컴팩트한 하우스도르프 공간의 연속 기능

수학적 분석, 특히 기능적 분석에서는 실제 또는 복잡한 숫자의 값을 갖는$$ 콤팩트한 하우스도르프 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 대한 연속 함수의 공간에 의해 근본적인 역할을 수행한다.$C{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)$로 표시된 이 공간은 상수에 의한 스칼라 곱셈과 함수의 점적 덧셈에 관한 벡터 공간이다$$.게다가, 그것은 표준으로 정의된 공간이다.

획일적인 규범균일 규범은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$ 공간$$ $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$는 이 규범과 관련된 바나흐 대수학이다.(Rudin 1973, §11.3)

특성.

• By Urysohn's lemma, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ separates points of ${\displaystyle X}$: If ${\displaystyle x,y\in X}$ are distinct points, then there is an ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(X)}$ such that ${\displaystyle f(x)\neq f(y).$$}$
• 공간 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 무한 공간일 때마다 무한 차원이다$$(${\displaystyle 점}$을 분리하기 때문에).따라서 특히 일반적으로 국소적으로 압축되지 않는다.
• 리에츠-마르코프-카쿠타니 표현 정리는 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal {\c}(X$)의 연속적인 이중 공간의 특성화를 제공한다$.$$}$ 구체적으로$$ 이 이중 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($${\displaystyle \mathrm{정규적}}$인 보렐 조치)에 대한 라돈 측정의 공간이며, ${\displaystyle \mathrm{rca}}$ ⁡${\displaystyle }$(${\displaystyle }$X ${\displaysty \operatorname {rca}(X)$로 표시된다$.$$}$ 측정값의 총변동에 의해 주어진 규범과 함께 이 공간$$ 역시 바 공간의 등급에 속하는 바나흐 공간이다.(Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.3)
• $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle (X}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$의 양의 선형 함수는 다른 형태의 Riesz 표현 정리에 의해$$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$에 대한 (양) 정규 보렐 측정에 해당한다$$. (Rudin 1966, 2장)
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 무한이면 $C{\displaystyle \mathcal{}(}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$C}(X)}$은(는) 반사적이지도 않고 약하게 완전하지도 않다.
• 아르젤라-아스콜리 정리는 다음과 같다: $C{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle }$$){\displaystyle{\mathcal{C}}($$X$$)$의 $서브셋{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K$${\displaystyle \}}$이(가) C$$( X ) , {\$displaystyle$ {\$mathcal}, {\c}$의 규범에 경계되어 있는 경우에만 비교적 콤팩트하다.
• 스톤-바이어스트라스 정리는 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal{C}}(X$)에 대해 유지된다$.$$}}$ 실제 함수의 경우$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$A}이$$(${\displaystyle 가}$) 모든 상수를 포함하고 점을 $구분$하는 C${\displaystyle (}$ X$){\displaystyle${\$mathcal}(X)$의 하위 문자열인 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A$${\displaystyle \}}$의 $닫힘$은 C${\displaystyle (X}$ ) .$${\$displaystystyle {\{C}}이다.$$}}$ 복합함수의 경우$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 복합 결합에 의해 닫힌다는$$ 추가적인 가설을 명기하고 있다.
• If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are two compact Hausdorff spaces, and ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)}$ is a homomorphism of algebras which commutes with complex conjugation, then ${\displaystyle F}$ is continuous.또한$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle }h{\displaystyle }$)${\displaystyle }$= h${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle F(h)(y)=h(y)=$h($y)}$의 일부$$ 연속 $함수{\displaystyle }$ F :${\displaystyle }$Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$.${\displaystystyle f:$$Y\$${\displaystyle \mathrm{to}}$ $X.}$ 특히$$ $C{\displaystyle (}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ C$(X)}$과 $C{\displaystyle (Y)}$ ${\displaystyle C(Y)}$이(가) 알헤브라와 같은 이형이라면 X ${\displaystyle X}$와 $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$은 동형 위상학 공간이다$$.
• $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$을(를) $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X ${\displaystyle )}$에 있는 최대 이상 공간이라고 합시다$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)$$}$ Then there is a one-to-one correspondence between Δ and the points of ${\displaystyle X.}$ Furthermore, ${\displaystyle \Delta }$ can be identified with the collection of all complex homomorphisms ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .}$ Equip ${\displaystyle \Delta }$with the i$C{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle X}$ )${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}($즉, Gelfand 변환)와의 이 쌍에 대한 질적 위상.그러면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 이 위상이 장착된 Δ에 대해 동형이다. (Rudin 1973, §11.13)
• $C{\displaystyle \mathcal{}(X}$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$의 시퀀스는 $C{\displaystyle \mathcal{}(X}$) ${\displaystyle {\mathcal${C$}}(X)$로 경계되고 포인트와이즈가 수렴되는 경우에만 약하게$$ Cauchy이다.특히 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X)}$은(는) $유한{\displaystyle }$ 집합$$X {\$displaystyle X}$에 대해서만 약하게 완전하다$$.
• 모호한 위상은 $C{\displaystyle \mathcal{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\mathcal{C}}(X$)의 이중에서 약한* 위상이다$.$$}$
• 바나흐-알라오글루 정리는 규범된 모든 공간이 $일부{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$.$${\$displaystyle$ X$.}$에 대해 C (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle C(X)}$의 하위 공간에 대해 등축적으로 이형화됨을 암시한다.

일반화

$공간{\displaystyle }$ C (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ $C$$(X)}$은(는) 위상학적 공간 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$ 그러나 비 컴팩트 사례에서$$ $C{\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle C(X)}$은 무한함수를 포함할 수 있으므로 균일한 표준과 관련하여 Barnach 공간은 일반적으로$$ 정의될 수 없다.따라서 $여기$서 X${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X$에 대한 경계 연속함수의$$ ${\displaystyle {CB}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{B}(X)}$로 표시된 공간을 고려하는 것이 더 일반적이다$.$ 이것은$$ 균일한 규범에 관하여 Banach 공간(사실 정체성을 가진 상호 Banach 대수)이다.(휴이트 & 스트롬버그 1965, 정리 7.9)

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간인$$ 경우 특수한 경우를 고려하여 이러한 일반적인 정의를 더욱 정교화하는 것이 때로는 바람직하다.이 경우$,$ C ${\displaystyle B_{}}$( $){\displaystyle C_{B}(X)}$ : (Huitt & Stromberg 1965, §II.7)의 구별되는 하위 집합 한 쌍을 식별할 수 있다.

• ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{00}{}_{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C_{00}(X$)}, 콤팩트한 지원을 받는 기능으로 구성된$$ $C{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle$ C$(X)}$의 하위$$ 집합$.$이것을 무한의 근방에서 소멸하는 함수의 공간이라고 한다.
• C의 C 0(X),{\displaystyle C_{0}(X),}하위 집합(X){C(X)\displaystyle}기능으로 구성된 그러한 그들이 모든 r>;0,{\displaystyle r>0,}이 있는 컴팩트 세트 K⊆ X{\displaystyle K\subseteq X}가 f())<>r{\displaystyle f())<>r}에 대한 모든 x∈ X∖ K.{\disp.laystyl$e X\in X\백슬래시 K.}$ 이것을 무한에서 소멸하는 함수의 공간이라고 한다.

$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle C_{00}(X)}$의 폐쇄는 정확하게 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$ )${\displaystyle }$.${\displaystyle C_{0}(X$)이다$.$$}}$특히$$ 후자는 바나흐 공간이다.

참조

• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rudin, Walter (1966), Real and complex analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.