슈퍼맨아이폴드

물리학과 수학에서 슈퍼맨아이폴드는 초대칭에서 나온 아이디어를 바탕으로 한 다지관 개념을 일반화한 것이다.몇 가지 정의가 사용되고 있으며, 그 중 일부는 아래에 설명되어 있다.

비공식적 정의

물리 교과서와 입문 강의에서 비공식적인 정의가 흔히 사용된다.슈퍼맨볼드를 보소닉 좌표와 페르미온 좌표를 모두 갖춘 다지관으로 정의한다.국지적으로 '평평한', '유클리드' 초공간처럼 보이게 하는 좌표도로 구성돼 있다.이러한 국부 좌표는 흔히 다음과 같이 표시된다.

{\displaystyle(x,\theta,{\bar {\theta }})}

여기서 x는 (실수 값) 스페이스타임 좌표이며, $\theta \,$ ${\$ 및 $\theta \,$ ${\bar {\theta }}$ ${\$ 은 그라스만 값 공간 "방향"이다 ${\bar {\theta }}$ .

그래스만 값 좌표에 대한 물리적 해석은 논쟁의 대상이다; 초대칭에 대한 명시적인 실험적 검색은 어떠한 긍정적인 결과도 도출하지 못했다.그러나 그라스만 변수를 사용하면 여러 가지 중요한 수학 결과를 엄청나게 단순화할 수 있다.여기에는 무엇보다도 기능적 통합에 대한 콤팩트한 정의, BRST 정량화에 있어서의 귀신의 적절한 처리, 양자장 이론에 있어서의 부정의 취소, 아티야-싱어 지수 정리에 관한 위튼의 연구, 대칭성을 반영하기 위한 최근의 응용 등이 포함된다.

그라스만 값 좌표의 사용은 슈퍼매틱스 분야를 발생시켰는데, 리만 기하학의 많은 부분과 리 그룹 및 리 알헤브라스(리 수페르알게브라스 등)의 대부분의 이론을 포함하여 기하학의 상당 부분을 초등분자로 일반화할 수 있다.그러나, 드 람 코호몰로지(de Rham cohomology)를 슈퍼맨아이폴드로 적절하게 확장하는 것을 포함한 문제가 남아있다.

정의

슈퍼맨홀드에 대한 세 가지 다른 정의가 사용되고 있다.한 가지 정의는 고리형 공간 위의 피복으로서, 이것을 "알제브로-기하학적 접근법"^[1]이라고 부르기도 한다.이러한 접근방식은 수학적 우아함을 가지고 있지만, 다양한 계산과 직관적인 이해에서는 문제가 될 수 있다.두 번째 접근방식은 "구체적인 접근법"이라고 할 수 있는데,^[1] 그것은 일반 수학에서 나온 광범위한 개념을 단순하고 자연스럽게 일반화할 수 있기 때문이다.그것은 그것의 정의에서 무한한 수의 초대칭 발전기를 사용해야 하지만, 콘크리트 접근방식은 거의 모든 대칭 발전기를 렌더링하는 거친 위상의 사용을 요구하기 때문에, 이러한 발전기의 한정된 개수를 제외한 모든 발전기는 내용을 담고 있지 않다.놀랍게도 이 두 가지 정의는 초대칭 발전기 수가 유한한 정의와 무한대칭 발전기 수가 있는 정의가 동등하다.^[1]^[2]

세 번째 접근법은 슈퍼맨볼드를 슈퍼포인트의 베이스 토포라고 묘사한다.이 접근법은 여전히 활발한 연구의 주제로 남아 있다.^[3]

알헤브로-기하학: 피복으로서

슈퍼노폴드는 비확장 다지관의 특별한 경우지만, 그 지역 구조는 표준 미분 기하학 및 국소 링 공간의 도구로 연구에 더 적합하게 한다.

Msuperalgebras의 뭉치로 로컬에서 C∞(Rp)⊗Λ ∙(ξ 1, 쭉 펼쳐져ξ q){\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R}^{p})\otimes(^ᆯ(\xi_{1},\dots \xi_{q})}, 후자는 그라스만. HermannGünther.(Ex에 동형은 Asupermanifold M치수(p,q)의 위상 공간, 보통 오엠 또는 C∞(M)표시된다.기q 생성기의 대수

차원(1,1)의 슈퍼맨볼드 M을 슈퍼리만 표면이라고 부르기도 한다.

역사적으로 이 접근법은 펠릭스 베레진, 디미트리 레이트, 베르트람 코스탄트와 관련이 있다.

