주입 텐서 제품

수학에서 두 개의 위상 벡터 공간(TV)의 주입 텐서 제품은 알렉산더 그로텐디크에 의해 소개되었고 그가 핵 공간을 정의하는 데 사용되었다.일반적으로 주입형 텐서 제품은 반드시 완성이 되는 것은 아니므로 완성이 완료된 주입 텐서 제품이라고 한다.주입형 텐서 제품은 핵 공간 외부에 응용된다.특히, 아래에 기술한 바와 같이, TVS-이형성까지, 예를 들어 슈워츠 공간이나 연속적으로 다른 기능의 공간과 같이 실질적이거나 복잡한 가치의 기능을 위해 정의된 많은 TVS는 정의를 확장할 필요 없이 Hausdorff 로컬 볼록 TVS Y에서 가치 있는 기능으로 즉시 확장할 수 있다(예: "차이형성").한 지점에서 임대 가능") 실제/복소 값 함수에서 Y 값 함수에 이르기까지.

예행 및 표기법

전체적으로 X, Y, Z를 위상 벡터 공간으로 하고 $L{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L:X\to$ Y$}$을(를) 선형 지도로 한다$$.

• ${\displaystyle L:X\to Y}$ is a topological homomorphism or homomorphism, if it is linear, continuous, and ${\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}$ is an open map, where ${\displaystyle \operatorname {Im} L,}$ the image of L, has the subspace topology induced by Y.
  • $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) X의 하위 공간이라면$$, 지수 $지도{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ /${\displaystyle }$S ${\displaystyle X\to X}$와 표준$$ 주입 $S{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\to$ X$}$는 모두 동형상이다$$.In particular, any linear map ${\displaystyle L:X\to Y}$ can be canonically decomposed as follows: ${\displaystyle X\to X/\ker L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}$ where ${\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}$ defines a편향
• ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 선형 $지도{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$→ Z ${\displaystyle X\to$ Z$}(resp$.$$ 연속 이선 지도 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ →$$Z $displaystyle X\time Y\time Y\$to Z$\})$ 집합은 $L{\displaystyle (X}$; ${\displaystyle Z)}$ ${\displaysty L(X;Z)}($resp)로 표시된다.B(X, Y, Z) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) 스칼라 필드일$$ 경우 L(${\displaystyle X}$)${\displaystyle L(X)}($resp)을 대신 쓸 수 있다.B(X, Y)).
• The set of separately continuous bilinear maps ${\displaystyle X\times Y\to Z}$ (that is, continuous in each variable when the other variable is fixed) will be denoted by ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ where if ${\displaystyle Z}$ is the scalar field then we may instead write ${\displaystyle \mathcal{B}(X}$${\displaystyle {\mathcal{B}}(X,Y)$$}$
• We will denote the continuous dual space of ${\displaystyle X}$ by ${\displaystyle X^{\prime }}$ or ${\displaystyle X^{\prime }}$ and the algebraic dual space (which is the vector space of all linear functionals on ${\displaystyle X,}$ whether continuous or not) by ${\displaystyle X^{\#}.$$}$
  • 박람회의 명확성을 높이기 위해 $′{\$의 요소들을 기호 뒤에 프라임과 함께$$ 쓰는 일반적인 관례를 사용한다($예{\displaystyle {}^{:\mathrm{}}}$ x$display$ {\$displaystyle$x^{\$prime}).$ $′{\$$displaysty$}}의$$ 요소들을 나타내며$$, 예를 들면 파생상품과 변수 ${\$display x display x data.$ystyle x}$ 및$$ $′{\$ x$^{\preme }}}$은(는) 어떤 식으로든 관련될 필요가$$ 없다.

