 조합에 의해 생성되는 또 다른 조노헤드론이다.따라서 밍코프스키 합은 큐브와 잘린 팔면체가 잘린 큐브옥타헤드론을 형성하고, 밍코프스키 합은 잘린 롬브 도데헤드론을 형성한다.이 조노헤드라는 둘 다 단순하다(각 꼭지점에서 세 얼굴이 만난다), 큐브의 민코프스키 합, 잘린 옥타헤드론, 그리고 롬빅 도데헤드론에서 형성된 잘린 작은 롬비큐브옥토크헤드론이다.^[1]

준비중인 조노헤드라

어떤 볼록한 다면체의 가우스 지도는 폴리곤의 각 면을 단위 구상의 한 점에 매핑하고, 한 쌍의 면을 분리하는 폴리곤의 각 가장자리를 해당 두 점을 연결하는 큰 원호에 매핑한다.조노헤드론의 경우, 각 면을 둘러싼 가장자리는 평행 가장자리의 쌍으로 그룹화할 수 있으며, 가우스 지도를 통해 번역하면 그러한 쌍은 동일한 큰 원의 연속적인 세그먼트 쌍이 된다.따라서 조노헤드론의 가장자리는 가우스 지도에 있는 공통의 큰 원의 세그먼트에 해당하는 평행한 가장자리 영역으로 분류할 수 있으며, 조노헤드론의 1-스켈레톤은 구상의 큰 원 배열의 평면 이중 그래프로 볼 수 있다.반대로 원들의 배열은 원을 통과하는 평면에 수직인 벡터에 의해 생성된 조노헤드론의 가우스 지도에서 형성될 수 있다.

어떤 단순한 조노헤드론도 이와 같은 방식으로 각 면이 삼각형인 단순한 배열과 일치한다.원형의 단순 배치는 중심 투영을 통해 투영 평면의 선의 단순 배열에 대응한다.알려진 세 가지의 단순한 배열의 무한가족이 있는데, 그 중 하나는 조노헤드라로 전환될 때 프리즘으로 이어지고, 나머지 두 가지는 단순한 조노헤드라의 추가적인 무한가족에 해당한다.이 세 가문에 맞지 않는 산발적인 사례도 많다.^[2]

그것은 조노헤드라와 배열의 일치로부터, 그리고 (그 투사적 이중 형태에서) 모든 조노헤드론에는 적어도 한 쌍의 반대 평행도 면들이 있다는 것을 증명하는 실베스터-갈라이 정리로부터 따르게 된다. (이 자모에는 사각형, 직사각형 및 회전수가 계산된다.)se는 paralogram의 특별한 경우로서)더 강하게 말하면, 모든 조노헤드론은 최소한 6개의 평행사변형 면들을 가지고 있고, 모든 조노헤드론은 발전기 수에서 선형인 다수의 평행사변형 면들을 가지고 있다.^[3]

조노헤드라의 종류

일정한 수의 면이 있는 일반 폴리곤 위에 있는 프리즘은 조노헤드론을 형성한다.이러한 프리즘은 모든 얼굴이 규칙적이 되도록 형성될 수 있다: 두 개의 반대쪽 얼굴은 프리즘이 형성된 일반적인 폴리곤과 같으며, 이것들은 일련의 사각면으로 연결된다.이런 유형의 조노헤드라는 큐브, 육각 프리즘, 팔각 프리즘, 십각 프리즘, 도각 프리즘 등이다.

이 무한한 정규 얼굴의 조노헤드라 가문 외에도, 아르키메데스 고형분 3개가 있는데, 모든 정규 형태는 다음과 같다.

잘린 팔면(정사각형 6개, 육각형 8개)
잘린 큐보타헤드론(정사각형 12개, 육각형 8개, 옥타곤 6개).
잘린 이코시다데카헤드론(정사각형 30개, 육각형 20개, 십이각형 12개)

또한 특정 카탈루냐 고형물(아키메데스 고형물의 이중)은 다시 조노헤드라:

케플러의 롬빅 도데카헤드론은 큐옥타헤드론의 이중이다.
롬빅삼정삼면체는 이코시다데카면체의 이중이다.

응고된 회전면을 가진 기타:

서로 모두 합치되지 않은 진드기 얼굴을 가진 조노헤드라가 무한히 많다.여기에는 다음이 포함된다.

