카쿠타니 고정점 정리

수학적 분석에서 카쿠타니 고정점 정리는 설정값 함수에 대한 고정점 정리다.그것은 유클리드 공간의 볼록하고 컴팩트한 부분 집합에 정의된 설정값 함수에 고정점, 즉 그것을 포함하는 집합에 매핑된 점을 가질 수 있는 충분한 조건을 제공한다.카쿠타니 고정 포인트 정리는 브루워 고정 포인트 정리의 일반화다.브루워 고정점 정리는 유클리드 공간의 콤팩트하고 볼록한 하위 집합에 정의된 연속 기능에 대한 고정점의 존재를 증명하는 위상에서의 근본적인 결과물이다.카쿠타니의 정리는 이것을 설정값 함수로 확장한다.

이 정리는 1941년 가쿠타니 시즈오에 의해 개발되었으며,^[1] 존 내쉬가 나시 평형증에 대한 서술에서 사용하였다.^[2]그 후 게임 이론과 경제학에 광범위하게 적용된다는 것을 발견했다.^[3]

성명서

카쿠타니의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.^[4]

S는 어떤 유클리드 공간 R의ⁿ 비어 있지 않고, 콤팩트하고 볼록한 부분집합이 되게 하라.

Letφ: S → 2는 Swith의 설정값 함수가 된다^S. 다음 속성:

• φ은 닫힌 그래프를 가지고 있다.
• φ(x)는 모든 x ∈ S에 대해 비어 있지 않고 볼록하다.

그러면 φ 고정된 지점이 있다.

정의들

설정값 함수

세트 X에서 세트 Y까지의 설정값 함수 φ은 Y의 하나 이상의 점을 X의 각 점과 연결하는 규칙이다.형식적으로는 X에서 Y의 전원 집합에 이르는 통상적인 함수로서 φ: X → 2로^Y 표기되어 φ(x)가 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in X}$에 대해 비어 있지 않다$.$ 일부는 communications라는 용어를 선호하는데, 이는 각 입력에 대해 많은 출력을 반환할 수 있는 함수를 지칭하는 데 사용된다.따라서 도메인의 각 요소는 범위의 하나 이상의 요소의 하위 집합에 해당한다.

닫힌 그래프

Aset-valued 기능 φ:X→ 2Y X× Y의 제품 위상에 설정한{(x, y)y∈ φ())}는 닫힌 부분 집합 즉 모든 시퀀스 n∈ N{\displaystyle\와 같이{x_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}}과{ny}n∈ N{\displaystyle\와 같이{y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}{)n}는 닫힌 그래프를 가질}}가 xn.다고 한다 →${\displaystyle x_{n}\to x}$, ${\displaystyle y_{n}\to y}$ and ${\displaystyle y_{n}\in \varphi (x_{n})}$ for all ${\displaystyle n}$, we have ${\displaystyle y\in \varphi (x)}$.

고정점

φ: X → 2를^X 설정값 함수로 한다.그렇다면 ∈ X는 ∈ a(a)이면 fixed의 고정점이다.

예

고정점이 무한히 많은 함수

The function: ${\displaystyle \varphi (x)=[1-x/2,~1-x/4]}$, shown on the figure at the right, satisfies all Kakutani's conditions, and indeed it has many fixed points: any point on the 45° line (dotted line in red) which intersects the graph of the function (shaded in grey) is a fixed point, so in fact 이 특별한 경우에는 무한정 고정된 점이 있다.예를 들어, x = 0.72(파란색 선)는 0.72 0[1 - 0.72/2, 1 - 0.72/4] 이후의 고정점이다.

고유 고정점을 갖는 함수

함수:

${\displaystyle \varphi (x)={\display{case}3/4&0\leq x<0.5\\\{}[0,1]&x=0.5\\1/4/0.5<x\leq 1\end{case}}}}$

모든 카쿠타니의 조건을 만족시키고, 실제로 고정점을 가지고 있다: x = 0.5는 고정점이다. x는 간격 [0,1]에 포함되어 있기 때문이다.

