스펙트럼(기능분석)

수학, 특히 기능 분석에서, 경계 선형 연산자(또는 더 일반적으로, 무한 선형 연산자)의 스펙트럼은 행렬의 고유값 집합의 일반화다. 구체적으로는 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ I ${\displaystyle T-\lambda$ I$}$이(가) 변위할 수 없는 경우 경계 선형 연산자 T의 스펙트럼에 복합수 λ이 있다고 하며, 여기서 I는 I이다. 스펙트럼 및 관련 성질에 대한 연구는 스펙트럼 이론으로 알려져 있는데, 스펙트럼 이론은 수많은 응용을 가지고 있으며, 특히 양자 역학의 수학적 공식화가 두드러진다.

유한차원 벡터 공간에서 연산자의 스펙트럼은 정확히 고유값의 집합이다. 그러나 무한 차원 공간의 연산자는 스펙트럼에 추가 요소를 가질 수 있으며 고유값이 없을 수도 있다. 예를 들어, Hilbert 공간 ℓ에서² 우측 교대 연산자 R을 고려한다.

${\displaystyle(x_{1},x_{2},\mapsto)\mapsto(0,x_{1},x_{2},\messages ).}$

만약 Rx=svx가 이 식을₁ 확장하면 x₂=0, x=0 등을 볼 수 있기 때문에 이것은 고유값이 없다. 반면에, 연산자 R - 0(즉, R 그 자체)은 변위할 수 없기 때문에 0은 스펙트럼에 있다. 즉, 0이 아닌 첫 번째 구성요소를 가진 벡터는 그 범위에 있지 않기 때문에 굴절적이지 않다. 실제로 복잡한 바나흐 공간의 모든 경계 선형 연산자는 비어 있지 않은 스펙트럼을 가져야 한다.

스펙트럼의 개념은 무한(즉, 반드시 한정된 것은 아님) 연산자로 확장된다. A complex number λ is said to be in the spectrum of an unbounded operator ${\displaystyle T:\,X\to X}$ defined on domain ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ if there is no bounded inverse ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ defined on the whole of ${\di$$splaystyle X.}$ T가 닫힌 경우$$(T가 경계된 경우 포함), $({\displaystyle T}$- ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 경계가 그 존재로부터 자동으로 따른다$$.

바나흐 공간 X의 경계 선형 연산자 B(X)의 공간은 단이탈 바나흐 대수학의 예다. 스펙트럼의 정의는 그러한 대수가 가지고 있는 것을 제외하고 B(X)의 어떤 특성도 언급하지 않기 때문에, 스펙트럼의 개념은 동일한 정의의 어휘를 사용하여 이 맥락에 일반화할 수 있다.

경계 연산자의 스펙트럼

정의

$T{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $T$$}$을(를$)$ 복잡한 스칼라 필드 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$및 $I{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $I$을(를) 통해 Banach 공간 $X$에 작용하는 경계 선형 연산자로 $두십시오$. $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 스펙트럼은 $모든$ ${\displaystyle t}$- C ${\$의 집합이며, 연산자$$ $T{\displaystyle }$ - ${\displaystyle \lambda }$ I ${\displaystytle T-\lambda I}$에는 경계 선형 연산자인 역 연산자가 없다$$.

$T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$이(가) 선형 연산자이므로$$ 역이 존재하면 선형이며, 경계 역정리에 의해 경계된다. 따라서 스펙트럼은 $정확$하게 스칼라$$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $\lambda }$으로 구성되며, T - consists I ${\displaystyle T-\lambda I}$은(는) 편향적이지 않다$$.

The spectrum of a given operator ${\displaystyle T}$ is often denoted ${\displaystyle \sigma (T)}$, and its complement, the resolvent set, is denoted ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$. (${\displaystyle \rho (T)}$ is sometimes used to denote the spectral radi$T$의 사용자$([\displaystyle$ T$\})$

고유값과의 관계

If ${\displaystyle \lambda }$ is an eigenvalue of ${\displaystyle T}$, then the operator ${\displaystyle T-\lambda I}$ is not one-to-one, and therefore its inverse ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ is not defined. 그러나 역문은 사실이 아니다. 연산자 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\$$displaystyle$$T-\$$lambda$ $I$$}$은(는$)$ $고유값$이 아니어도$$ 역값이 없을 수 있다$$. 따라서 운영자의 스펙트럼은 항상 모든 고유값을 포함하지만 그것들에 국한되지는 않는다.

