상쇄 알헤브라에 대한 미분학

Differential calculus over commutative algebras

수학에서 교감 알헤브라스 위의 미분학은 고전 미분학에서 알려진 대부분의 개념들이 순전히 대수학 용어로 공식화될 수 있다는 관찰에 근거한 교감 대수학의 한 부분이다.이에 대한 예는 다음과 같다.

  1. 부드러운 다지관 의 전체 위상학적 정보는 바나흐-스톤 정리처럼 A= C (), 의 R 의 대수적 특성 암호화되어 있다.
  2. 번들 M {\ M}은(는 벡터 번들에 연결된 펑터 }을(를) A, 을(를) 통해 정교하게 생성된 모듈에 해당한다.
  3. 벡터 필드는 당연히 A{\A}의 파생과 함께 식별된다
  4. More generally, a linear differential operator of order k, sending sections of a vector bundle to sections of another bundle is seen to be an -linear map 관련 모듈 사이의 모든 + 1 요소의 경우 ,, A

여기서 괄호[ , :( )( F) E)\to 정류자로 정의된다.

우리는 ca.에 가치를 bi-functor를 얻A{A\displaystyle}-module P{P\displaystyle}D와 함께 A{A\displaystyle}-module Q{Q\displaystyle}에서 k{k\displaystyle}번째 순서 선형 미분 사업자들의 집합 Denoting 나는 조의 fk(P, Q){\displaystyle \mathrm{Diff}_ᆰ(P,Q)}기 - modules의 gory.그리고 나서 제트 공간, 미분양과 같은 미적분학의 다른 자연적 개념은 f k {\_{k}}}와 관련 펑터의 개체를 나타내기 위해 얻는다.null

이러한 관점에서 보면 미적분은 사실 이러한 환자와 그 대표물체의 이론으로 이해될 수 있다.null

실제 숫자 를) 모든 정류 링으로 교체하고, 위에 언급한 정류 대수 ( M) 을 교체하는 것은 의미가 있으므로 임의의 정류 알헤브라를 위해 미분적분을 개발할 수 있다.이러한 개념들 중 많은 것들이 대수 기하학, 미분 기하학, 이차 미적분학에서 널리 사용되고 있다.더욱이 이 이론은 등급이 매겨진 정류 대수학의 설정에 맞추어 자연적으로 일반화하여 슈퍼맨아이폴드, 등급이 매겨진 다지관, 그리고 베레진 적분과 같은 관련 개념의 자연적 토대를 가능하게 한다.null

참고 항목

참조

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