볼록함을 만족시키지 못하는 함수

φ(x)가 모든 x에 대해 볼록해야 한다는 요건은 정리가 유지되기 위해 필수적이다.

[0,1]에 정의된 다음 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi (x)={\display{case}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4.5<x\leq 1\end{case}}}}$

함수는 고정점이 없다.카쿠타니 정리의 다른 모든 요건을 충족하지만, 그 값은 x = 0.5에서 볼록하지 못한다.

닫힌 그래프를 만족하지 못하는 함수

[0,1]에 정의된 다음 기능을 고려하십시오.

${\displaystyle \varphi(x)={\pase}3/4&0\leq x<0.5\\1/4&0.5\leq x\leq 1\end{case}}}}$

함수는 고정점이 없다.카쿠타니 정리의 다른 모든 요건을 충족하지만, 그 그래프는 닫히지 않는다. 예를 들어, 시퀀스_n x = 0.5 - 1/n, y = 3_n/4를 고려한다.

대체명세서

카쿠타니의 원서를 포함한 일부 출처에서는 다음과 같은 정리를 명시하면서 상부혈액관념(upper hemicontinuity의 개념은 다음과 같다.

S는 어떤 유클리드 공간 R의ⁿ 비어 있지 않고, 콤팩트하고 볼록한 부분집합이 되게 하라.let: S→2는^S 모든 x ∈ S에 대해 φ(x)가 비어 있지 않고, 닫히고, 볼록하다는 속성으로 S에 대한 상위 hemiconinuous set-값 함수가 된다.그러면 쳉은 고정된 지점이 있다.

카쿠타니의 정리에 대한 이 진술은 이 글의 첫머리에 제시된 진술과 완전히 동등하다.

우리는 set-valued functions,[5]의 경우 상단 및 모든인데에 φ())은 닫힌 집합 모든 기하학의 공간이 하우스 도르프(계량 공간 중)과 φhemicontinuous다 c 것이 요구되는 컴팩트 하우스 도르프 범위 우주 Y,set-valued 기능 φ:X→2Y 닫힌 그래프았다고 주장하는 닫힌 그래프 정리를 사용하여 보여 줄 수 있어잃다카쿠타니 정리의 대체 문장에서 d-값으로, 닫힌 그래프 정리는 두 문장이 동등하다는 것을 암시한다.

적용들

게임 이론

카쿠타니 고정 포인트 정리는 제로섬 게임 이론에서 미니맥스 정리를 증명하는 데 사용할 수 있다.이 신청서는 특별히 카쿠타니의 원본 논문에 의해 논의되었다.^[1]

수학자 존 내쉬는 게임 이론에서 주요한 결과를 증명하기 위해 카쿠타니 고정 포인트 정리를 사용했다.^[2]비공식적으로 표현하면, 그 정리는 모든 유한한 게임에서 나시 평형의 존재를 암시하고 있으며, 어떤 수의 플레이어를 위한 혼합된 전략을 가지고 있다.이 작품은 후에 그에게 노벨 경제학상을 안겨주었다.이 경우:

• 베이스 세트 S는 게임에서 각 선수가 선택한 혼합 전략의 튜플 세트다.각 플레이어가 k개의 가능한 동작을 가지고 있다면, 각 플레이어의 전략은 최대 1에 이르는 확률의 k-tuple이므로, 각 플레이어의 전략 공간은^k R에서 표준 심플렉스(simplex)이다.그렇다면 S는 이 모든 단순함의 골칫거리 제품이다.그것은 정말로 R의^kn 비어있지 않고, 작고, 볼록한 부분집합이다.
• φ(x) 함수는 각 튜플과 연계하여 각 플레이어의 전략이 x에서 다른 플레이어의 전략에 대한 최선의 대응이다. 동일하게 좋은 다수의 반응이 있을 수 있기 때문에 φ은 단일값보다는 설정값이다.각 x에 대해 φ(x)는 항상 하나 이상의 최상의 반응이 있기 때문에 비어 있지 않다.한 선수에게 가장 좋은 답변 두 개를 섞은 것이 여전히 선수에게 가장 좋은 답변이기 때문에 볼록하다.φ에는 닫힌 그래프가 있음을 증명할 수 있다.
• 그러면 게임의 내시 균형은 φ의 고정점, 즉 각 플레이어의 전략이 다른 플레이어의 전략에 가장 잘 대응하는 전략의 튜플로 정의된다.카쿠타니의 정리는 이 고정점이 존재함을 보장한다.