롬비강정체

조노헤드론	수 발전기	규칙적인 얼굴	얼굴을 마주보다 타동성의	가장자리를 잡다 타동성의	꼭지점 타동성의	평행우면체 (스페이스-스페이스)	소박한
큐브 4.4.4	3	네	네	네	네	네	네
육각 프리즘 4.4.6	4	네	아니요.	아니요.	네	네	네
2n-162 (n > 3) 4.4.2n	n + 1	네	아니요.	아니요.	네	아니요.	네
잘린 팔면체 4.6.6	6	네	아니요.	아니요.	네	네	네
잘린 큐옥타헤드론 4.6.8	9	네	아니요.	아니요.	네	아니요.	네
잘린 이코시다데카헤드론 4.6.10	15	네	아니요.	아니요.	네	아니요.	네
파랄레피프	3	아니요.	네	아니요.	아니요.	네	네
롬빅 도데카헤드론 V3.4.3.4	4	아니요.	네	네	아니요.	네	아니요.
빌린스키 도데카헤드론	4	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네	아니요.
롬빅 이코사면체	5	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.
롬빅 삼권면체 V3.5.3.5	6	아니요.	네	네	아니요.	아니요.	아니요.
횡보-헥스각형 도데카헤드론	5	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네	아니요.
잘린 심방 도데면체	7	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	아니요.	네

조노헤드라 해부

비록 어떤 다면체도 같은 부피의 다른 다면체에 대해 해부(힐버트의 세 번째 문제 참조)를 가지고 있다는 것은 일반적으로 사실이 아니지만, 동일한 부피의 어떤 2개의 조노헤드라도 서로 해부할 수 있는 것으로 알려져 있다.^{[citation needed]}

조노헤드리피케이션

조노헤드리피케이션은 조지 W. 하트가 다른 다면체로부터 조노헤드론을 만들기 위해 정의한 과정이다.^[4]^[5]

먼저 다면체의 정점은 다면체 중심에서 벡터로 간주된다.이 벡터들은 우리가 원래의 다면체의 조노헤드라이프화라고 부르는 조노헤드론을 만든다.원래의 다면체의 어떤 두 꼭지점에 대해서, 각각 정점 벡터와 평행한 두 가장자리를 갖는 조노헤드리프화의 두 반대쪽 평면이 있다.

예
다면체		조노헤드리피케이션
	팔면체		큐브
	큐폭타헤드론		6구역 잘린 팔면체
	큐브		롬빅 도데카헤드론
	롬비큐옥타헤드론		롬빅 132헤드론
	도데카헤드론		10존 Rhombic enneacontahedron
	이코사헤드론		6존 롬빅 3관면체
	이코시다데카헤드론		15구역 잘린 이코시다데카헤드론

조노토페스

어떤 차원에서도 라인 세그먼트의 민코프스키 합은 조노토프라고 불리는 폴리토프의 한 종류를 형성한다.Equivalently, a zonotope $Z$ generated by vectors $v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ is given by $Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k} \;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}$ $Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}$ . $k\leq n$ $k\leq n$ $k\leq n$ 이(가) 있는 특수한 경우 $k\leq n$ Zonotope $Z$ $Z$ 은 $Z$ (아마 퇴보된) 병렬형입니다.

어떤 조노토프의 면은 그 자체로 하나의 낮은 차원의 조노토프들이다. 예를 들어, 조노헤드라의 얼굴은 조노곤이다.4차원 조노토프의 예로는 테세락트(상호 수직 등거리선 세그먼트의 미코프스키 합계), 잡종 5셀, 잘린 24셀 등이 있다.모든 정맥류는 조노토프다.

조노토페스와 마트로이드

Fix a zonotope $Z$ defined from the set of vectors $V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\in \mathbb {R} ^{d}$ and let $M$ be the $d\times n$ matrix whose columns are the $v_{i}$ .그러면 $M$ $M$ 의 기둥에 있는 ${\underline {\mathcal {M}}}$ 벡터 ${\underline {\mathcal {M}}}$ M ${\underline {\mathcal {M}}}$ {\ $displaystyle {\mathcal {M}}$ 은(는) $Z$ {\ $displaystyle$ $Z$ $Z$ 에 대한 풍부한 정보를 인코딩한다 $M$ . $즉$ ,Z {\ $displaysty$ Z $}$ 의 많은 특성은 본질적으로 결합되어 있다 $Z$ .