위상 표기법

• ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the coarsest topology on ${\displaystyle X}$ making every map in ${\displaystyle X^{\prime }}$ continuous and ${\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyle X_{\sigm$$a}}$은(는) $이{\displaystyle }$ 위상에 부여된 X ${\displaystyle$ X$}$을(를) 의미한다$$.
• ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ denotes weak-* topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}$ or ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ denotes ${\displaystyle X^{\pri$이 토폴로지를 부여받은 나 $}.$
  • 참고: ${\displaystyle 매}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ $\$ X {\$displaystyle$$x_$${0$}\$in$ X$}$은(는$)$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}맵{\displaystyle {}^{}}$X {$$→ R {\$displaystyle$X^{\$prime }\mathb$ {$R}}$에 대해$$$$ $\lambda {\displaystyle \lambda }$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystystyled$ \$lambda$ \lambda$\lamda \lp.$$}}$ $\sigma$${\displaystyle }$(${\displaystyle X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle X}$) ${\$은 X′에서 그러한 모든 지도를 연속적으로 만드는 가장 강력한 위상이다.
• ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the topology of bounded convergence on ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyle X_{b}}$ denotes ${\displaystyle X}$ endowed with this topology.
• ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ denotes the topology of bounded convergence on ${\displaystyle X^{\prime }}$ or the strong dual topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}$ or ${$$\displaystyle X_{b}^{\prime }}}$은(는) 이 위상이 부여된 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$을(를) 의미한다.
  • 평소처럼 $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\$ X$^{\$$prime}}$을 위상 벡터 공간으로 간주하지만 어떤$$ 위상이 부여되는지 명확히 밝혀지지 않은 경우 위상은 $(X$, X${\displaystyle }$)로$가정한다.$$}$
• ${\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the Mackey topology on ${\displaystyle X}$ or the topology of uniform convergence on the convex balanced weakly compact subsets of X′ and ${\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyl$$e X_{\tau }}$은(는) 이 위상에 $부여$된 X ${\displaystyle X}$를 의미한다$$.${\displaystyle \tau }$( ${\displaystyle {}^{}}$, X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle \tau(X,X^{\prime }})$는 연속 이중 $공간$이 X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$과 동일한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 로컬 볼록 TVS 위상 중 가장 우수한 위상이다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyty$ X$^{\prim}}$
• ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)}$ denotes the Mackey topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ or the topology of uniform convergence on the convex balanced weakly compact subsets of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle X_{\tau \left(X^{\prime },X\$$오른쪽)}}$ 또는$$ X${\$은(는) 이 $위상$에 부여된$$X {\$displaystyle$ X$}$를 $의미$한다.
  • Note that ${\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).$$}$^[1]
• ${\displaystyle \varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$ denotes the topology of uniform convergence on equicontinuous subsets of ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}$ or ${\displaystyle X_{\varepsilon }$$}$은(는) 이 토폴로지에 부여된 X ${\displaystyle X}$을(를) 의미한다$$.
  • If H is a set of linear mappings ${\displaystyle X\to Y}$ then H is equicontinuous if and only if it is equicontinuous at the origin; that is, if and only if for every neighborhood V of 0 in Y, there exists a neighborhood U of the origin in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}$모든 $\lambda {\displaystyle H.}$ ${\displaystyle \lambda \in$ H$.}$에 대해
• X에서 Y까지의 선형 지도의 집합 H를 등거리라고 하는데, 만약 Y에서 출발지의 모든 이웃 V에 $대해{\displaystyle }$ h (${\displaystyle }$U${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ all h${\displaystyle }h{\displaystyle }$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaysty h\in$ H$.}$에 대해 h (${\displaystyle U}$)와 같은 근거리 U가 X에 존재한다면 말이다.

정의

전체적으로$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$을(를) 연속 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$} 및 $Y$$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty$ Y$^{\$$preme$ $}}}$을(를) 포함하는 위상학적 벡터 공간이어야 함.$thbb {R}$ 또는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$이(가) 있지만, 설명을 단순화하기 위해 해당 항목이 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \mathb {C}$을(를) 넘는다고 가정할 것이다$.$

텐서 제품으로 연속 이선형 맵

Although the question of whether or not one vector space is a tensor product of two other vector spaces is a purely algebraic one (that is, the answer does not depend on the topologies of X or Y), nevertheless the vector space ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ of continuous bilinar functionals는 현재 설명한 것처럼 항상 X와 Y의 텐서 제품이다.

For every ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$ we now define a bilinear form, denoted by the symbol ${\displaystyle x\otimes y,}$ from ${\displaystyle X^{\prime }\times Y^{\prime }}$ into the underlying field (that is, ${\displaystyle x\otimes y:X^{\p$$Rime }\time Y^{\premy }\to \mathb {C$ 까지 \mathb {C$}$

이것은 표준지도를 유도한다.(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle X\times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (x,y)\in$ X$\time$ Y$}$을(를) 이선형 ${\displaystyle \mathrm{형식}}$으로 $x$ ⊗ y${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ x$\otimes$ y$.}$로 전송하여 정의됨$$ 이 지도 범위의 범위는 $B{\displaystyle (X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Y ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ )이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\$sigma }^{\$prime }}}Y_{\sigma }^{}^{\primeight).$$}$ The following theorem may be used to verify that ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ together with the above map ${\displaystyle \,\otimes \,}$ is a tensor product of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y.}$

위상

따라서 고려된 모든 위상 벡터 공간은 국부적으로 볼록한 것으로 가정한다.If ${\displaystyle H}$ is any locally convex topological vector space, then for any equicontinuous subsets ${\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}$ and ${\displaystyle H\subseteq Y^{\prime },}$ and any neighborhood ${\displaystyle N}$ in ${\displaystyle Z,}$ define

Every set ${\displaystyle b(G,H)}$ is bounded, which is necessary and sufficient for the collection of all such ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}$ to form a locally convex TVS topology on ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prim$$e };Z\right)}$을(를) $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ -topology라고 불렀다$$.포함 항목

