미분구조

Differential structure

수학에서, 세트 M에 있는 n차원 미분 구조(또는 다른 구조)는 M을 n차원 미분 다지관으로 만들며, 이는 다지관의 미분학을 허용하는 일부 추가적인 구조를 가진 위상학적 다지관이다.M이 이미 위상학적 다지관일 경우, 새로운 위상은 기존 위상과 동일해야 한다.null

정의

자연수 n과일 수도 있는 음이 아닌 정수 또는 무한대 일부 k의 경우, 다차원 Ck 미분 구조[1]는 Ck-atlas, M(M의 공무원 노조는 전체)의 하위 집합의 컬렉션을 사이에 bijections라고 불리는 차트의 집합이다, 그리고 Rn(^{n}}의 개방적인 하위 집합의 집합을 사용하여 정의된다. :

C-호환성k(아래 정의한 의미에서):null

각 그러한 맵은 다지관의 특정 하위 집합을 {의 열린 하위 집합처럼 볼 수 있는 방법을 제공하지만, 이 개념의 유용성은 이러한 두 가지 맵의 도메인이 어느 정도 일치하느냐에 따라 달라진다.null

다음 두 가지 차트를 고려하십시오.

이 두 함수의 도메인 교차점은

두 개의 차트에 의한 지도는 두 개의 이미지에 매핑된다.

두 차트 사이의 전환 맵은 두 차트 맵 아래 이 교차로의 두 이미지 사이의 맵이다.null

, 두 개의 차트는 다음과 같은 경우 C 호환된다k.

개방되어 있으며, 전환 맵

연속적인 부분파생상품의 순서 k를 갖는다.k = 0인 경우, 변환 맵만 연속적이면, 결과적으로 C-atlas는0 위상학적 다지관을 정의하는 또 다른 방법이다.k = ∞이면 모든 주문의 파생상품은 연속적이어야 한다.전체 매니폴드를 포함하는 C-호환성k 차트 제품군은 C 디퍼렌셜k 매니폴드를 정의하는 C-atlas이다k.그들의 차트 세트의 조합이 C-atlas를k 형성한다면 두 개의 아틀라스는 C-등가물이다k.특히 위상학적 다지관을 정의하는 C-atlas와0 C-호환성이0 있는 C-atlas는k 위상학적 다지관의 C 미분k 구조를 결정한다고 한다.그러한 아틀라스의 Ck 동등성 등급다지관구별되는k C 미분 구조물이다.각각의 구별되는 미분 구조는 고유한 최대 지도책자에 의해 결정되는데, 이것은 단순히 동등성 등급의 모든 지도책의 결합일 뿐이다.null

언어의 단순화를 위해서, 어떤 정밀성의 손실 없이, 사람들은 단지 주어진 C-manifoldk 세트에 있는 최대 C-atlas를k 부를지도 모른다.이 최대 지도책은 토폴로지와 기본 세트를 모두 고유하게 결정하며, 후자는 모든 차트의 도메인의 결합이며, 전자는 이러한 모든 도메인의 집합을 기초로 한다.null

존재와 고유성 이론

어떤 정수 k > 0과 어떤 n차원 C-manifold에k 대해서, 최대 지도책에는 하슬러 휘트니 때문에 정리에 의해 설정된 동일한 기초 위에 C-atlas가 들어 있다.또한 이러한 구별되는 C-atlas의 어떤 쌍에 대해서도 두 가지를 식별하는 C-편차성이 존재하지만, 최대 C-atlas는k n > 0일 때마다 몇 개의 구별되는 최대 C-atlas를 포함하고 있는 것으로 나타났다.이는 다른 구조를 인정하는 위상학적 다지관 위에 단 하나의 등급의 매끄러운 구조물(모듈로 쌍으로 매끄러운 차이점형성)만 존재하는 것으로 이어진다.C- C-manifold에k 있는 구조물이다.약간 느슨하게 하면 매끄러운 구조가 (본질적으로) 독특하다고 표현하면 될 것 같다.k = 0의 경우는 다르다.즉, C구조를1 인정하지 않는 위상학적 다지관이 존재하며, 케르베어(1960년)에 의해 증명된 결과로서,[2] 나중에 도날드슨의 정리(비교 힐베르트의 다섯 번째 문제)의 맥락에서 설명되었다.null

