벡터 필드의 레이 브래킷

미분위상의 수학적 분야에서, 자코비-라고도 알려진 벡터장의 눕는 괄호.리 브래킷 또는 벡터 필드의 정류자(Lie Bracket)는 [X, Y]로 표시된 세 번째 벡터 필드의 매끄러운 다지관 M에서 임의의 두 개의 벡터 필드 X와 Y에 할당하는 연산자다.null

개념적으로 Lie bracket[X, Y]은 X가 ${\displaystyle {생성}_{}}$하는 흐름을 따라 Y의 ${\displaystyle {}_{}}$이며, L $X{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ Y ${\displaystyle {\mathcal{L}_{X}Y}("$X를 따라 Y의 Lie deparative of X")로 표기되기도 한다.이는 X가 생성하는 흐름을 따라 텐서 필드의 Lie 파생상품으로 일반화된다.

리 브라켓은 R-편향 연산이며, 다지관 M의 모든 매끄러운 벡터장 세트를 (무한차원) 리 대수학으로 변환한다.null

리 브라켓은 예를 들어 프로베니우스 통합성 정리 등에서 미분 기하학 및 미분 위상에 중요한 역할을 하며, 비선형 제어 시스템의 기하학 이론에서도 기본이다.^[1]null

정의들

Lie Bracket을 정의하는 방법에는 개념적으로는 다르지만 동등한 세 가지가 있다.

벡터 필드(파생으로)

각 부드러운 벡터 필드 $X{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\$디스플레이 $스타일 X:$$M\rightarrow TM}$ on a manifold M may be regarded as a differential operator acting on smooth functions ${\displaystyle f(p)}$ (where ${\displaystyle p\in M}$ and ${\displaystyle f}$ of class ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$) when we define ${\displaystyle X(f)}$ to be another fup $지점$에서의 값 ${\displaystyle p}$이(가) 방향 X(p)에서 p 지점에서의 f의 방향 파생 모델인 nection.이렇게 하여 각각의 매끄러운 벡터장 X는 C^∞(M)에서 파생되는 것이 되고, 나아가^∞ C(M)의 어떠한 파생도 독특한 매끄러운 벡터장 X에서 발생하게 된다.

In general, the commutator ${\displaystyle \delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}$ of any two derivations ${\displaystyle \delta _{1}}$ and ${\displaystyle \delta _{2}}$ is again a derivation, where ${\displaystyle \circ }$ denotes composition of operators. 이것은 Liebracket을 정류자 유도체에 해당하는 벡터장으로 정의하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle [X,Y](f)=X(f)-Y(F)\;\;{\text{{}모든 }f\in c^{\inflt }(M).}$

흐름 및 한계

$\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle t_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 벡터 필드 X와 연관된 흐름이 되도록$$ 하고, D는 접선 지도 파생 연산자를 나타내도록 한다.그런 다음 x and M 지점에서 X와 Y의 Li Bracket을 Li 파생상품으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle [X,Y]_{X}\\({\mathcal {L}_{X}Y)_{x}\=\\lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D}\Phi _{-t}^{X})}Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}}{t}\\\ \왼쪽.{\tfrac {\mathrm {d}{\mathrm {d} t}\오른쪽 _{t=0}(\mathrm {D}\Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.}$

$또한{\displaystyle }$ X ,${\displaystyle Y}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$, - Y ,${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X, Y$,-X,-Y}$의 연속 방향에서 흐름의 고장을 측정하여 x:

${\displaystyle [X,Y]_{x}\ =\ \왼쪽.{\tfrac {1}{1}:{2}}: {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}: {d} t^{2}}\오른쪽 _{t=0}(\Phi _{-t}^{-}^{{}}}}}}}{{2}}}}}}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}Y}\circle \Phi _{-t}^{X}\circle \Phi _{t}^{{t}^{Y}\circle \Phi _{t}^{X})(x)\ =\\\ \왼쪽.{\tfrac {\mathrm {d}{\mathrm {d} t}\오른쪽 _{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt{t}}}^{\\t}}}^{{\t}}}}{\mathrmatrmat {d}}}}}}}{{{Y}\circle \Phi _{\!-{\sqrt{t}^{X}\circle \Phi _{\!{\sqrt{t}}^{\circle \Phi _{\!{\sqrt{t}}^{X})(x).}$

좌표 내

위의 Lie bracket의 정의는 본질적인 것이지만(다지관 M의 좌표 선택과는 무관), 실제로 특정 좌표계$xistyle \{x^{i}\}}}}{\$$displaystyle \partial _{i}}{\tfrac{\partial$}}}}}}}}의 관점에서 브라켓을 계산하고자 하는 경우가 많다$.$$}{\partial x^{i}}}}$ for the associated local basis of the tangent bundle, so that general vector fields can be written ${\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}}$and ${\displaystyle \textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}$$부드러운$ 기능 $X{\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle i^{}}$,$$${\displaystyle {Yi}^{}}$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ X$^{i},$$Y^{i}:M\to \mathb {R}$ $\}.$ 그러면 거짓말 괄호를 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\왼쪽(X(Y^{i}-Y^{i}\right)\partial _{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum _{j=1}{j=1}{n}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.}$

M이 (열린 부분집합) R인ⁿ 경우, 벡터 필드 X와 Y는 $X{\displaystyle }$: M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 형식의 매끄러운 맵으로 기록될 수 있다.$M\to \mathb {R} ^{n}$ 및 $Y$ : ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ Y$:$$M\to \mathb {R} ^{n$ 및 Lie bracket${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$M\to \mathb{R} ^{n}}$은(는) 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

여기서 ${\displaystyle {JY}_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {JX}_{}}$ ${\$은(는) n × n Jacobian 행렬이다( (${\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$$Y^{i}}$과(와) $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ i ${\$은(각각$$ 인덱스 표기법을 사용하여)에 n × 1 열 벡터 X와 Y를 곱한다.