예를 들어, 실제 숫자의 모든 바이-무한 시퀀스로 구성된 힐버트 공간 ${\displaystyle \ell \mathbb{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$Z ) ${\displaystyle \ell$^{2$}(\mathb {Z} )$를 고려하십시오$.$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

제곱합이 유한한$\underset{}{\overset{}{}}$sum $\underset{}{\overset{}{i}}$= -$\underset{}{\overset{}{\mathrm{\infty }}}$+ $\underset{}{\overset{}{\mathrm{\infty }}}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ $2_{}^{}$ ${\$ $양방향{\displaystyle }$ 시프트 $운영자{\displaystyle }$ T ${\$$displaystyle$ $T$$}$은 단순히$$ 시퀀스의 모든 요소를 한 위치(즉,$$= ${\displaystyle T}$(${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ $u=T(v)}$인 경우$$ ${\displaystyle {ui}_{}}$= v ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$ =${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle u_{i}=v_{i-1$$\}).$ The eigenvalue equation ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ has no solution in this space, since it implies that all the values ${\displaystyle v_{i}}$ have the same absolute value (if ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$) or are a geometric progression (if ${\displaystyle \vert \l$$ambda \vert \neq 1};$ 어느 쪽이든 그들의 제곱합은 유한하지 않을 것이다. However, the operator ${\displaystyle T-\lambda I}$ is not invertible if ${\displaystyle \lambda =1}$. For example, the sequence ${\displaystyle u}$ such that ${\displaystyle u_{i}=1/( i +1)}$ is in ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$; but there is no sequence ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ such that ${\displaystyle (T-I)v=u}$ (that is, ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ for all ${\displaystyle i}$).

기본 속성

경계 연산자 T의 스펙트럼은 항상 닫히고 경계되고 비어 있지 않은 복잡한 평면의 부분 집합이다.

스펙트럼이 비어 있는 경우 분해능

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathb {C},}$

복잡한 비행기의 모든 곳에서 정의되고 경계를 이루게 될 것이다. 그러나 분해함수 R은 그 영역에서 홀로모르픽이라는 것을 보여줄 수 있다. 리우빌의 정리의 벡터값 버전에 의해 이 기능은 일정하므로 무한대로 0인 것처럼 어디서나 0이 된다. 이것은 모순이 될 것이다.

스펙트럼의 경계는 λ의 Neumann 시리즈 확장에 따른다. 스펙트럼 σ(T)은 T에 의해 경계된다. 유사한 결과는 스펙트럼의 폐쇄성을 보여준다.

스펙트럼의 바운드 T는 어느 정도 정제할 수 있다. T의 스펙트럼 반지름 r(T)은 원점 중앙에 위치하며 그 내부에 스펙트럼 ((T)을 포함하는 복잡한 평면에서 가장 작은 원의 반지름이다.

$\displaystyle r(T)=\supp\{ \lambda :\lambda \in \sigma(T)\}.}$

스펙트럼 반지름 공식에 따르면^[1] 바나흐 대수의 $모든{\displaystyle }$ 원소 T ${\displaystyle T}$에 대해

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infit }\왼쪽\T^{n}\right\^{1/n}.}$

무한 연산자의 스펙트럼

Banach 공간 X의 무한 연산자까지 스펙트럼의 정의를 확장할 수 있다. 바나흐 대수 B(X)에서 더 이상 요소가 아닌 이들 연산자.

정의

Let X be a Banach space and ${\displaystyle T:\,X\to X}$ be a linear operator defined on domain ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$. A complex number λ is said to be in the resolvent set (also called regular set) of ${\displaystyle T}$ if the operator

$T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

도처에 경계 정의 역(bounded operator)이 있는 경우

$(\displaystyle S:\,X\오른쪽 화살표 D(T)}$

그런

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}}$

분해능 집합에 없는 경우 복합수 λ은 스펙트럼에 있다.