콘크리트: 매끄러운 다지관으로서의

A different definition describes a supermanifold in a fashion that is similar to that of a smooth manifold, except that the model space $\mathbb {R} ^{p}$ has been replaced by the model superspace $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$ .

이를 올바르게 정의하려면 $\mathbb {R} _{c}$ $\mathbb {R} _{c}$ ${\$ 및 $\mathbb {R} _{c}$ R $\mathbb {R} _{a}$ ${\$ 가 무엇인지 $\mathbb {R} _{a}$ 설명할 필요가 있다.These are given as the even and odd real subspaces of the one-dimensional space of Grassmann numbers, which, by convention, are generated by a countably infinite number of anti-commuting variables: i.e. the one-dimensional space is given by $\mathbb {C} \otimes \Lambda (V),$ where V is infinite-dimensional.원소 z는 $z=z^{*}$ = $z=z^{*}$ = z $z=z^{*}$ ${\$ 의 균일한 수의 그래스만 생성자로 구성된 실제 원소는 c-number의 공간 $\mathbb {R} _{c}$ $\mathbb {R} _{c}$ c ${\$ 를 형성하는 반면, 실제 원소는 홀수 수의 그래스만 생성기로 구성된 공간 R a ${\$ 를 형성한다. $\mathbb{R} _{a}$ 의 $\mathbb {R} _{a}$ 숫자.c-number는 통근하는 반면, number는 통근금지라는 점에 유의한다.The spaces $\mathbb {R} _{c}^{p}$ and $\mathbb {R} _{a}^{q}$ are then defined as the p-fold and q-fold Cartesian products of $\mathbb {R} _{c}$ and $\mathbb {R} _{a}$ .^[4]

일반 다지관의 경우와 마찬가지로, 슈퍼맨홀드는 이후 서로 다른 전환 기능을 가진 차트의 집합으로 정의된다.^[4]차트의 관점에서 이 정의는 전환 기능이 부드러운 구조와 비탄력적인 자코비안을 가질 것을 요구한다.이는 개별 차트가 그래스만 대수학에서 벡터-공간 위상보다 상당히 강한 위상을 사용하는 경우에만 달성할 수 있다.이 위상은 $\mathbb {R} _{c}^{p}$ $\mathbb {R} _{c}^{p}$ ${\$ 을 $\mathbb {R} _{c}^{p}$ (를) R $\mathbb {R} ^{p}$ ${\$ 까지 투영한 후 $\mathbb {R} ^{p}$ 그 위에 자연 위상을 사용하여 얻는다.그 결과 위상은 하우스도르프가 아니라 "프로젝트적으로 하우스도르프"^[4]라고 불릴 수도 있다.

이 정의가 첫 번째 정의와 동등하다는 것은 전혀 명백하지 않지만, 대부분의 "점"을 동일하게 만들어 그렇게 만드는 것은 거친 위상이다.That is, $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$ with the coarse topology is essentially isomorphic^[1]^[2] to $\mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})$

역사적으로 이 접근법은 앨리스 로저스, 브라이스 드위트와 연관되어 있으며, 야드지크와 필치의 작품이기도 하다.^[5]

특성.

일반 다지관과 달리 슈퍼맨볼드는 점 집합으로 완전히 구성되지 않는다.그 대신 슈퍼맨ifold M의 구조가 '매끄러운 기능'의_M O자형 안에 들어 있다는 이중적 관점을 취한다.이원적 관점에서 주입 지도는 피복의 추정에 해당하며, 피복 지도는 피복의 주입에 해당한다.

이중 관점에 대한 대안적인 접근법은 포인트의 functor를 사용하는 것이다.

M이 차원(p,q)의 슈퍼노폴드라면, 그 기초 공간 M은 부드러운 기능의 층이 O_M/I인 다른 다지관의 구조를 계승하고, 여기서 나는 모든 홀수 기능에 의해 생성되는 이상이다.따라서 M은 M의 기저 공간, 즉 몸이라고 불린다.지수지도 O_M → O_M/I는 주입지도 M → M에 해당하므로 M은 M의 하위매니폴드다.

예

M을 다지관이 되게 하라.홀수 접선다발 πTM은 M에 있는 차동형태의 sheaf Ω(M)이 주는 슈퍼맨볼드다.
보다 일반적으로 E → M을 벡터 번들로 한다.그렇다면 πE는 she(()이^* 준 슈퍼맨이다.실제로 Ⅱ는 벡터다발 범주에서 슈퍼맨아이폴드 범주에 이르는 펑터다.
거짓말 슈퍼그룹들은 슈퍼맨의 예들이다.