예를 들어, $Z$ $Z$ 의 반대쪽 면 쌍은 M ${\$ 의 코커루트에 의해 자연스럽게 인덱싱되며 $Z$ , ${M}$ ${\$ 으로 대표되는 ${\mathcal {M}}$ 방향 매트로이드 ${\mathcal {M}}$ ${\displaysty$ {\ $mathcal$ {M $}$ 을 고려한다면 ${M}$ $Z$ ${\displate$ } $aystyle Z}$ and signed cocircuits of ${\mathcal {M}}$ which extends to a poset anti-isomorphism between the face lattice of $Z$ and the covectors of ${\mathcal {M}}$ ordered by component-wise extension of $0\prec +,-$ . In particular, if $M$ $M$ 과 $M$ N $N$ 은 $N$ 투영적 변환에 의해 다른 두 행렬이며, 각각의 조노토프는 조합적으로 동일하다.The converse of the previous statement does not hold: the segment $[0,2]\subset \mathbb {R}$ is a zonotope and is generated by both $\{2\mathbf {e} _{1}\}$ and by $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}$ whose corresponding m $[2$ $]$ $[2]$ 과 $[2]$ $[1~1]$ ) $[1~1]$ 1 $]$ {\ $displaystyle [1~$ 1]}은 $[1~1]$ 는) 투영적 변환에 의해 다르지 않다.

틸링스

조노토프 $Z$ $Z$ 의 타일링 특성은 이와 연관된 ${\mathcal {M}}$ 방향 매트로이드 ${\mathcal {M}}$ ${\$ { $M}$ 과도 밀접하게 관련되어 있다 $Z$ .우선 우리는 공간 타일링 특성을 고려한다.The zonotope $Z$ is said to tile $\mathbb {R} ^{d}$ if there is a set of vectors $\Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}$ such that the union of all translates $Z+\lambda$ ( $\lambda \in \Lambda$ ) is $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ {R $} ^{d}}$ 과 $\mathbb {R} ^{d}$ (와) 두 번역이 각각 (비었을 가능성이 있음) 면에 교차한다.이런 조노토프를 공간 타일링 조노토프라고 한다.다음과 같은 공간 타일링 조노토프 분류는 맥멀런에 기인한다.^[6]벡터 $V$ $V$ 타일 $V$ 공간에 의해 생성된 $Z$ Zonotope $Z$ ${\displaystyle$ Z $}($ 해당 방향 매트로이드가 정규적인 경우에만 해당).그래서 겉으로 보기에 기하학적으로 보이는 조노토프는 실제로 생성 벡터의 결합 구조에만 의존한다.

Another family of tilings associated to the zonotope $Z$ are the zonotopal tilings of $Z$ . A collection of zonotopes is a zonotopal tiling of $Z$ if it a polyhedral complex with support $Z$ , that is, if the union of all zonotopes in the collection is $Z$ $Z$ 과 $Z$ (와) 임의의 두 개의 교차점이 각각 공통(비었을 가능성이 있음) 면에 있다.이 페이지에 있는 조노헤드라의 많은 이미지들은 단순히 평면 객체(삼차원 객체의 평면 표현과는 대조적으로)로 간주함으로써 2차원 조노토프의 조노토팔 기울기라고 볼 수 있다.Bohne-Dress Organization은 $Z$ {\ $displaystyle Z}$ 의 $Z$ Zonotopal기울기와 Z {\ $displaystyle Z}$ 과 연관된 ${\mathcal {M}}$ 방향 매트로이드 M ${\$ 의 단일 요소 리프트 사이에 편차가 있다고 명시하고 있다 $Z$ ^[7]^[8]

볼륨

조노헤드라, 그리고 일반적으로 n차원 조노토페스는 그들의 부피에 대해 간단한 분석 공식을 인정하는 것으로 주목할 만하다.^[9]

Let $Z(S)$ be the zonotope $Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k} \;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}$ generated by a set of vectors ${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb$ ${R} ^{n}\}}$ . $Z(S)$ 다음, Z $Z(S)$ ( $Z(S)$ $Z(S)$ ${\displaystyle$ Z $(S)}$ 의 n차원 $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ 은 $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ t T $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ : $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ = $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ ( $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$ ) $displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;$ T $=n} \det(Z(T) }}}$ 에 의해 주어진다 $Z(S)$ $\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|$

이 공식에서 결정요소는 (위에서 설명한 바와 같이) 세트 $T$ $T$ 이(가) 주변 공간의 $n$ n $n$ 과(와) 동일한 카디널리티를 $T$ 가질 때 조노토프가 병렬형이기 때문에 타당하다.