항상 고정하고 이러한 벡터 공간 중 하나에 $any{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ -topology이$$ 부여될 때마다 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$을(를) 여는 괄호 앞에 첨자로 배치하여$$ 표시한다.For example, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ endowed with the ${\displaystyle \varepsilon }$-topology will be denoted by ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime }$$,Y_{b}^{\premy };Z\right).$$}$

In particular, when ${\displaystyle Z}$ is the underlying scalar field then since ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y,}$ the topological vector space ${\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\si$$gma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ will be denoted by ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y,}$ which is called the injective tensor product of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y.}$ This TVS is not necessarily complete so its completion will be denoted by ${\dis$$playstyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$ The space ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is complete if and only if both ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are complete, in which case the completion of ${\displaystyle B(X_{}^{}}$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is a subvector space, denoted by ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}$ of ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime$$}\오른쪽).$$}$ If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are normed then so is ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$$}$ And ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is a Banach space if and only if both ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are Banach spaces.^[4]

등거리 세트

(모든 가능성 중) 등가 하위 집합에 수렴하는 한 가지 이유는 다음과 같다.

지속적인 선형 functionals H의 세트는 터널 비전 시스템 X{X\displaystyle}[노트 1]은equicontinuous다면 그것은 0{0\displaystyle}의 X{X\displaystyle}에 몇몇 동네 U{U\displaystyle}의 북극곰에 포함된 것이고, 그것이 경우, H⊆ U∘.{\displaystyle H\subseteq U^{\circ에{H\displaystyle}. }.}

TVS의 토폴로지는 원점의 개방된 지역에 의해 완전히 결정된다.이 사실은 양극 정리와 함께 부분 집합의 극성을 취하는 작업을 통해 $X{\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaystyle X$$^{\prime$$}}}$의$$모든 등거리 하위 집합의 수집이 주어진 위상에 대한 $모든{\displaystyle }$ 정보를 $$"엔코딩"한다는 것을 의미한다.구체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 구별되는 LCTVS 위상은 등가 하위 집합의 구별되는 컬렉션을 생성하며$$, 반대로 그러한 등가 집합의 컬렉션을 감안할 때, TVS의 원래 토폴로지는 컬렉션에 설정된 모든 (등가) 극성을 취함으로써 복구할 수 있다.따라서 이 식별을 통해, 등가 부분 집합의 균일한 수렴은 본질적으로 TVS의 바로 위상에 균일한 수렴이 된다. $이$는 X ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$${\displaystyle }$. ${\displaystyle Y}$의 주어진 위상과 주입 위상을 직접 연관시킬 수 있게 해준다.오색 볼록한 하우스도르프 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$의 등가 부분 집합에 대한 균일한 수렴의 토폴로지와 동일하다$.$ {\$displaystyle$ X$^{\prime}}}$

이러한 이유로, 본 기사에는 주입 텐서 제품을 취급하는 것과 관련된 동일한 세트의 일부 특성이 나열되어 있다.$전체{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$은(는) 임의의 TVS이고$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $Y{\displaystyle .}$ ${\displaysty Y}$까지의 선형 맵 모음입니다.

• $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle L(X;}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$이(가) 등거리인 경우, $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) $L{\displaystyle (X}$; Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 다음 위상에서 상속하는 아공간$$ 위상이 동일하다$$.^[6]
  1. 사전 컴팩트 수렴의 토폴로지
  2. 콤팩트 컨버전스의 토폴로지
  3. 점성 수렴의 토폴로지
  4. $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 특정 밀도 부분 집합에 대한 점적 수렴 토폴로지
• 등거리 집합 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (X}$; Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$은 경계 수렴 토폴로($L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$( ${\displaystyle X}$; ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle L_{b}(X;Y)})$에서 경계된다$$.$$^[6]따라서 특히 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은 경계 수렴의 위상보다 더 강한 모든 TVS 위상에서도 경계할 것이다$$.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 막대형 공간이고 Y ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 볼록한 경우 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle L(X;}$ Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}$에 대해 다음 사항이$$ 동등하다.
  1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 등거리임;
  2. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는, L ${\displaystyle {\sigma }_{}}$(${\displaystyle X}$; ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)})$로 경계된다$$.$$
  3. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은 경계 수렴의 토폴로지(즉, ${\displaystyle L_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$; Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L_{b}(X;Y)})$에서 경계된다.$$

특히, $세트{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$이(가) 등거리임을 보여주기 위해서는 포인트와이즈 수렴의 토폴로지에서 경계를 이루었음을 보여주기에 충분하다.^[7]

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Baire 공간인 경우 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}(X}$; ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle$ $H\subseteq$ L$($$X;$$Y)}$에 경계된$$ 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ H ${\displaystyle \subseteq }$ L${\displaystyle (}$$X;Y)$은 반드시 동일하다.^[7]
• If ${\displaystyle X}$ is separable, ${\displaystyle Y}$ is metrizable, and ${\displaystyle D}$ is a dense subset of X, then the topology of pointwise convergence on ${\displaystyle D}$ makes ${\displaystyle L(X;Y)}$ metrizable so that in particular, the subspace topology that any equicontinuous sub$L$${\displaystyle }$;${\displaystyle Y}$)에서 상속받은$$ $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$; ${\displaystyle Y}$ ) {\$displaystyle$ $H\subseteq L$${\displaystyle (}$$X$$;Y)}$은$($는)^[6] $메트리징$ 가능하다.

