벡터 값 미분 형식

수학에서 다지관 M의 벡터 값 미분 형식은 벡터 공간 V의 값을 갖는 M의 미분 형식이다.보다 일반적으로, M에 대한 어떤 벡터 번들 E에 값을 갖는 미분형이다.일반적인 미분 형식은 R 값 미분 형식으로 볼 수 있다.

벡터값 차등형식의 중요한 경우는 리 대수값형식이다.(연결형식은 그러한 형태의 예)

정의

M을 매끄러운 다지관으로 하고 E → M 위에 매끄러운 벡터 번들로 한다.bundle(E)로 묶음 E의 매끄러운 부분의 공간을 나타낸다.E-값 차등 p 형식은 M의 등탄재 번들의 p-th 외력인 λ^p(TM^∗)으로 E의 텐서 제품 번들의 매끄러운 섹션이다.그러한 형태의 공간은 다음과 같다.

\Oomega ^{p}(M,E)=\Gamma(E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).

γ은 강한 단면체 펑터(monoidal functor)이기 때문에 이 또한 다음과 같이 해석할 수 있다.^[1]

\Gamma(E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\감마(E)\otimes _{\Oomega ^{0}(M)}\감마(\Lambda ^{p})T^{*}M)=\감마(E)\otimes _{\오메가 ^{0}(M)}\오메가 ^{p}(M),

여기서 후자의 두 텐서 제품은 M의 부드러운 R 값 함수의 링 Ω⁰(M) 위에 있는 모듈의 텐서 제품이다(여기서 일곱 번째 예 참조).관례상, E-값 0-폼은 번들 E의 한 부분일 뿐이다.그것은

\displaystyle \Oomega ^{0}(M,E)=\감마(E)\,}

동등하게, E-값의 차등 형태는 번들 형태론이라고 정의될 수 있다.

[\displaystyle TM\otimes \cdots \otime TM\to E}

완전히 꼬불꼬불한 거야

V를 고정된 벡터 공간이 되게 하라.도 p의 V 값 차등 형식은 사소한 번들 M × V에 값을 가진 도 p의 차등 형식이다.그러한 형태의 공간은 Ω^p(M, V)으로 표시된다.V = R일 때 일반적인 미분 형태의 정의를 회복한다.V가 유한한 차원이라면 자연 동형성이라는 것을 보여줄 수 있다.

\Oomega ^{p}(M)\otimes _{\mathb {R} }V\to \Oomega ^{p}(M,V),

여기서 첫 번째 텐서 제품은 R 위의 벡터 공간이며, 이형성이다.^[2]

벡터 값 형식에 대한 연산

풀백

일반적인 형태와 마찬가지로 원활한 지도에 의해 벡터 가치 형태의 후퇴를 정의할 수 있다.매끄러운 지도 by에 의한 N에 대한 E 값 폼의 풀백 : M → N은 M에 대한 (**E) 값 양식이며, 여기서 φ*E는 φ에 의한 E의 풀백 묶음이다.

그 공식은 보통의 경우와 마찬가지로 주어진다.N에 대한 E 값 p-form Ω의 경우 풀백 **Ω은

{\displaystyle(\varphi ^}{*}}\cdots,v_{p}}=\matrm {d}\varphi (x)}(\d) \varphi _{1}),\cdots ,\d} \varphi _{x}(v_{p}).}

웨지 제품

보통의 미분형식과 마찬가지로 벡터값형식의 쐐기생산을 정의할 수 있다.E-값₂ q-폼을 가진 E-값₁ p-폼의 쐐기 생산물은 당연히 (E₁⊗E₂)-값 (p+q)-폼이다.

\displaystyle \wedge :\Oomega ^{p}(M,E_{1})\time \Oomega ^{q}(M,E_{2})\Oomega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2})\times E_{2}.}

정의는 실제 곱셈이 텐서 제품으로 대체된다는 점을 제외하고 일반 형식과 같다.

{\displaystyle(\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q}={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}

특히 E-값 q-폼을 가진 보통(R-값) p-폼의 쐐기생산은 자연적으로 E-값(p+q)형이다(사소한 번들 M × R을 가진 E의 텐서생산은 자연적으로 E와 이형성이 있기 때문이다).Ω Ω^p(M) 및 η η^q Ω(M, E)의 경우, 통상적인 정류율 관계를 갖는다.

\displaystyle \omega \eta =(-1)^{pq}\eta \eta \eta \eta \opega.}

일반적으로 두 E-값 형식의 쐐기 산출물은 또 다른 E-값 형식이 아니라 (E-E)값 형식이다.그러나 E가 대수다발(즉, 벡터 공간만이 아니라 알헤브라의 묶음)이라면 E의 곱셈으로 작곡하여 E값을 얻을 수 있다.만약 E가 교감적이고 연관성이 있는 알헤브라의 묶음이라면, 이 변형된 쐐기 제품과 함께, 모든 E-값 차등형식의 집합이 된다.