$k<n$ < $k<n$ ${\displaystyle k<n$ 이 공식은 단순히 조노톱이 n-볼륨 0을 갖는다고 명시하고 있다는 점에 유의하십시오.

참조

^ ^a ^b Eppstein, David (1996). "Zonohedra and zonotopes". Mathematica in Education and Research. 5 (4): 15–21.
^ Grünbaum, Branko (2009). "A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane". Ars Mathematica Contemporanea. 2 (1): 1–25. doi:10.26493/1855-3974.88.e12. hdl:1773/2269. MR 2485643.
^ Shephard, G. C. (1968). "Twenty problems on convex polyhedra, part I". The Mathematical Gazette. 52 (380): 136–156. doi:10.2307/3612678. JSTOR 3612678. MR 0231278.
^ "Zonohedrification".
^ 조노헤드리피케이션, 조지 W. 하트, 매스매티카 저널, 1999, 권: 7, 이슈: 3, 페이지 374-389 [1] [2]
^ 맥멀런, 피터, 1975년공간 타일링 조노토프.수학자, 22(2), 페이지 202-211.
^ J. Bohne, Eine combinatorische Analyze Zonotaler Raumaufteilungen, Print 92-041, SFB 343, Universitatett Bilefeld 1992, 100페이지.
^ 리히터-게버트, J, & 지글러, G. M. (1994)Zonotopal 기울임과 Bohne-Dress 정리.현대 수학, 178, 211-211.
^ McMullen, Peter (1984-05-01). "Volumes of Projections of unit Cubes". Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (3): 278–280. doi:10.1112/blms/16.3.278. ISSN 0024-6093.

Coxeter, H. S. M (1962). "The Classification of Zonohedra by Means of Projective Diagrams". J. Math. Pures Appl. 41: 137–156. 다시 인쇄됨
Fedorov, E. S. (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie. 21: 671–694.
Rolf Schneider, 3.5장 볼록한 신체의 "조노이드와 다른 종류의 볼록한 신체의 종류": Brunn-Minkowski 이론, Cambridge University Press, Cambridge, 1993년.
Shephard, G. C. (1974). "Space-filling zonotopes". Mathematika. 21 (2): 261–269. doi:10.1112/S0025579300008652.
Taylor, Jean E. (1992). "Zonohedra and generalized zonohedra". American Mathematical Monthly. 99 (2): 108–111. doi:10.2307/2324178. JSTOR 2324178.
Beck, M.; Robins, S. (2007). Computing the continuous discretely. Springer Science+ Business Media, LLC.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Zonohedron". MathWorld.
Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Zonohedra and Zonotopes".
Hart, George W. "Virtual Polyhedra: Zonohedra".
Weisstein, Eric W. "Primary Parallelohedron". MathWorld.
Bulatov, Vladimir. "Zonohedral Polyhedra Completion".
Centore, Paul. "Chap. 2 of The Geometry of Colour" (PDF).

[e96-1] Eppstein, David (1996). "Zonohedra and zonotopes". Mathematica in Education and Research. 5 (4): 15–21.

[2] Grünbaum, Branko (2009). "A catalogue of simplicial arrangements in the real projective plane". Ars Mathematica Contemporanea. 2 (1): 1–25. doi:10.26493/1855-3974.88.e12. hdl:1773/2269. MR 2485643.

[3] Shephard, G. C. (1968). "Twenty problems on convex polyhedra, part I". The Mathematical Gazette. 52 (380): 136–156. doi:10.2307/3612678. JSTOR 3612678. MR 0231278.

[4] "Zonohedrification".

[5] 조노헤드리피케이션, 조지 W. 하트, 매스매티카 저널, 1999, 권: 7, 이슈: 3, 페이지 374-389 [1] [2]

[6] 맥멀런, 피터, 1975년공간 타일링 조노토프.수학자, 22(2), 페이지 202-211.

[7] J. Bohne, Eine combinatorische Analyze Zonotaler Raumaufteilungen, Print 92-041, SFB 343, Universitatett Bilefeld 1992, 100페이지.

[8] 리히터-게버트, J, & 지글러, G. M. (1994)Zonotopal 기울임과 Bohne-Dress 정리.현대 수학, 178, 211-211.

[9] McMullen, Peter (1984-05-01). "Volumes of Projections of unit Cubes". Bulletin of the London Mathematical Society. 16 (3): 278–280. doi:10.1112/blms/16.3.278. ISSN 0024-6093.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Search