연속 이중 공간 $′{\$의 등거리 부분 집합의 경우(여기서 $Y{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ Y$}$는 이제 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 기본 스칼라 필드임$$)$$ 다음 보류:

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 등거리 선형 함수 집합의 약한 닫힘은 $X{\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{\sigma }}$의 콤팩트한 하위 공간이다${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}}}$
• If ${\displaystyle X}$ is separable then every weakly closed equicontinuous subset of ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ is a metrizable compact space when it is given the weak topology (that is, the subspace topology inherited from ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$).^[6]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 규범 가능한 공간이라면$$ $서브셋{\displaystyle }$ H ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\$은($즉{\displaystyle {}_{}^{}}$, X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$에 경계)인 경우에만 동일하다$$.$$^[6]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 막대형 ${\displaystyle {}^{}}$인 경우 하위 $집합{\displaystyle }$ H ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}}$에 대해 다음 사항이$$ 동등하다.^[7]
  1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 등거리임;
  2. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 약한 이중 토폴로지에서 비교적 소형이다$$.
  3. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 약하게 경계되어 있다.
  4. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 강하게 경계되어 있다$$.

주입 텐서 제품과 관련된 몇 가지 중요한 기본 특성을 추가로 언급한다.

• Suppose that ${\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}$ is a bilinear map where ${\displaystyle X_{1}}$ is a Fréchet space, ${\displaystyle X_{2}}$ is metrizable, and ${\displaystyle Y}$ is locally convex.$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가)^[8] 별도로 연속이면 연속이다.

선형 지도로 분리 연속 이선형 지도의 표준적 식별

세트 평등 $L{\displaystyle }$(${\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$;; ${\displaystyle Y_{}=}$ ) = ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$) ${\$}^{\$prime };$$Y_{\\sigma }\오른쪽)=$$L\left(X_{\tau }^{\premy };$$Y\right)}$ always holds; that is, if ${\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}$ is a linear map, then ${\displaystyle u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)$$}^{\premy$ $}\to Y_{\sigma \$$left(Y,Y$${\displaystyle {만약}_{}^{}}$에 계속된다${\displaystyle {}_{}^{}}$$}^{\prime }\to Y}$은(는) 연속적이며$$ $여기$서 Y ${\displaystyle Y}$은(는) 원래 위상이 있다$$.^[9]

또한 표준 벡터 공간 이소모르퍼시즘이^[9] 존재한다.

정의하기 위해, $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$(${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime \mathrm{}}^{}}_{}^{}}$, X${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{}^{}}$ ×${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle Y_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime \mathrm{}}^{}}_{}^{}}$, Y${\displaystyle {}_{}^{}}$)$$ {\$displaystyle X_{\sigma \left (X^{\prime }X\right)$에 정의된$$ 모든 개별 연속 이선 형식 $B{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle$ B$}$에 대해.$}^{\premy }\time Y_{\sigma \left(Y^{\premy }}Y\right)$$}^{\prime }}$ and every ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ let ${\displaystyle B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ be defined byBecause ${\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ is canonically vector space-isomorphic to ${\displaystyle Y}$ (via the canonical map ${\displaystyle y\mapsto }$ value at y), ${\displaystyle B_{x^{\prime }}}$ will be identified as an element of ${\d$$isplaystyle Y,}$ which will be denoted by ${\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}$ This defines a map ${\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}$ given by ${\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}$ and so the ca비이형적 이형성은 물론 $J{\displaystyle }$( ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle B\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$. ${\displaystyle J(B):$$={\tilde {B}.$$}$

$L{\displaystyle }$( ${\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$) ${\$$Y_{{\sigma }\right)}$은(는) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle$ X$^{\prime }}}$의 등가 부분 집합에 대한 균일한 수렴의 토폴로지를^[9] 부여받는다$$.