방향성 다지관의 부드러운 구조물은 보통 부드러운 동형성을 보존하는 모듈로 측정된다.그리고 나서 방향을 뒤집는 차이점들이 존재하는가에 대한 의문이 생긴다.4보다 작은 치수의 위상학적 다지관을 위한 "본질적으로 독특한" 매끄러운 구조가 있다.4보다 큰 치수의 콤팩트 다지관의 경우, 한정된 수의 "매끄러운 유형" 즉, 쌍으로 매끄럽게 차이점 매끄러운 구조의 동등성 등급이 있다.nn n 4를 가진 R의 경우, 이러한 유형의 수는 1인 반면, n = 4의 경우 그러한 유형의 수는 헤아릴 수 없이 많다.하나는 이국적R4 의해 이것들을 가리킨다.null

치수 1 ~ 20의 구에 대한 미분 구조

다음 표에는 치수 m의 값에 대한 위상 m-sphere S의 부드러운 유형m 수가 1에서 20까지 나열되어 있다.평탄한 구, 즉 C-차동 구조를 가진 구를 보통 구와 차동형이 원활하지 않은 구를 이국적인 구라고 한다.null

치수 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
평활형 1 1 1 ≥1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24

위상학 4-sphere S4 매끄러운 유형이 몇 가지나 되는지는 현재 알려져 있지 않지만, 적어도 한 가지가 있다.하나, 한정된 숫자, 또는 무한의 숫자가 있을 수 있다.단지 하나라는 주장은 부드러운 푸앵카레 추측으로 알려져 있다(일반화된 푸앵카레 추측 참조).대부분의 수학자들은 이 추측이 거짓이라고 믿는다. 즉, S4 둘 이상의 평활형을 가지고 있다.문제는 위상학적 4-디스크(또는 4-ball)의 둘 이상의 매끄러운 유형의 존재와 연관되어 있다.null

위상 다지관의 디퍼렌셜 구조

위에서 언급한 바와 같이, 4보다 작은 치수에서는 각 위상학적 다지관에 대해 하나의 미분 구조만 존재한다.그것은 티보르 라도(Tibor Rado)가 차원 1과 2에 대해, 그리고 에드윈 E에 의해 증명되었다. 3차원 모이즈.[3]장애물 이론을 사용함으로써 로비온 커비로랑 C. Siebenmann은 4보다 큰 치수의 콤팩트 위상학적 다지관에 대한 PL 구조의 수가 유한하다는 것을 보여줄 수 있었다.[4]John Milnor, Michel Kervaire, Morris Hirsch는 콤팩트 PL 다지관의 매끄러운 구조물의 수가 유한하며 동일한 차원에 대한 구상의 미분 구조물의 수와 일치함을 증명했다(Asselmeyer-Maluga, Brans 7장 참조). 이러한 결과를 결합함으로써 콤팩트 토폴로 상의 매끄러운 구조물의 개수를 증명하였다.4와 같지 않은 치수의 다지관은 유한하다.null

차원 4는 더 복잡하다.콤팩트 매니폴드의 경우 결과는 두 번째 베티 번호 b2 측정한 다지관의 복잡도에 따라 달라진다.단순하게 연결된 4마니폴드의 베티 숫자 b2 > 18이 큰 경우, 매듭이나 링크를 따라 수술을 하면 새로운 미분 구조를 만들 수 있다.이 절차를 통해 무한히 많은 미분 구조물을 만들 수 있다.그러나 , P ,. . . . SC}, 같은 단순한 공간에서도... 다른 미분 구조물의 구조를 모른다.비-컴팩트 4-매니폴드의 경우 , S × 4 {}. . . . . . . . . {\ {\}, {*\},},} 등의 예가 많다.이(가) 헤아릴 수 없이 많은 미분 구조물을 가지고 있다.null

참고 항목

참조

  1. ^ Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer(1997) ISBN0-387-90148-5. 미분 구조 일반 수학 계정용
  2. ^ Kervaire, Michel (1960). "A manifold which does not admit any differentiable structure". Commentarii Mathematici Helvetici. 34: 257–270. doi:10.1007/BF02565940.
  3. ^ Moise, Edwin E. (1952). "Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung". Annals of Mathematics. Second Series. 56 (1): 96–114. doi:10.2307/1969769. JSTOR 1969769. MR 0048805.
  4. ^ Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08190-5.