λ가 분해자(즉, 스펙트럼에 있지 않음)에 있으려면 경계 사례에서와 마찬가지로 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$은 양면 역이 있어야 하므로 비주사적이어야 한다$$. 이전과 같이 역이 존재한다면 그 선형성은 즉시이지만, 일반적으로는 경계가 없을 수 있으므로 이 조건을 별도로 확인해야 한다.

닫힌 그래프 정리에 의해${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{T}}^{}}$- ${\displaystyle \lambda {}^{}I}$ )${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$의 경계도는 T가 닫힐 때 그 존재로부터 직접 따른다$$. $그렇다면{\displaystyle }$ 경계 사례에서와 마찬가지로 T -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$이(가) 편향적이지 않은 경우에만 복합수 λ이 폐쇄 연산자 T의 스펙트럼에 놓여 있다. 폐쇄형 연산자 등급에는 모든 경계 연산자가 포함된다.

기본 속성

무제한 연산자의 스펙트럼은 일반적으로 닫히고 비어 있을 수 있는 복잡한 평면의 부분집합이다. 연산자 T가 닫혀 있지 않으면 $\sigma {\displaystyle (T}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$}.

스펙트럼 내 점 분류

바나흐 공간의 경계 연산자 T는 변환할 수 없다. 즉, T가 아래에 경계되고 밀집 범위가 있는 경우에만 경계 역이 있다. 따라서 T의 스펙트럼은 다음과 같은 부분으로 나눌 수 있다.

1. ${\displaystyle }$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \in }$ ( T )${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$ - ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$이($가{\displaystyle }$) 아래 경계가 없는 경우$$. 특히 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$이(가) 주입되지$$ 않은 경우, 즉 λ은 고유값이다. 고유값의 집합을 T의 점 스펙트럼이라고 하며 ((T_p)로 나타낸다. 또는 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$은(는) 일대일일 수 있지만$$ 여전히 아래에는 제한되지 않는다. 이러한 λ은 고유값이 아니라 T의 대략적인 고유값이다(유전자값 자체도 근사 고유값이다). 대략적인 고유값 집합(점 스펙트럼 포함)을 T의 근사점 스펙트럼이라고 하며, σ_ap(T)로 나타낸다.
2. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle }$${\displaystyle \in (T}$) ${\displaystyle \lambda \in \sigma(T)}($$T{\displaystyle }$ - ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda$ I$}$에 밀도 범위가 없는$$ 경우$$) The set of such λ is called the compression spectrum of T, denoted by ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$. If ${\displaystyle T-\lambda I}$ does not have dense range but is injective, λ is said to be in the residual spectrum of T, denoted by ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {$$res} }(T)}$.

근사치 점 스펙트럼과 잔류 스펙트럼이 반드시 분리되는 것은 아니다(단, 점 스펙트럼과 잔류 스펙트럼은 다음과 같다).

다음의 하위섹션에서는 위에 스케치된 ((T)의 세 부분에 대한 자세한 내용을 제공한다.

점 스펙트럼

연산자가 주입되지 않은 경우(따라서 T(x) = 0으로 0이 아닌 x가 일부 있는 경우), 이는 분명히 반전할 수 없는 것이다. 그래서 λ이 T의 고유치라면 반드시 λ σ(T)를 가지고 있다. T의 고유값 집합은 point(T)로_p 나타내는 T의 점 스펙트럼이라고도 한다.

근사점 스펙트럼

보다 일반적으로, 경계 역정리에 의해, T는 아래에 경계가 되어 있지 않으면, 즉, 모든 X X에 대해 Tx c c x가 경계가 되어 있지 않으면, 변환할 수 없다. 따라서 스펙트럼에는 대략적인 고유값 집합이 포함되며, 이러한 값들은 T - iI가 아래에 제한되지 않는다. 동등하게, 단위 벡터 x₁, x …의₂ 순서가 있는 λ 집합이다.