In particular, ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ can be canonically TVS-embedded into ${\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };$$Y\wright$ 더 $나아가{\displaystyle }$ L${\displaystyle (X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )의 이미지 ${\$$Y_{\sigma }\right)}$ of ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ under the canonical map ${\displaystyle J}$ consists exactly of the space of continuous linear maps ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\mathrm{\prime }},X\right)}^{\mathrm{\prime }}\to }$${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)$이미지가$$ 유한한 $}^{\premy$ ^[4]$}\to Y}$

${\displaystyle \mathrm{포함}}$ $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \subseteq }$ L${\displaystyle }$( X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$) ${\$$Y\\오른쪽)\subseteq L\left(X_{b}^{\premy };$$Y\right}$은(는) 항상 버티고$$ 있다.X가 정규화되면 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$(${\displaystyle X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}^{};;}$ ${\displaystyle Y}$ )$${\$displaystyle$ L_${\varepsilon }\왼쪽(X_{\tau }^{\prime };$$Y\b$)}은$($는) $사실{\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle b_{}X{}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$)의 위상 벡터 하위공간이다.${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };$$Y\right.$$}$ 또한$$ Y가 Banach인 경우 L ${\displaystyle b_{}}$( X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$) ${\$$Y\right)}($X가 완전하지 않더라도).^[4]

특성.

정규 지도 ⋅⊗ ⋅:X×Y→ B({\displaystyle\cdot \otimes \cdot:X\times Y\to{{\mathcal B}}\left(X_{\sigma}^{\prime},Y_{\sigma}^{}\prime \right)}은 항상 ε-topology 항상 있는 것 중에서 최고의 locall 귀납 토폴로지(보다 π-topology과 입자보다finer은 continuous[10].coy$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ → $display$ Y {\$displaystyle$ X$\time$ Y\$to$ X$\otime$ Y$}$을(를) 별도로$$ 연속적으로 만드는 nvx TV 위상).${\displaystyle {}_{}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ {$$ {\$displaystyle X\otimes$ _${\varepsilon }Y}$는 X와 Y가 모두 하우스도르프일 경우에만 하우스도르프다$$.^[10]

If X and Y are normed then ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$ is normable in which case for all ${\displaystyle \theta \in X\otimes Y,}$ ${\displaystyle \ \theta \ _{\varepsilon }\leq \ \theta \ _{\pi }.}$^[11]

$u{\displaystyle }$: ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ $v$ : ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$→ Y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 로컬 볼록 공간 사이의 선형 지도 2개라고$$ 가정합시다.If both u and v are continuous then so is their tensor product ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.}$^[12] Moreover:

• If u and v are both TVS-embeddings then so is ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$$}$^[13]
• $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 경우($$resp).${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$)는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$resp)의 선형 서브공간이다.${\displaystyle Y_{2}}$) then ${\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}$ is canonically isomorphic to a linear subspace of ${\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}$ and ${\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varep$$사일론 }Y_{1$}는 X 2${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle X_{2}{\widehat{\otimes }}{\\\barepsilon }Y_{2$}의 선형 아공간과 시론적으로 이형성이다$.$$}$^[14]
• There are examples of u and v such that both u and v are surjective homomorphisms but ${\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}$ is not a homomor인신매매^[15]
• 4개의 공간이 모두 정규화된 경우,${\displaystyle uu{}_{\epsilon }}$ v${\displaystyle u}$ = u${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Vert }$ v $‖.$ {\$displaystyle \$u$\otimes$ v\$\\\varepsilon }=\$\$v\ .}$

투영 텐서 제품과 핵 공간과의 관계

The strongest locally convex topology on ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ making the canonical map ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }$$^{\premy }\right}}($${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle (x,y)\in$ X$\time$ Y$\})$ 연속성을$$ 투영 위상 $또는{\displaystyle }$ $or{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$x\$$otimes$ $y$$}$ -topology라고 한다.When ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}$ is endowed with this topology then it will be denoted by ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ and called the projective tensor product of X and Y.

그로텐디크가 핵 공간을 정의하기 위해 사용한 정의는 다음과 같다.^[16]

정의 0: X를 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간이 되게 한다.Then X is nuclear if for any locally convex space Y, the canonical vector space embedding ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ is an embedding of TVSs whose image is dense in the codomain.

이선형 및 선형 지도의 표준 식별

이 절에서는 이선형 지도와 선형 지도 사이의 표준적 식별을 설명한다.이러한 식별은 중요한 서브 스페이스와 위상(특히 원자력 사업자와 핵 공간과 관련된 것)을 정의하는 데 사용될 것이다.

주입 텐서 제품의 이중 공간 및 완성도

라고 가정해 보자.

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}$의 TVS 임베딩 완료 후$$ 다음 작업을 수행하십시오.벡터 공간 이등형성인 전이가 그것이다.이것은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X\otimes$ ${\displaystyle {}_{}}$${\barepsilon }Y}$의 연속 이중 $공간$과 X${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ^${\displaystyle }${$$Y. {\$displaystyle$X{\$widehat{\otimes$}_{\$varepsilon }Y$}}Y의 연속 이중 공간과 동일함을$$ 식별한다$.$$}$

ID 맵

연속형(π-topology의 정의에 의한)이므로 고유한 연속 선형 확장이 있음If X and Y are Hilbert spaces then ${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ is injective and the dual of ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ is canonically isometrically isomorphic벡터 공간 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}X}$; ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$) ${\$ L$^{1}\좌측(X;$X에서 Y까지(추적 규범 포함)의$$ Y$^{\premy }\right}$의 원자력 운영자.