특성.

The Lie bracket of vector fields equips the real vector space ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ of all vector fields on M (i.e., smooth sections of the tangent bundle ${\displaystyle TM\to M}$) with the structure of a Lie algebra, which means [ • , • ] is a map ${\displaystyle V\times V\to V}$ with:

• R-이변성
• 반대칭,${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• ${\displaystyle \mathrm{자코비}}$ 아이덴티티$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Y}$, Z ${\displaystyle ]}$+${\displaystyle }$[${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$+${\displaystyle }$[ ${\displaystyle Y,}$] + [ Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Z]}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$디스플레이 $스타일 [X,$ [$Y,Z]+[X,Y$]+[Y$,$Y$]+[X,Z$]+], [$Z,X]=0$.$}$

두 번째 속성의 즉각적인 결과는 $모든{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 대해$,X]=0}$인 것이다$.$

게다가, Lie bracket에는 "제품 규칙"이 있다.M에서는 매끄러운 (scalar-값) 함수 f, M에서는 벡터 필드 Y를 각 지점 x ∈ M에서 벡터 Y에_x 스칼라 f(x)를 곱하여 새로운 벡터 필드 fY를 얻는다.다음:

• ${\displaystyle [X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],}$

여기서 스칼라 함수 X(f)와 벡터 필드 Y를 곱하고 스칼라 함수 f를 벡터 필드 [X, Y]와 곱한다.이것은 리 브라켓이 있는 벡터장을 리알헤브로이드로 바꾼다.null

X와 Y의 Lie Bracket의 소멸은 이러한 방향으로 흐르는 흐름을 따라 M에 내장된 표면을 정의하며, X와 Y는 좌표 벡터장으로 한다.

Theorem: ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ iff the flows of X and Y commute locally, meaning ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$ for all x ∈ M and sufficiently small s, t.

이것은 프로베니우스 통합성 정리의 특별한 경우다.null

예

Lie 그룹 G의 경우 해당 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) ID T $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{e}G$의 접선 공간이며$$, G의 왼쪽 불변 벡터 필드의 벡터 공간으로 식별할 수 있다.좌불변 벡터장 2개의 Lie Bracket도 좌불변으로 되어 있어 자코비-을 정의하고 있다.Lie Bracket 작동${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle ]}$: ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle g}$→ g ${\$ \,\cdot $\,]:$${\mathfrak {g}\mathfrak {$g}\mathfrak {g$}에 {\mathfrak {g$

행렬 $g{\displaystyle }$lie ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$) ${\displaystyle$ g$\in G_{n\time n}(\mathb {R} )}$인 매트릭스 Lie 그룹의 경우$,$ 각 접선 공간을 행렬로 나타낼 수 있다.${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {\times }_{}}$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$R${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{G}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\time$ n$}(\mathb {R}$ $)\}\},$ 여기서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaysty \cdot }$은 행렬을 의미하며$$, 나는 정체성이다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g}$= T ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X$\in {\mathfrak{g}}=$에 해당하는 불변 벡터 필드$T_{I}G}$는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ = g ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$ T ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ X_{$g}=g\cdot$ X$\in T_${g$}G}에 의해$ 주어지며$,$ 계산 결과 g ${\displaystyle$ {\$mathfrak{g}}}}}}$에 있는 Lie 괄호가 행렬의 일반적인 정류자에 해당한다$$.

${\displaystyle [X,Y]\\\\ X\cdot Y-Y\cdot X.}$

적용들

자코비-레이 브래킷은 드리프트리스 아핀 제어 시스템에 대한 소시간 국소 제어성(STLC)을 입증하는 데 필수적이다.null

일반화

위에서 언급했듯이, Lie 파생상품은 Lie 계층의 일반화로 볼 수 있다.리 브라켓(벡터 값 미분 형식에 대한)의 또 다른 일반화는 프롤리허-니젠후이스 브라켓이다.null

참조

• "Lie bracket", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Isaiah, Pantelis (2009), "Controlled parking [Ask the experts]", IEEE Control Systems Magazine, 29 (3): 17–21, 132, doi:10.1109/MCS.2009.932394, S2CID 42908664
• Khalil, H.K. (2002), Nonlinear Systems (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-067389-7
• Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag{{citation}}: CS1 maint : 복수이름 : 저자 목록 (링크) Lie brackets에 대한 폭넓은 논의, Lie 파생상품의 일반론.
• Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1 무한 치수에 대한 일반화.
• Lewis, Andrew D., Notes on (Nonlinear) Control Theory (PDF)^{[영구적 데드링크]}
• Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3