벡터 측정

수학에서 벡터 측정은 집합의 계열에 정의되어 특정 성질을 만족시키는 벡터 값을 취하는 함수다.비부정적 실질값만을 취하는 유한척도 개념의 일반화다.

정의와 첫 번째 결과

Given a field of sets ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ and a Banach space ${\displaystyle X,}$ a finitely additive vector measure (or measure, for short) is a function ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ such that for any two disjoint sets ${\displaystyle A}$ and ${\d$$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $isplaystyle B}$이(가)

$\displaystyle \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)}$

벡터 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {시퀀스}_{}^{}}({\displaystyle A_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$) i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ $}}}}$에 있는 불연속 세트의 조합이$$ F ${\$ {$F}}}}}$에 있으면 cal$}$이라고 한다.

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\inful }{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu(A_{i}})}$

오른쪽의 시리즈로 Barnach 공간 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$의 표준에 수렴함

위의 순서$$($Ai$) ${\displaystyle i_{}^{}}$ = ${\displaystyle 1_{}^{}}$ $displaystyle($$A_${$i})_{i=1}^{\inflt$}의 경우에만 가법 벡터 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle$}이(가) 가법적으로 가법적으로 가법적으로 가법적이라는 것을 증명할$$ 수 있다.

$\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\left \mu \left(\bigcupt _{i}^{i}\flight)\right\ =0,\qquad \qquad*)}$

$여기$서 X${\displaystyle }$.${\displaystyle \cdot \}$은(는) X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 표준이다.

시그마-알게브라에 정의된 가산 벡터 측정은 유한 측정, 유한 서명 측정, 복잡한 측정보다 일반적이며, 이는 각각 실제 간격$[{\displaystyle 0,\mathrm{}}$∞ ${\displaystyle[0,\fty ],}$실수 집합$$, 복잡한 수 집합에 따라 값을 취하는 계산 가능한 첨가함수다.

예

이 간격에 포함된 모든 Lebegue 측정 가능 집합의 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) 함께${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$ 간격으로 구성된 집합 필드를 고려하십시오.이러한 모든 $집합$에 대해${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ A$,}$ 정의$$

$\\displaystyle \mu(A)=\chi _{A}$

여기서 $[\displaystyle \chi }$은(는) $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A.}$의 표시 함수임. $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 값을 취하기로 선언된$$ 위치에 따라$$ 두 가지 다른 결과를 얻는다.

• ${\displaystyle \mu }$, ${\$부터 L p ${\$ -공간 L ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}([0,}$ ${\displaystyle 1]),}$ ${\displaystyle$ $^{\inft }([0,1])$까지 함수로 보는$$ 벡터 측정으로 계산해도$$ 셀 수 없다.
• ${\displaystyle \mu }$, ${\$에서 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}$ -공간$$ ${\displaystyle {L1\mathrm{}}^{}([0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle$ L$^{1}([0,1$])까지$$ 함수로 간주되는$$μ$,$ {\$displaystystyled$ 벡터 측정값이다$$.

위의 기준(*)에서 이 두 문장은 모두 상당히 쉽게 따르게 된다.

벡터 측정값의 변동

벡터 측정 $\mu {\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}\to X}$을(를) 지정하면 $\mu$의 변동$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu$ $}$은(는$)$ 다음과 같이 정의된다$$.

$\displaystyle \mu(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\ \mu(A_{i})\}}$

모든 칸막이를 지배하는 곳

${\displaystyle A=\빅컵 _{i=1}^{n}A_{i}}$

$F{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {F}$의 $모든{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 대해 {\$displaystyle$ $A$$}$의 한정된 수의 Disconnection set에 대해$$$$ $여기$서 $\Vert {\displaystyle }$ ‖ $⋅$ {\$displaystystyle$\cdot$$\}은 $.$ {\\\\\daystyp$.}$의 표준이다$$.

$[\displaystyle \mu }$의 변동은${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle [0,\fty ]$의 값을 취하면서 정밀하게 첨가된 함수다$$.$}$ {그것을$$ 간직하고 있다.

$\displaystyle \mu(A)\leq \mu(A)}$

$F{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {F}$의 모든 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ A}에 대해 μ(Ω ) {\displaystyle \mu$(\Oomega )}$가 유한하면$$$$ 측정 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaysty \mu }$은 경계 변동이라고 한다$$.$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$이(가) 경계 변동의 벡터 측정인 경우$$ ${\displaystyle \mu }${\$displaystyle \mu$ $}$이(가) 계산 가능한 첨가물인$$ 경우에만 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu$ }이(가) 계산 가능한 첨가물임을$$ 증명할 수 있다.

랴푸노프의 정리

벡터 측정 이론에서 랴푸노프의 정리는 (비원자) 유한차원 벡터 측정의 범위가 닫히고 볼록하다고 기술하고 있다.^[1][2][3]실제로 비원자 벡터 측정의 범위는 조노이드(조노토프의 수렴 시퀀스의 한계인 닫힘 및 볼록 세트)이다.^[2]경제학,^[4][5][6] ("방-방") 제어 이론 ^[1][3][7][8]및 통계 이론에 사용된다.^[8]랴푸노프의 정리는 샤플리-포크만 보조정리기를 사용함으로써 증명되었는데,^[9] 이는 랴푸노프의 정리의 이산 아날로그로 간주되어 왔다.^[8][10][11]

참고 항목

• Bochner 측정 가능한 기능
• 보크너 일체형
• Bochner 공간 – 수학적 개념
• 복합측량
• 서명 측정 – 수학에서 측정의 일반화 개념
• 벡터 값 함수
• 약하게 측정할 수 있는 함수

참조

참고 문헌 목록

• Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (reprint ed.). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. pp. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001.
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys. Vol. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. pp. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• 클루바넥, I, Knowles, G, 벡터 측정 및 제어 시스템, North-Holland 수학 연구 20, 암스테르담, 1976.
• van Dulst, D. (2001) [1994], "Vector measures", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rudin, W (1973). Functional analysis. New York: McGraw-Hill. p. 114.