힐버트 공간의 주입 텐서 제품

표준지도가 있다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{z}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ z$=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\$otimes $y_{i}}}$을(를) 선형$$ 지도 $K{\displaystyle (}$: ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$)${\displaystyle {}^{}}$→ Y ${\displaysty K(z):$$X^{\premy }\to Y}$ 정의$$$여기$서 K${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$)의 정의는 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이 보일 수 있다${\displaystyle .}$ : ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle K(z):$$X\to Y}$은(는) z의 특정한$$ 표현 $\underset{}{\overset{}{선택}}$not$$ i = $\underset{}{\overset{}{}}$ x $i_{}$ ${}_{}$ $i_{}$ ${\$에 의존하지 않는다.지도$연속형$이며, L ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y}$)$${\$displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime });$$Y\right)}$이(가) 완료되었으며, 연속 확장 기능이 있음

X와 Y가 힐버트 공간인 경우 $K{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$: $X$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle {}_{}}$ →${\displaystyle {}_{}{L}_{}}$ ${\displaystyle b}$ (X ${\displaystyle b_{}^{}^;}$ Y$$) {\$displaystyle${\$hat{K}}:X${\$widehat {\}}}}}{\varepsilon }}}}{b}\primefline};$$Y\right)}$은(는) TVS 임베딩 및 등측도(공간에 통상적인 규범이 주어지는 경우)이며$$, 범위는 ${\displaystyle X_{}}$에서 Y까지의 모든 소형 선형 연산자의 공간($L{\displaystyle {}_{}}$ b${\displaystyle {}_{}X{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime ;\mathrm{}}^{}}$Y ${\displaystyle )}$이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle L_{b}\left($X^{$primeprim };$$Y\right.$$}$ 따라서$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ {$$ {\$displaystyle$X{\$widehat${\$otimes }$_{\$barepsilon }Y}}$은(는) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{\prime}}}}$에서 Y로$$ 가는 콤팩트 연산자의 공간과 동일하다$$(X 상의 프라임 참조).두 Banach 공간(Hilbert 공간 포함) X와 Y 사이의 콤팩트한 선형 연산자의 $공간$은 ${\displaystyle L_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$; ${\displaystyle Y}$)의 닫힌 부분 집합이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle L_{b}(X;$$Y$).$}$^[17]

더욱이 표준지도 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ X${\widehat{\otimes }{\pi }Y}to X{\widehat {\otimes$}}}}{\$varepsilon }Y}$는 X와 Y가 힐버트 공간일 때 주입된다$$.^[17]

통합 양식 및 연산자

일체형 이선형식

다음에 따라 ID 맵을 표시하십시오.

그리고 내버려두다연속 주사인 전치사를 나타낸다.Recall that ${\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}$ is canonically identified with ${\displaystyle B(X,Y),}$ the space of continuous bilinear maps on ${\displaystyle X\times Y.}$ In this way, the continuous dual space of ${\displaystyle X\otimes _$${\varepsilon }Y}$ can be canonically identified as a subvector space of ${\displaystyle B(X,Y),}$ denoted by ${\displaystyle J(X,Y).}$ The elements of ${\displaystyle J(X,Y)}$ are called integral (bilinear) forms on ${\displaystyle X\times Y.}$ The following theorem justifies적분이라는 말

적분 선형 연산자

Given a linear map ${\displaystyle \Lambda :X\to Y,}$ one can define a canonical bilinear form ${\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),}$ called the associated bilinear form on ${\displaystyle X\times Y^{\prime },}$ by

연속 지도 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$는 연관된 이선형 형태인 경우 일체형이라고 한다$$.^[20]통합 지도 $\lambda {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Lambda :X\to Y}$은(는) 모든 x ${\displaystyle \mathrm{every}}$ ${\displaystyle x\\in$ X$}$ 및 ${\displaystyle {}^{}}$ ∈ $Y$ ∈ : ${\displaystyle y^{\premium }\in$ Y$^{\premprime:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$에 대해 형식이다$$. for suitable weakly closed and equicontinuous subsets ${\displaystyle A^{\prime }}$ and ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ of ${\displaystyle X^{\prime }}$ and ${\displaystyle Y^{\prime \prime },}$ respectively, and some positive Radon measure ${\displaystyle \mu }$ of total mass $\le {\displaystyle }$ 1${\displaystyle \leq$ 1$.}$

