쌍곡선 다양체

수학에서 쌍곡선 다양체는 모든 점이 국소적으로 어떤 차원의 쌍곡선 공간처럼 보이는 공간이다.그것들은 각각 쌍곡 표면과 쌍곡 3-매니폴드라고 불리는 차원 2와 3에서 특히 연구된다.대부분의 다양체가 동형사상에 의해 쌍곡선 다양체로 만들어질 수 있기 때문에 이러한 차원들에서 그것들은 중요하다.이것은 페렐만이 증명한 표면에 대한 균등화 정리와 3-매니폴드에 대한 기하화 정리의 결과이다.

H의³ 12면체 테셀레이션의 투시 투영.이것은 쌍곡선 3매니폴드 내부에서 관찰자가 볼 수 있는 것의 예입니다.

의사권.이 모양의 각 절반은 경계를 가진 쌍곡선 2-매니폴드(즉, 표면)입니다.

엄밀한 정의

$쌍곡선$ n(\ $displaystyle$ n $)$ -manifold는 $n$ 일정한 단면 $-1$ 곡률 $-1$ (\ $displaystyle$ $-1$ -1)의 $완전$ 한 Riemannian $-1$ n $n$ (\displaystylen) $-manifold$ 입니다.

음의 $-1$ 곡률이 일정한 완전하고 연결되며 단순하게 연결된 $-1$ 매니폴드는 - 1 ${\displaystyle$ -1 $}$ 은 실제 $-1$ 쌍곡선 $\mathbb {H} ^{n}$ H $\mathbb {H} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathbb {H}$ ^{ $n$ 에 대해 등각적입니다. 그 결과 음의 $-1$ 곡률이 일정한 닫힌 $매니폴드$ M {\ $displaystyle$ M $}$ 의 $M$ 유니버설 커버는 - $-1$ 1 {\ $displaystyle -$ $\mathbb {H} ^{n}$ 은 $-1$ $-1$ $(\displaystyle\mathbb$ { $H}^{n$ 입니다.따라서 $이러한$ M $({displaystyle$ M $})$ 은 $M$ 모두 $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ ({ $displaystyle \mathbb {H}$ ^{ $n}/\Gamma})$ 로 ${\mathbb {H}}^{n}/\Gamma$ 쓸 수 있습니다. $\Gamma$ 서 $\Gamma$ {\(\ $displaystyle \Gamma})$ 은 $\Gamma$ $(\$ $})$ 의 비틀림이 없는 이산군입니다.1 $SO_{1,n}^{+}\mathbb {R}$ + $SO_{1,n}^{+}\mathbb {R}$ {{ $displaystyle SO_{1,n}^{+}\mathbb {R$ 다지관은 $\Gamma$ { $displaystyle \Gamma}$ 이 $\Gamma$ 격자인 경우에만 한정된 부피를 $SO_{1,n}^{+}\mathbb {R}$ .

두꺼운 두께의 분해는 닫힌 측지선학의 관상 부근과 유클리드 ( $n-1$ - $n-1$ \ $displaystyle n-1$ )- $n-1$ 매니폴드 및 닫힌 반선의 산물인 단부로 구성된 얇은 부분을 가지고 있습니다.다지관은 두꺼운 부분이 콤팩트한 경우에만 부피가 유한합니다.

예

쌍곡선 다양체의 가장 간단한 예는 쌍곡선 공간입니다. 쌍곡선 공간의 각 점은 쌍곡선 공간에 대한 주변 등각선을 가지고 있기 때문입니다.

단, 단순하지 않은 예로는 한때 정지된 torus를 들 수 있습니다.이것은 (Isom( $\mathbb {H} ^{2}$ 2 $\mathbb {H} ^{2}$ \ $displaystyle \mathbb {H} ^{2}),$ $\mathbb {H} ^{2}$ $\mathbb {H} ^{2}$ ( \ $displaystyle \mathbb {H}$ ^{ $2$ }})- $\mathbb {H} ^{2}$ manifold의 예입니다.이는 이상적인 직사각형 $(\displaystyle$ \mathbb { $H} ^{2$ 즉, 정점이 무한대의 경계에 있는 직사각형을 취하여 결과 다양체에 존재하지 않는 반대 이미지를 식별함으로써 형성될 수 있다.

마찬가지로 두 개의 이상적인 삼각형을 함께 붙이면 아래와 같이 세 번 구멍이 뚫린 구를 만들 수 있습니다.또, 지표면에 곡선을 그리는 방법도 나타냅니다.그린 에지를 접착하면 다이어그램의 검은 선이 닫힌 곡선이 됩니다.구멍이 뚫린 구를 사용하여 작업할 때 경계선을 포함한 표면의 색칠된 원은 표면의 일부가 아니므로 다이어그램에 이상적인 정점으로 표시됩니다.

(왼쪽) 세 번 뚫린 구체의 접착도.같은 색상의 가장자리는 함께 접착됩니다.선이 만나는 점(무한점 포함)은 쌍곡선 공간의 경계에 있으므로 표면의 일부가 아닙니다. (오른쪽) 표면이 서로 접착됩니다.

그림 8노트와 Borromean 링과 같은 단순한 매듭을 포함한 많은 매듭과 링은 쌍곡선이며, 따라서 $3$ 의 $S^{3}$ $S^{3}$ 또는 $링크의 보완$ 은 유한 부피의 쌍곡선 3매니폴드이다 $.$

중요한 결과

n $n>2$ > $n>2$ {\ $displaystyle$ n > $2$ 의 $n>2$ $n>2$ 유한 체적 $쌍곡선$ n{\ $displaystyle$ n $}$ -manifold의 $n$ 쌍곡선 구조는 Mostow 강성에 의해 고유하므로 기하학적 불변량은 사실상 위상 불변량이다.위상 불변량으로 사용되는 이러한 기하학적 불변량 중 하나는 매듭 또는 링크 보체의 쌍곡 부피로, 우리는 각각의 다양체의 기하학적 구조를 연구함으로써 두 개의 매듭을 서로 구별할 수 있다.

또한 매듭 보체의 경계 면적이 얼마인지도 물어 볼 수 있습니다.매듭 보체의 부피와 덴 ^[1]필링 아래의 보체의 부피 사이에는 관계가 있으므로 경계 영역을 사용하여 이러한 필링에서 부피가 어떻게 변화할 수 있는지 알 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Purcell, Jessica S.; Kalfagianni, Efstratia; Futer, David (2006-12-06). "Dehn filling, volume, and the Jones polynomial". arXiv:math/0612138. Bibcode:2006math.....12138F. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolic manifolds and discrete groups, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613
Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 219, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, MR 1937957
Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Foundations of hyperbolic manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, MR 2249478

[1] Purcell, Jessica S.; Kalfagianni, Efstratia; Futer, David (2006-12-06). "Dehn filling, volume, and the Jones polynomial". arXiv:math/0612138. Bibcode:2006math.....12138F. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

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