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ‖ t ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n}$ -${\displaystyle {}_{}\lambda }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infit }\ Tx_{n}-\lambda x_{n}\ =0}$.

대략적인 고유값 집합은 ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$( T${\displaystyle }$) {\$displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$에 의해 표시되는 대략적인 점 스펙트럼으로 알려져 있다$.$

고유값이 근사치 점 스펙트럼 안에 있음을 쉽게 알 수 있다.

예를 들어, ${\displaystyle 다음}$에 의해 정의된$$ ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 2 (${\displaystyle {}^{}}$Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle l^{$2}(\$mathb {Z}$)에 대한 오른쪽 shift R을 고려하십시오.

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathb {Z},}$

where ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ is the standard orthonormal basis in ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$. Direct calculation shows R has no eigenvalues, but every λ with λ = 1 is an approximate eigenvalue; letting x_n be the vector

${\displaystyle {1}{\\sqrt{n}}(\displaystyle,0,1,\data ^{1},\displayda ^{-2},\displayda ^{1-n},0,\dism )}}$

모든_n n에 대해 x = 1을 볼 수 있지만

${\displaystyle \Rx_{n}-\lambda x_{n}\={\\sqrt {\n2}{n}}\to.}$

R은 단일 측정 시스템이기 때문에 스펙트럼은 단위 원 위에 있다. 따라서 R의 대략적인 점 스펙트럼은 전체 스펙트럼이다.

이러한 결론은 보다 일반적인 등급의 사업자에게도 적용된다. 단일 운영자는 정상이다. 스펙트럼 정리에 의해 힐버트 공간 H의 경계 연산자는 곱셈 연산자와 동등한 경우($L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개의$$ 공간으로 H를 식별한 후)에만 정상이다. 경계 곱셈 연산자의 대략적인 점 스펙트럼이 스펙트럼과 동일하다는 것을 알 수 있다.

연속 스펙트럼

The set of all λ for which ${\displaystyle T-\lambda I}$ is injective and has dense range, but is not surjective, is called the continuous spectrum of T, denoted by ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$. The continuous spectrum therefore consists of those approximate eigenvalues which are not eigenvalues a잔류 스펙트럼에 있지 않아야 한다. 그것은

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

For example, ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$, ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$, is injective and has a dense range, yet ${\displaystyle \mathrm {Ran$}(A)\subsetneq l^ᆬ(\mathbb{N})}. 실제로, if)∑ j게 국가 주의적 관점에서 서술 ∈ Ncjej∈ 나는 2(N){\textstyle x=\sum_{j\in \mathbb{N}}c_{j}e_{j}\in l^ᆰ(\mathbb{N})}과 cj∈ C{\displaystyle c_{j}\in \mathbb{C}}가∑ j∈ Ncj2<∞{\textstyle \sum_{j\in \mathbb{N}}c_{.j}$^{2}<\infty }$, one does not necessarily have ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left jc_{j}\right ^{2}<\infty }$, and then ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$.

압축 스펙트럼

The set of ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ for which ${\displaystyle T-\lambda I}$ does not have dense range is known as the compression spectrum of T and is denoted by ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$.

잔류 스펙트럼

The set of ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ for which ${\displaystyle T-\lambda I}$ is injective but does not have dense range is known as the residual spectrum of T and is denoted by ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$:

$\\displaystyle \sigma _{\mathrm {}(T)=\sigma {cp}}\setminus \sigma _{\mathrm {p}}}(T).}$

조작자는 주입할 수 있고, 아래에 균등하게 경계되어 있지만, 여전히 변환할 수 없다. The right shift on ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$, is such an example. 이 교대조 운영자는 등위계이므로 아래 1로 제한된다. But it is not invertible as it is not surjective (${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$), and moreover ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ is not dense in ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ (${\displaystyle e_{1}\notin {\over$$행${\$mathrm {Ran}(R)}}.$

주변 스펙트럼

연산자의 주변 스펙트럼은 스펙트럼 반경과 동일한 계수를 갖는 스펙트럼 내 지점 집합으로 정의된다.^[2]

이산 스펙트럼

이산 스펙트럼은 정상 고유값 집합으로 정의된다. 동등하게, 해당 Riesz 프로젝터가 유한한 등급이 되도록 스펙트럼의 격리된 지점들의 집합으로 특징지을 수 있다.