L(X; Y)에 표준 지도 입력

There is a canonical map ${\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}$ that sends ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ to the linear map ${\displaystyle K(z):$$K$( $z$)$$( $x$) $:=\underset{1}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}$ $i_{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}$( $x$) $y$ ${}_{}$ $Y_{}$, ${\textstyle K(z)(x)$로 정의된$$ X$\to Y:$$=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\premy }(x)y_{i}\in Y,}$에서 $K{\displaystyle (z}$ )의 정의${\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle$ K$(z):$$X\to Y}$은(는) $z{\displaystyle }$. .$${\$displaystyle z$의 특정 선택$\underset{choice}{\overset{}{}}$ i$\underset{}{\overset{}{}}$= $\underset{}{\overset{}{}}$ $x_{}^{}$ $i_{}$ ${}_{}^{}$ i ${\$1}$x_{i}^{\premium }\time y_{i}}}}}}}}$에 의존하지 않는다$$$.$$}$

예

온 가족이 함께 사는 공간

이 섹션 전체에 걸쳐 일부 임의(아마도 탑재할 수 없는) 세트 A, $TVS{\displaystyle }$X ,$${\$displaystyle$ X$,}$을(를) $수정$하고 F$)$를 포함 inclusion${\displaystyle }$.${\displaystyle$ ${\F}(A)$이(가$)$ $포함$된 A {\$displaystystyle$ A}의 모든 유한 부분 집합의 방향 집합으로 설정되도록$$ 한다.

Let ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ be a family of elements in a TVS ${\displaystyle X}$ and for every finite subset ${\displaystyle H\subseteq A,}$ let ${\textstyle x_{$$H:=\sum _{i\in H}x_{i}.$$}$ We call ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ summable in ${\displaystyle X}$ if the limit ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{$그물의 $H$$\}({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {H_{}}_{}}$) ${\displaystyle {H\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ F${\displaystyle {}_{}}$( A${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$H}\오른쪽)_{$$H\in {\mathcal {F}(A)}}}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 일부 원소로 수렴한다$$$$(그런 원소를 합이라고 한다).그러한 모든 summable 패밀리의 집합은 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$에 의해$$ 표시된 X ${\displaystyle A^{}}$ {\$displaystyle$ X$^{A}$의 벡터 하위 공간이다.

이제 우리는 $매우{\displaystyle }$자연스러운 $방법$으로 S {\displaystyle $S}$에 위상을 정의한다$$.이 위상은 l ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ^ ^$$ {\$displaystyle l^{1$}(A$){\widehat{\otimes }$_{\$varepsilon }X}}$에서 취하여$$ 표준 벡터 공간 이형성(확실한 것)을 통해$$ $S{\displaystyle }$ ${\\displaystystyty s}$에 전달되는 위상 위상 위상이다.이는 기능/시퀀스 공간 및 TVS의 주입 및 투사 텐서 제품을 연구할 때 흔히 발생하는 현상이다. 이러한 텐서 제품에 위상(원래부터)을 정의하는 "자연적 방법"은 주입 텐서 제품 위상 또는 투사 텐서 제품과 종종 동등하다.

Let $U{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는$)$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 0의 볼록한 균형 잡힌 주변 환경의 기반을 나타내며$$, 각 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle$ U$\in {\mathfak {U}$에 대해 ${\displaystyle {\mu U}_{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$U$}:$X\to \mathb {R}은($는) 민코스키 기능을 나타낸다$$.이러한$$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ 및 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$α ${\displaystyle \alpha }$ S${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ x$=\좌측(x_{\alpha }\우측)_{\alpha \in A}\in$ S$,}$에 대해 다음을$$ 허용하십시오.

여기서 ${\displaystyle Q_{}}$ ${\$ $q_$${U}$는 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$ 세미노름의 패밀리$$ {${\displaystyle Q_{}}$ U : ${\displaystyle U}\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$} ${\displaystyle \{q_}{{}}}}$를 정의한다.$U:U\in {\$$mathfrak$${U}\}\}}$은$($는) $S$를 로컬 볼록한 공간으로 만드는$$ 위상을 생성한다$.$이 위상에 부여된$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$은(는) $l{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle X}$)로 표시된다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ l$^{1}(A,X).$$}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(${\displaystyle 가}$) 스칼라 필드인 특별한$$ 경우는$$^[21] l ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$A )${\displaystyle }$.${\displaystyle$ l$^{1}(A$)로 표시된다$.$$}$

There is a canonical embedding of vector spaces ${\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}$ defined by linearizing the bilinear map ${\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}$ defined by ${\displaystyle \left({\left(r_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A},x\right)\mapsto {\left(r_{\alpha }x\right)}_{\alpha }}$${\displaystyle \left(\reft(r_{\alpha }\오른쪽)_{\alpha \in$$}$^[21]

지속적으로 상이한 벡터 값 함수의 공간

전체적으로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^n}$의 열린 부분 집합으로 하고$$ 여기서 n$$${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$ 1$}$은 정수이며$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystytype Y}$은 로컬 볼록 위상 벡터 공간(TV)이$$ 되도록 한다.

