풀백 번들

수학에서 풀백 묶음 또는 유도 묶음은^[1][2][3] 그 기저 공간의 지도에 의해 유도되는 섬유 묶음이다.섬유다발 π : E → B, 연속지도 f : B′ → B를 기준으로 하면 F에 의한 E의 "풀백"을 B′ 위에 있는 묶음 fE로^* 정의할 수 있다.B′에서 점 b′ 위에 있는 fE^* 섬유는 단지 f(b′) 위에 있는 E의 섬유일 뿐이다.따라서 fE는^* 적절한 위상이 장착된 이 모든 섬유들의 분리 결합이다.null

형식 정의

π : E → B는 추상섬유 F를 가진 섬유다발이며 f : B′ → B는 연속지도가 되도록 한다.풀백 번들 정의 기준

${\displaystyle f^{*}E=\{b',e)\in B'\time E\mid f(b')=\pi(e)\}\subseteq B'\time E}$

그리고 그것을 서브 스페이스 위상 및 투영 지도 π′ : fE^* → B′로 장착한다.

${\displaystyle \pi '(b',e)=b'\,}$

두 번째 요인에 대한 투영법은 지도를 제공한다.

${\displaystyle h\colon f^{*}E\to E}$

다음과 같은 도표가 통용되는 경우:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{\\stackrel {h}{{}{\longrightarrow }{{\pi}}}\downarrow \pi \pi \\\\\b'&\stackarrow}{f}}}}$

만일 (U, φ)이 E의 국소소소급이라면 (fU⁻¹, ψ)는 fE의 국소소소급화(local specialization)이며, 여기서 는 fE의^* 국소소소소급이다.

${\displaystyle \cHB(b',e)=(b'),{\mbox{proj}_{2}(\varphi(e))).\,}$

그리고 나서 fE는^* B′ 위에 F섬유를 얹은 섬유 묶음이라는 것을 따른다.번들 fE는^* f에 의해 E의 풀백 또는 f에 의해 유도된 번들이라고 불린다.그리고 나서 지도 h는 f를 덮고 있는 묶음 형태론이다.null

특성.

B에 대한 E의 어떤 섹션 s는 단순히 정의에 의해 풀백 섹션 fs라고^* 불리는 fE의^* 섹션을 유도한다.

${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle :=}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle s}$( f${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}\text{)}}$ ) )$$) {\$displaystyle$f^{*s$(b'):=(b'),s(f(b')\}}$ 모든$$ b ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ b$'\in$ B$\text{'}\}.$

번들 E → B가 t 전환_ij 기능을 가진 구조 그룹 G를 가지고 있는 경우(로컬 소품화 {(U_i, φ_i) 패밀리 관련) 풀백 번들 fE도^* 구조 그룹 G를 가지고 있다.fE의^* 전환 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\message f.}$

E → B가 벡터 번들 또는 주 번들이라면 풀백^* fE도 마찬가지다.주요 번들의 경우, fE에^* 대한 G의 올바른 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle (x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)}$

그런 다음 f를 덮고 있는 지도 h가 등가성이므로 주요 번들의 형태론을 정의한다.null

범주 이론의 언어에서 풀백 번들 구성은 보다 일반적인 범주형 풀백의 예다.이와 같이 그것은 상응하는 보편적 특성을 만족시킨다.null

풀백 번들 시공은 매끄러운 다지관의 범주와 같은 위상학적 공간 범주의 하위 범주로 수행할 수 있다.후자 구조는 미분 기하학 및 위상에 유용하다.null

다발과 껍질

번들은 또한 그들의 한 무더기의 섹션으로 설명될 수 있다.그러면 묶음의 풀백은 편평한 방광체인 칼집의 역적 이미지에 해당한다.그러나 피복은 피복의 직접적인 이미지라고 불리는 푸시포워드를 가지고 있기 때문에 더 자연스럽게 공변량 물체다.다발과 피복 사이의 긴장과 상호 작용, 즉 역과 직선의 이미지는 기하학의 많은 영역에서 유리할 수 있다.그러나, 묶음 단면의 직접적인 이미지는 일반적으로 어떤 직접 이미지 묶음의 단면 조각이 아니기 때문에, '다발의 푸시포워드'의 개념은 어떤 맥락에서 정의되지만(예를 들어, 차이점형주의에 의한 푸시포워드) 일반적으로는 오베제크(objecc)가 있기 때문에 단면 조각의 범주에서 더 잘 이해된다.그것은 일반적으로 묶음이 될 수 없다.null

참조

원천

• Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 20 (Third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5.

추가 읽기

• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 166. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.