필수 스펙트럼

밀접하게 정의된 선형 $연산자{\displaystyle }$ A의 필수 스펙트럼에 대한 다섯 가지 유사한 정의가 있다$$${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ A$:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

이러한 모든 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, k${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \sigma$ \sigma$_{\mathrm$ {ess$},k}(A),\$1\$leq$ k$\leq$ 5$\}$은 자가 승인 연산자의 경우에 일치한다.

1. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ is defined as the set of points ${\displaystyle \lambda }$ of the spectrum such that ${\displaystyle A-\lambda I}$ is not semi-Fredholm. (The operator is semi-Fredholm if its range is closed and either its kernel or cokernel (or 둘 다)는 유한 차원이다.)
   Example 1:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ for the operator ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ (be이 연산자의 범위가 닫히지 않기 때문: 폐쇄가 되더라도$$ $범위$에는 ${\displaystyle {l\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle N\mathbb{}}$)$${\$displaystyle l^{2}(\mathb {N}$ )가 모두 포함되지 않는다.
   Example 2:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ for ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ for any ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$$$ (이 연산자의 커널과 코커넬 모두 무한 차원이기 때문이다.)
2. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ is defined as the set of points ${\displaystyle \lambda }$ of the spectrum such that the operator either ${\displaystyle A-\lambda I}$ has infinite-dimensional kernel or has a range which is not closed. 그것은 또한 Weyl의 기준으로 특징지어질 수 있다: 시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle x_{}}$ j${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$이 있다.$_{j\in \mathbb {N} }}$ in the space X such that ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$, ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\ (A-\lambda I)x_{j}\right\ =0,}$ and such that ${\displaystyle (x_{j})$$_{j\in \mathb{N}}}}$은(는) 수렴 부속을 포함하지$$ 않는다. 그러한 순서를 단수 순서(또는 단수 Weyl 수열)라고 한다.
   Example:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ for the operator ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ if j is even and ${$$\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$이(가) 홀수일 때(커널은 무한 차원, 코커넬은 0 차원). $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle \sigma }$ e ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$, 1 (${\displaystyle {}_{}{\mathrm{B}}_{}}$) ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess},1}(B)}$.
3. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ is defined as the set of points ${\displaystyle \lambda }$ of the spectrum such that ${\displaystyle A-\lambda I}$ is not Fredholm. (The operator is Fredholm if its range is closed and both its kernel and cokernel are finite-dimaciment)
   Example:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ for the operator ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ (kernel is zero-dimensional, cokernel is 무한차원의 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$, ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}J}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess},2}(J)}$.
4. 필수 스펙트럼 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$, ${\displaystyle 4_{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess},4}(A)$는 A -${\displaystyle }$} $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle A-\lambda$ $}$이$(가$) 0의 프레드홀름이 아닌 스펙트럼의 점$$ $집합$으로 정의된다$$. 그것은 또한 콤팩트한 동요에 의해 보존되는 A의 스펙트럼 중 가장 큰 부분으로 특징지어질 수 있다. In other words, ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$; here ${\displaystyle B_{0}(X)}$ denotes the set of all compact operators on X.
   Example:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ where ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ is the right shift operator, ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mat$$hbb {N$ R${\displaystyle }$: $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}$+ 1 ${\$ $j$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$커널은 0이고 코커넬은 1차원). $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle {\mathrm{\sigma }}_{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$, ${\displaystyle 3_{}}$ (${\displaystyle {}_{}R}$) ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess},3}(R)}$.
5. The essential spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ is the union of ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ with all components of ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ that do not intersect with 분해능 집합 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }$$σ$ ( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \mathb {C} \setminus \sigma$($A$$)}.$$$σ (${\displaystyle }$A ) ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle d_{}}$( A${\displaystyle )}$ ${\displaysty \setminus \sigma \{dmathrmatrm {}}(A)$로도 특징 지을 수 있다$.$
   Example: consider the operator ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$, ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ for ${\displaystyle j\neq 0}$, ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$. Since ${\disp$$laystyle \Vert T\Vert =1}$, one has ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$. For any ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ with ${\displaystyle z =1}$, the range of ${\displaystyle T-zI}$ is dense but not closed, hence the boundary of the unit ∈ C은<1{\displaystyle z<1}과{\displaystylez\in \mathbb{C}}, 나는{T-zI\displaystyle}T− z에 따라 닫힌 range,다 디스크 필수적인 주파수의 첫번째 타입에:∂ D1⊂ ess,σ 1(T){\displaystyle\partial \mathbb{D}_{1}\subset \sigma _{\mathrm{ess},1}(T)}. z이다. one-dimensional kernel, and one-dimensional cokernel, so ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ although ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ for ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$; thus, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}($1≤ k≤ 4{\displaystyle 1\leq k\leq 4}을 위한 T)=\partial\mathbb{D}_{1}}. C의 두 요소들 ∖ ess, 1(T)σ{\displaystyle \mathbb{C}\setminus \sigma _{\mathrm{ess},1}(T)}:{z∈ C:z1}{\displaystyle\와 같이{z\in \mathbb{C}:\와 같이, z>1\}}과{z∈ C:z<1}이 있다. {\displa$ystyle \{z\in \mathb {C} :\,$ z $<1$ 구성 요소{z<1}{\displaystyle\와 같이{z<>1\}};정의에 따르면σ ess, 5(T))σ ess, 1(T)∪{z∈ C:z<1}){z∈ C:z≤ 1}{\displaystyle \sigma_{\mathrm{ess},5}(T)=\sigma _{\mathrm{ess},1}(T)\cup \{z\in \mathbb{C}은 resolvent 세트에 없는 교차점을 가지고 있다. :\와 같이, z<1$\}=\{z\in \mathb {C} :\,$ z $\leq$ 1$\}}$.