Definition[22] p0(p10,…, n0)∈Ω{\displaystyle p^{0}(p_{1}^{0}일 경우 ,\ldots{n}^{0}일 경우 \right ,p_)\in \Omega}와 f:돔 ⁡ f→ Y{\displaystyle f:\operatorname{돔}(Y}함수가 p0∈ 돔 ⁡ f0p과{\displaystyle p^{0}\in \operatorname{돔}f}{\di.spla$ystyle p^{0}}$ a limit point of ${\displaystyle \operatorname {Dom} f.}$ Say that ${\displaystyle f}$ is differentiable at ${\displaystyle p^{0}}$ if there exist ${\displaystyle n}$ vectors ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ in ${\displaystyle Y,}$ called the pa$다음$과 같은 f ${\displaystyle f$의 rtial 파생 모델

여기서 $p{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle p{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$p ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle p=\왼쪽(p_{1},\ldots, p_{n}\오른쪽).$$}$

One may naturally extend the notion of continuously differentiable function to ${\displaystyle Y}$-valued functions defined on ${\displaystyle \Omega .}$ For any ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}$ let ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ denote the vector space of all ${\displaystyle C^{}}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$-valued maps defined on ${\displaystyle \Omega }$ and let ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ denote the vector subspace of ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ consisting of all maps in ${\displaystyle C^{k}($$\Oomega ;Y)}$은(는) 소형 지원 범위가 좁다.

One may then define topologies on ${\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}$ and ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}$ in the same manner as the topologies on ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ and ${\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}$ are defined for the space of 분포 및 검정 함수(제목: 유클리드 공간에서의 구별 가능한 벡터 값 함수 참조).차별성과 다양한 토폴로지의 정의를 확장하는 이 모든 작업은 단순히 완성된 주입 텐서 제품을 복용하는 것과 정확히 동일한 것으로 밝혀졌다.

콤팩트한 공간에서 연속된 지도의 공간

만약 Y는normed 공간과 만약 K는 완전 집합, C(K)⊗ Y{\displaystyle C(K)\otimes Y}에 ε{\displaystyle \varepsilon}-norm ‖ f‖ ε=에 저녁밥을 먹다)∈ K‖ f())‖.{\textstyle\와 같이 f\_{\varepsilon}=\sup _{Kx\in}\ f())\.}[23]만약 H와 K두 소형 공간, C(HxK)≅ C(H. 평등하다 )${\displaystyle {\stackrel{}{^^}}_{}}$ ^ ^ ^ ${\displaystyle C_{}}$( ${\displaystyle K}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle C\left$ ($H\time K\wright)\cong C\left (H\$wright$){\widehat{\otimes }}{\varepsilon }}{\c\$c\$left(K\right)}).$ 여기서$$ 이 표준 지도는 바나흐 공간의 이형이다.^[23]

0으로 수렴되는 시퀀스 공간

If Y is a normed space, then let ${\displaystyle l_{\infty }(Y)}$ denote the space of all sequences ${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ in Y that converge to the origin and give this space the norm ${\disp$$laystyle \left\ \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\ :=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\ y_{i}\right\ .}$ Let ${\displaystyle l_{\infty }}$ denote ${\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).$$}$ 그러면$$ 모든 Banach 공간 Y에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ l${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$^ ^${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle {}_{}}$ Y$${\$displaystyle l_{\$$inflt$ $}{\widehat${\$otimes$$}}{\$$varepsilon$ $}$$Y}}}}$는 $표준적$으로 l $Y$ ${\displaystyle )}$에 대해 등각형이다$.$$}$^[23]

슈워츠 함수 공간

우리는 이제 TV에서 가치 있는 기능에 슈워츠 공간을 일반화 할 것이다.$L{\displaystyle \mathcal{}}$( R ${\displaystyle n{}^{}}$; Y${\displaystyle }$) ${\$$Y\right)}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ C ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{Rn}{}^{}}$; Y$){\$$Y\right)}$ such that for all pairs of polynomials P and Q in n variables, ${\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$ is a bounded subset of Y.슈워츠 공간의 위상을 $L{\displaystyle \mathcal{}(\mathrm{Rn}{}^{}}$; Y${\displaystyle }$)까지 일반화하려면${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}\좌측(\mathb {R} ^{n};$$Y\right),}$ $L$(R ${\displaystyle {}^{}}$; $){\$$Y\right)}$ the topology of uniform convergence over ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ of the functions ${\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}$ as P and Q vary over all possible pairs of polynomials in n variables.^[23]

참고 항목

• 보조 표준 공간
• 최종 위상
• 유도 텐서 제품
• 통합 지도
• 원자력 사업자
• 핵공간
• 투영 텐서 제품
• 위상 텐서 제품

메모들

참조

참고 문헌 목록

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외부 링크

• ncatlab의 핵 공간