닫힌 그래프 정리

수학에서, 닫힌 그래프 정리는 그래프 측면에서 연속함수의 특징을 나타내는 몇 가지 기본적인 결과 중 하나를 가리킬 수 있다.각각은 닫힌 그래프를 가진 함수가 반드시 연속적일 때 조건을 제시한다.

닫힌 그래프가 있는 그래프 및 맵

If ${\displaystyle f:X\to Y}$ is a map between topological spaces then the graph of ${\displaystyle f}$ is the set ${\displaystyle \operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}}$ or equivalently,

${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Gr}이($가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle X\times$ Y$}($$제품$ 위상 포함)의 닫힌 부분 집합인$$ 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyf f}$의 그래프가 닫힌다고 한다.

하우스도르프 공간에 대한 모든 연속 함수는 닫힌 그래프를 가지고 있다.

변환 불변량 메트릭스(Cauchy)와 관련하여 위상이 완료된 (Cauchy) 두 위상 벡터 공간 사이에 선형$$ 지도 $L{\displaystyle }$${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle L\to Y}$이(가) 있고, 추가로 ($a{\displaystyle }$) L ${\displaysty L}$이(가) 제품 위상의 의미에서 순차적으로 연속이라면$$ 지도 L ${\displaysty L}$은 con이다.주석과 그 그래프인 Gr L은 반드시 닫힌다.반대로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) (1)a 대신 포함된 선형 지도인$$ 경우, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 그래프는 (1b)로$$ 데카르트 제품 $공간{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaysty$ X$\time Y}$에서 닫힌 것으로 알려져 있으며$,$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystystyle L}$은 연속성이므로$$ 반드시 연속되어야 한다.^[1]

닫힌 그래프가 없는 연속 지도 예제

If ${\displaystyle X}$ is any space then the identity map ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ is continuous but its graph, which is the diagonal ${\displaystyle \operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},}$, is closed in ${\displaystyle X\times X}$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프일 경우에만$$.^[2]특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff가 아닌 경우 ${\displaystyle \mathrm{ID}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$은(는) 연속적이지만$$ 닫힌 그래프가 없다.

Let ${\displaystyle X}$ denote the real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the usual Euclidean topology and let ${\displaystyle Y}$ denote ${\displaystyle \mathbb {R} }$ with the indiscrete topology (where note that ${\displaystyle Y}$ is not Hausdorff and that every function valued in ${\$디스플레이 $스타일 Y}$은(는) 연속형).$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y$${\displaystyle \}}$을(를) $모든{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle }$${\displaystyle f$$(0)=1}$및 $f$(x )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f$$(x$$)=$$0}$로 정의한다$.$$그{\displaystyle }$ 다음${\displaystyle }$f :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$은(는) 연속이지만$$ 그래프는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times$ Y$}$에서 닫히지 않는다$.$^[3]

점 집합 위상에서의 폐쇄 그래프 정리

점 집합 위상에서 닫힌 그래프 정리는 다음과 같이 기술한다.

설정값 함수의 경우

기능분석에서

If ${\displaystyle T:X\to Y}$ is a linear operator between topological vector spaces (TVSs) then we say that ${\displaystyle T}$ is a closed operator if the graph of ${\displaystyle T}$ is closed in ${\displaystyle X\times Y}$ when ${\displaystyle X\times Y}$ is endowed with the product topology.

닫힌 그래프 정리는 닫힌 선형 연산자가 특정 조건 하에서 연속적이라는 것을 보장하는 기능 분석에서 중요한 결과물이다.원래의 결과는 여러 번 일반화되었다.폐쇄형 그래프 이론의 잘 알려진 버전은 다음과 같다.

참고 항목

• 거의 열린 선형 지도
• 경계 공간 – 위상 벡터 공간
• 닫힌 그래프 – 제품 공간에서 닫힌 지도 그래프
• 닫힌 선형 연산자
• 불연속 선형 지도
• 카쿠타니 고정점 정리 – 콤팩트한 비빈 볼록 부분집합 S⊂ⁿ의 함수 f: S→Pow(S)가 고정점을 갖는 경우
• 개방형 매핑 정리(기능분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건
• Ursescu 정리 – 닫힌 그래프의 일반화, 개방형 매핑, 균일한 경계 정리
• 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간
• 자리스키의 주정리 – 대수기하학과 정류대수의 정리

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
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• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
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• "Proof of closed graph theorem". PlanetMath.