예: 수소원자

수소 원자는 다양한 유형의 스펙트럼의 예를 제공한다. 수소원자 해밀턴 연산자 $H{\displaystyle }$= -${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$- ${\displaystyle \frac{Z}{}}$ ${\displaystyle x\frac{}{}}$ $displaystyle$ H$=-\Delta -{\frac {Z}{$ $\}\}\},$ > {\$displaystyle$ Z$>0$ $도메인{\displaystyle }$D${\displaystyle ({\mathrm{}}^{}}$) = ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}${\$displaystystyle D(H)=$가 있다.$H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ has a discrete set of eigenvalues (the discrete spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$, which in this case coincides with the point spectrum ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ since there are no eigenvalues embedded into the continuous spectrum) that can be Rydberg 공식으로 계산한다. 이에 상응하는 고유특성을 고유특성 또는 바운드 상태라고 한다. The end result of the ionization process is described by the continuous part of the spectrum (the energy of the collision/ionization is not "quantized"), represented by ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ (it also coincides with the essential spectrum, ${\displaystyle {\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}}(H)=[0}$${\displaystyle ,}$ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess}=[0,+\inflt )}.$^{[citation needed]}

보조 연산자의 스펙트럼

Let X be a Banach space and ${\displaystyle T:\,X\to X}$ a closed linear operator with dense domain ${\displaystyle D(T)\subset X}$. If X* is the dual space of X, and ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$ is the hermitian adjoint of T, then

${\displaystyle \sigma(T^{*})={\overline {\sigma(T)}:=\{z\in \mathb {C}:{\bar {z}\in \sigma(T)\}.}$

We also get ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ by the following argument: X embeds isometrically into X**. 따라서 $T{\displaystyle }$ -${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$의 커널에 0이 아닌 모든 원소에 대해 X**에는 0이 아닌 원소가 존재하며$$, 이 ${\displaystyle \mathrm{원소}}$는 ${\displaystyle \mathrm{R}}$ a n${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$- - ${\displaystyle \lambda \stackrel{}{}}$ -${\displaystyle \stackrel{}{}\lambda }$의 I${\displaystyle }$)$${\$displaysty \mathrm${Ran$}(T^{*-{\lambar {\$lambar }-{\$lamba$ }-{\lamba $}})})$에 소멸된다$.$ 따라서 $R{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ -${\displaystyle \lambda }$의 I )${\displaystyle \mathrm {Ran}(T^{*}-{\bar{\lambda }I)}$은 밀도가 클 수 없다$$.