바첼러의 정리

배첼러의 정리에는 모든 슈퍼맨이 πE형식의 슈퍼맨과 비캐논적으로 이형성이 있다고 명시되어 있다."비카논리적으로"라는 단어는 슈퍼맨아이폴드가 단순히 미화된 벡터다발이라는 결론을 내리는 것을 막는다; 비록 Functor Ⅱ가 주제넘게 슈퍼맨아이폴드의 이소모르피즘 등급에 매핑되지만, 그것은 범주의 동등성은 아니다.이 책은 1979년 마조리 바첼러에 의해 출판되었다.^[6]

바첼러의 정리의 증명은 단결이라는 칸막이의 존재에 본질적인 방법에 의존하기 때문에 복잡하거나 실제 분석적인 슈퍼맨아이폴드는 보유하지 않는다.

홀수 동일체 구조

홀수 동일체형

많은 물리적, 기하학적 용도에서, 슈퍼맨볼드는 그라스만-오드 공감 구조를 갖추고 있다.슈퍼맨홀드의 모든 자연 기하학적 물체는 등급이 매겨진다.특히 2형식의 묶음에는 등급이 달려 있다.슈퍼맨폴드에 있는 Ω의 이상한 공통점 형태는 TM에 비감속 페어링을 유도하는 폐쇄형, 홀수형이다.그런 슈퍼맨볼드를 P매니폴드라고 부른다.그 등급화된 치수는 반드시 (n,n)이며, 이는 홀수 동위변수의 결합을 유도하기 때문이다.P-manifolds를 위한 Darboux 정리의 버전이 있는데, P-manifold를 국소적으로 장착할 수 있는 좌표 세트와 함께 홀수( odd水)의 공통형식 Ω이 표기되어 있다.

\omega =\sum _{i}d\xi _{i}\i}\dx_{i}}

$\xi _{i}$ 서 $x_{i}$ $x_{i}$ $x_{i}$ ${\$ 는 짝수 좌표, coordinates $\xi _{i}$ ${\$ 홀수 $\xi _{i}$ 좌표.(이상한 동심원형 형태는 슈퍼맨볼드의 그라스만-반짝 동심원형 형태와 혼동해서는 안 된다.이와는 대조적으로, Darboux 버전은 짝수감각형이다.

\sum _{i}p_{i}\dq_{i}+\sum _{j}{j}}{\frac {\barepsilon _{j}}}}}}}

여기서 p $p_{i},q_{i}$ , $p_{i},q_{i}$ $p_{i},q_{i}$ ${\$ 은(는) 짝수 좌표 $p_{i},q_{i}$ , $\xi _{i}$ $\xi _{i}$ ${\$ 홀수 $\xi _{i}$ 좌표 및 $\varepsilon _{j}$ j ${\$ 은 +1 또는 -1)이다 $\varepsilon _{j}$ .

안티랙트

이상하고 동정적인 2-형식 Ω이 주어질 경우, 1은 슈퍼맨ifold에 대해 어떤 두 가지 함수 F와 G의 항균으로 알려진 포아송 브래킷을 정의할 수 있다.

\{F,G\}={\frac {\partial z^{i}}}\partial z^{r}}\partial z^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{partial z^{j}}}}}}.

여기서 $\partial _{r}$ $\partial _{r}$ ${\$ 과 $\partial_r$ $\partial _{l}$ l ${\$ 은 각각 오른쪽과 왼쪽 파생상품이며 $\partial _{l}$ z는 슈퍼맨ifold의 좌표다.이 괄호를 갖추게 되면 슈퍼맨폴드의 함수 대수는 항균대수가 된다.

항균을 보존하는 좌표 변환을 P-변환이라고 한다.만약 P-변환기의 베레지니아인이 1과 같다면 SP-변환이라고 불린다.

P와 SP-매니폴드

Darboux 정리를 사용하여 홀수 동일체 형태에 대해 P-manifolds가 P-transformation에 의해 접착된 ${\mathcal {R}}^{n|n}$ Superspace R ${\mathcal {R}}^{n|n}$ ${\$ 의 오픈 세트로부터 구성됨을 보여줄 수 있다.이러한 전환 기능을 SP 변환으로 선택할 수 있다면 다지관은 SP-매니폴드라고 한다.균등하게 SP-매니폴드는 각 좌표패치에 ρ이 1과 동일한 Darboux 좌표가 존재하는 비감속형 2-폼 Ω과 밀도함수 ρ을 가진 슈퍼맨볼드로 정의할 수 있다.