\Oomega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Oomega ^{p}(M,E)}

단계별 연관 대수학자가 된다.만약 E의 섬유가 상쇄되지 않는다면, Ω(M,E)은 상쇄되지 않을 것이다.

외부파생상품

벡터 공간 V의 경우 V 값 형식 공간에 자연적인 외부 파생 모델이 있다.이는 V의 어떤 기준으로도 구성 요소별로 작용하는 일반적인 외부 파생 모델일 뿐이다. 명시적으로 {e_α}이(가) V의 기본이라면 V 값 p-form Ω = Ωe의^α_α 차이는 다음과 같다.

d\omega =(d\omega ^{\now }e_{\reason }\,

V 값 형식의 외부 파생 모델은 다음과 같은 일반적인 관계를 완전히 특징으로 한다.

#\displaystyle {\d(\omega +\eta )=d\omega +d\d\eta \&d(\omega \eta )=d\nomega \eta \eta \eta +(-1)^{p}\ega \eta \qquad(p=\dep=d\d)=0).\end{정렬}}}

보다 일반적으로 위의 언급은 E가 M보다 평평한 벡터 번들(즉, 전환 기능이 일정한 벡터 번들)인 E 값 형식에 적용된다.외부 파생상품은 E의 국소적 사소한 부분화에 대해 위와 같이 정의된다.

만약 E가 평평하지 않다면 E-값 형식에 따라 작용하는 외부 파생상품에 대한 자연적인 개념이 없다.필요한 것은 E에서의 연결 선택이다.E에 대한 연결은 E에서 E로 평가되는 한 가지 형태를 갖는 선형 미분 연산자다.

\displaystyle \nabla :\Oomega ^{0}(M,E)\Oomega ^{1}(M,E)로.}

E에 연결부 ∇이 장착되어 있는 경우, 고유한 공변량 외부 파생 모델이 있다.

d_{\displayla }:\Oomega ^{p}(M,E)\to \Oomega ^{p+1}(M,E)

연장 ∇공변량 외부 파생상품은 선형성과 방정식이 특징이다.

d_{\bla }(\omega \ \a \eta )=d_{\\bla }\omega \eta +(-1)^{p}\omega \etain d\eta

여기서 Ω은 E-값 p-form이고 η은 일반 q-form이다.일반적으로_∇² d = 0을 가질 필요는 없다.실제로 이는 연결 ∇이 평평한 경우(즉, 소멸 곡면성을 갖는 경우)에만 발생한다.

기본 번들의 기본 또는 기간별 양식

Let E → M은 M보다 K등급의 매끄러운 벡터 묶음이 되고, π : F(E) → M보다 GL_k(R) 주 묶음인 E의 (관련) 프레임 묶음이 된다.π에 의한 E의 풀백은 [u, v] →u(v)의 역을 통해 시론적으로 F(E) _ρ× R에^k 대해 이형성이며, 여기서 ρ은 표준표현이다.따라서 M에 대한 E 값 형식 pull에 의한 풀백은 F(E)에 대한 R 값 형식을^k 결정한다.F(E) × R에^k 대한_k GL(R)의 자연 작용과 관련하여 이 뒤로 당겨진 형태가 우측 등가성이며 수직 벡터(dπ의 낟알에 있는 F(E)에 대한 접선 벡터)에 소멸되는지 확인하는 것은 어렵지 않다.F(E)에 대한 그러한 벡터 값 형식은 특별한 용어를 보증하기에 충분히 중요하다: 그것들은 F(E)에 있는 기본 양식 또는 태스토리얼 양식이라고 불린다.

π : P → M을 (매끄러운) 주 G 번들(주변)으로 하고 V를 표현 ρ : G → GL(V)과 함께 고정 벡터공간으로 한다.ρ형식의 P에 관한 기본형식 또는 시제형식은 P에 대한 V값형식 Ω으로, 이등변수형이고 수평형이다.

$(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ ) $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ = $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ Ω = $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ ( $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ - 1 $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ ) $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ ${\$ (R_ ${g}}^{*}\$ omega =\ $rho$ ( $g^{-1})\omega \,$ 모든 g ∈ G에 대해 $(R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,$ \.
$\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ 1 $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ , $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ … , $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ v $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ ) $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ = $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ ${\displaystyle \omega(v_{1},\ldots, v_{p}}=0})$ v 중 하나_i 이상이 수직일 때마다 $\omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0$ (예: dπ(v_i) = 0).

여기서 R은_g 일부 g ∈ G에 대해 P에 대한 G의 올바른 작용을 나타낸다. 0 형식의 경우 두 번째 조건은 빈칸으로 참이다.