게다가 X가 반사적이라면 ${\displaystyle \stackrel{}{{\sigma \mathrm{}}_{}}}$ r${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$(${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\ast }^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$의${\displaystyle \stackrel{}{}\subset }$ ${\displaystyle {}_{}}$ $T$

특정 등급의 연산자 스펙트럼

소형 연산자

T가 콤팩트 연산자 또는 보다 일반적으로 비필수 연산자일 경우 스펙트럼은 카운트할 수 있고, 0은 유일한 축적 지점이며, 스펙트럼의 0이 아닌 e은 고유값임을 알 수 있다.

퀘이신일감전트 연산자

A bounded operator ${\displaystyle A:\,X\to X}$ is quasinilpotent if ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$ (in other words, if the spectral radius of A equals zero). 그러한 연산자는 동등하게 조건에 의해 특징지어질 수 있다.

$\displaystyle \sigma (A)=\{0\}}$

An example of such an operator is ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$, ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ for ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

자가 승인 연산자

X가 힐버트 공간이고 T가 자기 적응 연산자(또는 보다 일반적으로 정상 연산자)라면 스펙트럼 정리로 알려진 주목할 만한 결과는 정상 유한차원 연산자에 대한 대각화 정리(예: 헤르미티아 행렬)의 아날로그를 제공한다.

자가 적응 연산자의 경우 스펙트럼 측정을 사용하여 스펙트럼의 분해를 절대적으로 연속적이고 순수하며 단수적인 부분으로 정의할 수 있다.

실제 연산자의 스펙트럼

분해능 및 스펙트럼의 정의는 실제 필드 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 통해$$ 바나흐 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 작용하는$$ 모든 연속 선형 $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$까지 확장할 수 있다($$$복잡한{\displaystyle {}_{}}$ $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$$${\$displaystylease \mathb {C$${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$. In this case we define the resolvent set ${\displaystyle \rho (T)}$ as the set of all ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ such that ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ is invertible as an operator acting on the complexified space ${$$\displaystyle X_{\mathb {C$을(를) 정의한 다음 $\sigma {\displaystyle (T}$ ${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus (T}$) ${\displaystyle \sigma(T)=\mathb {C} \setminus \rho(T)}$를 정의한다$.$

실제 스펙트럼

The real spectrum of a continuous linear operator ${\displaystyle T}$ acting on a real Banach space ${\displaystyle X}$, denoted ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$, is defined as the set of all ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ for which ${\displaystyle T-\lambda I}$$$ fails to be invertible in the real algebra of bounded linear operators acting on ${\displaystyle X}$. In this case we have ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$. Note that the real spectrum may or may not coincide with the complex spectrum. 특히 실제 스펙트럼은 비어 있을 수 있다.

유니탈 바나흐 대수 스펙트럼

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다.(2009년 6월)

B는 단위 e를 포함하는 복잡한 바나흐 대수학이다. 그런 다음, 우리는 B의 요소 x의 스펙트럼 ((x) 또는 보다 명시적으로_B ((x)를 그러한 복잡한 숫자 set의 집합으로 정의하며, 이 경우 λe - x는 B에서 변환할 수 없다. 이것은 B(X)가 Banach 대수이기 때문에 Banach 공간 X의 경계 선형 연산자 B(X)에 대한 정의를 확장한다.

참고 항목

• 필수 스펙트럼
• 이산 스펙트럼(수학)
• 자가합격 연산자
• 유사점
• 분해능 집합

참조

• Dales 외, Barnach Algebras, 연산자 및 고조파 분석 소개, ISBN 0-521-53584-0
• "Spectrum of an operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]