일반 평형

경제학에서 일반 평형 이론에서, 카쿠타니의 정리는 한 경제의 모든 시장에서의 수요와 공급을 동시에 동일시하는 가격 집합의 존재를 증명하기 위해 사용되어 왔다.^[6]그러한 가격의 존재는 적어도 월라스에게 돌아가는 경제학에서 공공연한 문제였다.이 결과의 첫 번째 증거는 리오넬 맥켄지에 의해 만들어졌다.^[7]

이 경우:

• 기본 집합 S는 상품 가격의 튜플 집합이다.
• φ(x) 함수는 가격-투플 x가 모든 곳에서 수요와 공급을 동일시하지 않는 한 그 결과가 주장과 다르도록 선택된다.여기서의 과제는 카쿠타니의 정리에서의 조건을 만족시키는 동시에 이 속성을 갖도록 φ을 건설하는 것이다.이렇게 할 수 있다면 φ은 정리에 따라 고정점을 갖는다.그것이 건설된 방식을 고려할 때, 이 고정된 지점은 모든 곳의 수요와 공급을 동일시하는 가격 상승에 대응해야 한다.

공정분할

카쿠타니의 고정 포인트 정리는 질투가 없고 파레토 효율성이 높은 케이크 할당제의 존재를 입증하는 데 사용된다.이 결과는 웰러의 정리라고 알려져 있다.

증명 개요

S = [0,1]

카쿠타니의 정리 증명은 실제 라인의 닫힌 간격에 걸쳐 정의된 설정값 함수에 대해 가장 간단하다.그러나, 이 사건의 증거는 일반적인 전략이 고차원적인 사례로도 넘어갈 수 있기 때문에 유익하다.

레트 φ: [0,1]→2는^[0,1] 가쿠타니의 고정점 정리 조건을 만족하는 폐쇄간격[0,1]의 설정값 함수가 된다.

• 인접한 점들이 반대 방향으로 움직이는 [0,1]의 세분화 순서를 만든다.

i = 0, 1, …에 대해 (a_i, b_i, p_i, q_i)를 다음과 같은 속성으로 한다.

1.	1 ≥ bi > ai ≥ 0	2.	(bi − ai) ≤ 2−i
3.	pi ∈ φ(ai)	4.	qi ∈ φ(bi)
5.	a의ii p.	6.	qi ≤ bi

따라서 닫힌 간격 [a_i, b_i]은 [0,1]의 하위 절연 순서를 형성한다.조건 (2)는 이러한 하위 간격이 계속 작아지는 반면 조건 (3)~(6)은 함수 φ가 각 하위 간극의 왼쪽 끝을 오른쪽으로 이동시키고 각 하위 간극의 오른쪽 끝을 왼쪽으로 이동시킨다고 알려준다.

그러한 순서는 다음과 같이 구성될 수 있다.a₀ = 0과 b₀ = 1. p를₀ φ(0)의 어떤 점, q를₀ φ(1)의 어떤 점이 되게 한다.그런 다음 (1)~(4) 조건을 즉시 이행한다.더욱이, p₀ φ φ (0) [ [0,1]이므로₀, p ≥ 0과 따라서 조건 (5)이 충족되는 경우여야 한다.유사한 조건(6)은 q에₀ 의해 충족된다.

이제 만족스러운_k (1)–(6_k) a_k, b_k, p 및 q를 선택했다고 가정합시다.Let,

m = (a_k+b_k)/2.

그 다음 m ∈ [0,1]은 볼록하므로 [0,1]이다.