예:만약 ρ이 Lie 대수에서 G의 부선 표현이라면, 접속 형태 Ω은 첫 번째 조건(두 번째 조건은 충족하지 않는다)을 만족시킨다.연관된 곡률 형태 Ω은 양쪽 모두를 만족시킨다. 따라서 Ω은 조정 형식의 시제 형식이다.두 연결 형태의 "차이"는 시제 형식이다.

위와 같이 P와 ρ을 부여하면 관련 벡터 번들 E = P ×_ρ V를 구성할 수 있다.P의 시제곱 q 형식은 M의 E 값 q 형식과 자연적으로 일대일 일치한다.위의 주요 번들 F(E)의 경우처럼, E의 값이 있는 M에 ${\overline {\phi }}$ q-form ${\$ 을(를) 지정하면, 예를 들어 u에서와 같이 P 섬유에 φ을 정의한다.

\phi =u^{-1}\pi^{*}{\overline {\phi }

where u is viewed as a linear isomorphism $V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]$ . φ is then a tensorial form of type ρ.반대로, ρ형 타입 tens의 시제 형식을 보면, 같은 공식은 M (cf. Chen-Weil 동형상주의)의 ${\overline {\phi }}$ E 값 형식인 ${\$ 을 정의한다.특히 벡터 공간의 자연 이형성이 있다.

{\displaystyle \감마(M,E)\simeq \{f:

P\to

V

f(ug)=\rho(g)^{-1}f(u)\},\,{\overline{f}\좌우타로우

f

\Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f

예: E를 M의 접선 번들로 한다.그러면 ID 번들 맵 ID_E: E →E는 M에서 E-값의 한 형태다.tautological one-form은 id에_E 해당하는 E의 frame bundle에 있는 고유한 one-form이다.θ에 의해 표기된 것으로, 표준형식의 시제형이다.

이제 P에 연결이 있어 P에 (다양한) 벡터 값 형식에 (다양한) 외부 공변량 분화 D가 있다고 가정합시다.위의 서신을 통해 D는 E-값 형식에도 작용한다: ∇을 정의한다.

\nabla {\overline {\phi }={\overline {D\phi }}.

특히 제로폼의 경우

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

:

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

(

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

,

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

)

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

→

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

(

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

,

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

E

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

)

{\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes

E

\nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)

이것은 벡터 번들 E의 연결에 대한 공변량 파생상품이다.^[3]

예

시겔 모듈형 형태는 시겔 모듈형 변종에서 벡터 값 미분형 형태로 발생한다.^[4]

메모들

^ "Global sections of a tensor product of vector bundles on a smooth manifold". math.stackexchange.com. Retrieved 27 October 2014.
^ 증명: V에 대한 기초를 V에 대한 상수함수의 집합으로 바꾸어 이것을 p=0에 대해 검증할 수 있는데, 이는 위의 동형성에 반하는 구성을 가능하게 한다.라는 점에 주목하면 일반적인 경우를 증명할 수 있다.
$\Oomega ^{p}(M,V)=\Oomega ^{0}(M,V)\otimes _{\Oomega ^{0}(M)}\Oomega ^{p}(M),$
$\mathbb {R}$ ${\$ { $R} }$ 은(는) 상수 함수를 통해 Ω⁰(M)의 하위 링이기 $\mathbb {R}$ 때문에
$\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).$
^ Proof: $D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi$ for any scalar-valued tensorial zero-form f and any tensorial zero-form φ of type ρ, and Df = df since f descends to a function on M; cf. this Lemma 2.
^ Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "The Geometry of Siegel Modular Varieties". Advanced Studies in Pure Mathematics. 35: 89–156.

참조

고바야시 쇼시치와 노미즈 가쓰미(1963) 미분 기하학의 기초, 제1권 와일리 인터사이언스.

[gamma_monoidal-1] "Global sections of a tensor product of vector bundles on a smooth manifold". math.stackexchange.com. Retrieved 27 October 2014.

[2] 증명: V에 대한 기초를 V에 대한 상수함수의 집합으로 바꾸어 이것을 p=0에 대해 검증할 수 있는데, 이는 위의 동형성에 반하는 구성을 가능하게 한다.라는 점에 주목하면 일반적인 경우를 증명할 수 있다.
$\Oomega ^{p}(M,V)=\Oomega ^{0}(M,V)\otimes _{\Oomega ^{0}(M)}\Oomega ^{p}(M),$
$\mathbb {R}$ ${\$ { $R} }$ 은(는) 상수 함수를 통해 Ω⁰(M)의 하위 링이기 $\mathbb {R}$ 때문에
$\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).$

[3] Proof: $D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi$ for any scalar-valued tensorial zero-form f and any tensorial zero-form φ of type ρ, and Df = df since f descends to a function on M; cf. this Lemma 2.

[4] Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "The Geometry of Siegel Modular Varieties". Advanced Studies in Pure Mathematics. 35: 89–156.

[1]

[2]

[3]

[4]

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