라플라시안

SP-매니폴드의 라플라시안 연산자 Δ를 해당 해밀턴 벡터 필드의 발산 중 함수 H에서 1/2을 차지하는 연산자로 정의할 수 있다.명시적으로 1개 정의

\Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l

H}{\partial

z

^{j}}\오른쪽)}

.

Darboux 좌표에서 이 정의는

\Delta ={\frac {\partial _{r}{\partial x^{a}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}}}

여기서 x와^a θ은_a 균일하고 홀수 좌표로서 다음과 같다.

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

=

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}

{\

라플라시안은 이상하고 영감적이다.

\Delta ^{2}=0

\Delta ^{2}=0

=

\Delta ^{2}=0

\Delta ^{2}=0

.

라플라시안(Laplacian)과 관련하여 함수 H의 코호몰리를 정의할 수 있다.바탈린-빌코비스키 정량화의 기하학에서, 알버트 슈워츠는 라그랑의 하위 관리형 L에 대한 함수 H의 적분은 단지 H의 코호몰로지 등급과 주변 슈퍼맨폴드의 몸 속에 있는 L의 신체의 호몰로지 등급에만 의존한다는 것을 증명했다.

SUSY

A pre-SUSY-structure on a supermanifold of dimension (n,m) is an odd m-dimensional distribution $P\subset TM$ . With such a distribution one associates its Frobenius tensor $S^{2}P\mapsto TM/P$ (since P is odd, the skew-symmetric Frobenius tensor is a symmetric operation).만약 이 텐서가 G $GL(P)\times GL(TM/P)$ ( P $GL(P)\times GL(TM/P)$ ) $GL(P)\times GL(TM/P)$ $GL(P)\times GL(TM/P)$ L $GL(P)\times GL(TM/P)$ ( $GL(P)\times GL(TM/P)$ $GL(P)\times GL(TM/P)$ $){\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$ 의 열린 궤도에 놓여 있다면 $GL(P)\times GL(TM/P)$ M은 SUSY-manifold라고 불린다.치수(1, k)의 SUSY 구조는 홀수 접촉 구조와 동일하다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d 앨리스 로저스, 슈퍼맨폴즈: 이론과 응용, 세계 과학, (2007) ISBN 978-981-3203-21-1(제1장 참조)
^ ^a ^b 로저스, Op. Cit (제8장 참조)
^ 슈퍼맨볼드 in nLab
^ ^a ^b ^c 브라이스 드위트, 슈퍼맨아이폴즈(1984) 케임브리지 대학교 프레스 ISBN 0521 42377 5 (제2장 참조)
^ A. Jadczyk, K. Pilch, "초대칭 및 초대칭"쉼표. 수학. 78 (1980), 3, pp373--390.
^ Batchelor, Marjorie (1979), "The structure of supermanifolds", Transactions of the American Mathematical Society, 253: 329–338, doi:10.2307/1998201, JSTOR 1998201, MR 0536951

Joseph Bernstein, "초대칭성에 대한 선택(Dennis Gaitsgory의 주석)", IAS의 양자장 이론 프로그램: 가을 학기
A. 슈바르츠, "바탈린-빌코비스키 정량화 지오메트리", ArXiv 햅th/9205088
C. Bartocci, U. Bruzzo, D.에르난데스 루이페레스, 슈퍼맨홀드의 기하학 (Kluwer, 1991년) ISBN 0-7923-1440-9
L. Magiarotti, G. Sardanashvily, Connections in Classic and Quantum 필드 이론 (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8 (arXiv:0910.0092)

외부 링크

슈퍼 다지관: 다지관 아틀라스에서의 불완전한 조사.

[rogers-1] 앨리스 로저스, 슈퍼맨폴즈: 이론과 응용, 세계 과학, (2007) ISBN 978-981-3203-21-1(제1장 참조)

[rogers-8-2] 로저스, Op. Cit (제8장 참조)

[3] 슈퍼맨볼드 in nLab

[dewitt-4] 브라이스 드위트, 슈퍼맨아이폴즈(1984) 케임브리지 대학교 프레스 ISBN 0521 42377 5 (제2장 참조)

[5] A. Jadczyk, K. Pilch, "초대칭 및 초대칭"쉼표. 수학. 78 (1980), 3, pp373--390.

[6] Batchelor, Marjorie (1979), "The structure of supermanifolds", Transactions of the American Mathematical Society, 253: 329–338, doi:10.2307/1998201, JSTOR 1998201, MR 0536951

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