만약 r ∈ φ(m)이 r ∈ m과 같다면, 우리는,

a_k+1 = m

b_k+1 = b_k

p_k+1 = r

q_k+1 = q_k

그렇지 않으면 φ(m)이 비어 있지 않기 때문에 s ∈(m)가 있어야 한다.이 경우, 이렇게 합시다.

a_k+1 = a_k

b_k+1 = m

p_k+1 = p_k

q_k+1 = s.

a_k+1, b_k+1, p_k+1, q가_k+1 (1)~(6) 조건을 만족하는지 검증할 수 있다.

• 구획의 한계점을 찾아라.

데카르트 제품 [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1]은 타이코노프의 정리에 의해 콤팩트 세트다.시퀀스(a_n, p_n, b_n, q_n)가 이 콤팩트 세트에 있으므로, 볼자노-바이에르스트라스 정리에 의한 수렴을 가져야 한다.그런 부분들에 주의를 집중시키고 그 한계를 (a*, p*,b*,q*)로 둡시다.φ의 그래프는 닫혀 있으므로 p* ∈(a*)과 q* ∈(b*)의 경우일 것이다.또한 조건 (5) p* ≥ a* 및 조건 (6) q* ≤ b*에 따라.

하지만 (b_i - a_i) ≤ 2⁻ⁱ by 조건 (2)

b* - a* = (lim b_n) - (lim a_n) = 림(b_nn - a) = 0.

따라서 b*는 a*와 같다.x = b* = a*로 두십시오.

그렇다면 우리는 다음과 같은 상황을 가지고 있다.

φ(x) q q* ≤ x * p* ∈ φ(x).

• 제한점이 고정점임을 보여 준다.

p* = q*이면 p* = x = q*. p* ∈(x)부터 x는 φ의 고정점이다.

그렇지 않으면 다음과 같이 쓸 수 있다.두 지점 a와 b 사이의 선을 (1-t)a + tb로 매개변수화할 수 있다는 점을 상기하십시오.위의 연구 결과를 사용하여 p와 q 사이에 x의 함수(아래 분수가 단위 간격에 있다는 것을 알음)로 그러한 선을 생성할 수 있다.x의 편리한 글씨에 의해, 그리고 φ(x)는 볼록하고

${\displaystyle x=\left-q^{*}}{p^{*}-q^{*}}\오른쪽)p^{*}+\p^{*}+\p^(1-{\frac{x-q^{*}}{p^{*-q^{*}}}\rig)q^{*}}}}}}}}}}}}}}}}}q^{{*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

p*와 q*가 하기 때문에 x는 반드시 φ(x)에 속해야 하며 따라서 x는 φ의 고정점이다.

S는 n-simplex이다.

보다 큰 치수에서, n-단순은 카쿠타니의 정리를 증명할 수 있는 가장 단순한 물체다.비공식적으로, n-simplex는 삼각형의 고차원 버전이다.심플렉스 위에 정의된 설정값 함수에 대한 카쿠타니의 정리를 증명하는 것은 본질적으로 간격을 두고 증명하는 것과 다르지 않다.고차원 사례의 추가적인 복잡성은 도메인을 보다 미세한 하위 부품으로 절단하는 첫 번째 단계에서 존재한다.

• 우리가 1차원 사례에서 중간에서 간격을 둘로 나누는 경우, 이심분할은 심플렉스 하나를 더 작은 하위 단순으로 나누는 데 사용된다.
• 1차원의 경우, 우리는 기본적인 주장들을 사용하여 그것의 끝점이 반대 방향으로 이동되는 방식으로 반간격들 중 하나를 선택할 수 있지만, 단순화의 경우, Sperner의 보조정리라고 알려진 결합결과는 적절한 하위단위의 존재를 보증하는 데 사용된다.

일단 이러한 변화가 첫 번째 단계로 이루어지면, 한계점을 찾아내고 그것이 고정점임을 증명하는 두 번째와 세 번째 단계는 1차원 사례와 거의 변함이 없다.

임의 S

n단추에 대한 카쿠타니의 정리는 임의의 콤팩트 볼록 S에 대한 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.다시 한번 우리는 점점 더 미세한 세분화를 만드는 동일한 기술을 사용한다.그러나 n단계의 경우처럼 가장자리가 직선인 삼각형 대신 현재 가장자리가 곡선인 삼각형을 사용하고 있다.격식어 S를 포괄하는 심플렉스(simplex)를 찾은 다음 변형 수축장치를 이용해 문제를 S에서 심플렉스(simplex)로 옮긴다.그러면 우리는 이미 확립된 결과를 n-심플레스에 적용할 수 있다.

무한 차원 일반화

카쿠타니의 고정점 정리는 어빙 글릭스버그와^[8] 키팬에 의해 무한 차원 국소 볼록한 위상 벡터 공간으로 확장되었다.^[9]이 경우에 정리를 진술하려면 몇 가지 정의가 더 필요하다.

상피혈액

세트 값 함수 φ: X→2는^Y 모든 오픈 세트 W ⊂ Y에 대해 세트 {x φ(x) ⊂ W}이(가) X에서 열려 있는 경우 상위 헤미콘틴이다.^[10]

카쿠타니 지도

X와 Y를 위상 벡터 공간으로 하고 and: X→2는^Y 설정값 함수로 한다.Y가 볼록한 경우, 위쪽 헤미콘틴인 경우 φ을 카쿠타니 지도라고 하고, φ(x)는 모든 x for X에 대해 비고, 콤팩트하고 볼록한 경우 φ를 카쿠타니 지도라고 한다.^[10]

그러면 카쿠타니-글릭스베르크-팬 정리는 다음과 같이 명시할 수 있다.^[10]

S는 Hausdorff 지역적으로 볼록한 위상 벡터 공간의 비어 있지 않고 콤팩트하며 볼록한 부분집합이 되도록 하자.레트 φ: S→2는^S 카쿠타니 지도가 된다.그러면 쳉은 고정된 지점이 있다.

단일값 함수에 해당하는 결과는 타이코노프 고정점 정리다.

정리의 진술이 유클리드 사례에서와 같아지는 또 다른 버전이 있다.^[5]

S는 국소적으로 볼록한 하우스도르프 공간의 비어 있지 않고 컴팩트하며 볼록한 부분집합이 되게 하라.Let φ: S→2는^S 닫힌 그래프가 있고 φ(x)가 모든 x ∈ S에 대해 비어 있지 않고 볼록한 속성을 가진 S에 대해 설정값 함수가 된다.그러면 φ의 고정점 세트가 비고 콤팩트하다.

일화

켄 빈모어는 게임 이론 교과서에서 카쿠타니가 컨퍼런스에서 왜 그렇게 많은 경제학자들이 그의 강연에 참석했는지를 물어본 적이 있다고 회상한다.^[11]빈모어가 카쿠타니 고정점 정리 때문일 것이라고 말하자 카쿠타니는 어리둥절해하며 카쿠타니 고정점 정리란 무엇인가라고 대답했다.

참조

추가 읽기

• Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. (경제학자용 고정점 이론에 대한 표준 참조).카쿠타니의 정리를 증명하는 것을 포함한다.)
• Dugundji, James; Andrzej Granas (2003). Fixed Point Theory. Springer. (카쿠타니의 정리의 무한 차원 유사성을 포함한 고정점 이론의 종합적인 고등 수학적 처리)
• Arrow, Kenneth J.; F. H. Hahn (1971). General Competitive Analysis. Holden-Day. ISBN 9780816202751. (일반 평형 이론에 대한 표준 참조).제5장에서는 평형가격의 존재를 증명하기 위해 카쿠타니의 정리를 이용한다.부록 C는 카쿠타니의 정리에 대한 증거를 포함하며, 경제학에서 사용되는 다른 수학적 결과와의 관계를 논한다.

외부 링크

• "Kakutani theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 카쿠타니의 정리는 연속 선택 함수를 이용하여 브루워의 정리로 축소할 수 없다.