이중규범

기능 분석에서 이중 표준은 정규 벡터 공간에 정의된 연속 선형 함수에 대한 크기 측도다.

정의

$X$ $X$ 을(를) 표준 $\|\cdot \|$ 벡터 공간으로 하고 $X$ $,$ ${\$ $\cdot \$ $\cdot$ $\}$ 을(를) 이중 $X^{*}$ 공간으로 한다. $X^{*}$ $X^{*}$ ${\$ 에 속하는 $f$ 연속 선형 함수 $f$ $f$ 의 이중 표준은 다음 $X^{*}$ 등가 공식 중 하나로 정의된 비음수^[1] 실수다.

{\displaystyle{\begin{alignedat}{5}\ f\&=\sup&&\{f())&&일:~\x\ \leq 1~&,&~{\text{과}}~&,&x\in X\}\\&,=\sup&&\{f())&&일:~\ x\<>1~&,&~{\text{과}}~&,&x\in X\}\\&, =\inf&&\{모든{에 c\in는 경우에는 0,\infty)&&일:~ f())\leqc\ x\ ~&,&~{\text}}~&,&.X\in X\}\\&,=\sup&&\{f())&&일:~\x\ =1{\text{또는}}0~&,&~{\text{과}}~&,&x\in X\}\\&,=\sup&&){f())&&일:~\ x\.=1~&&~{\text{ and }}~&&x\in X\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac { f(x) }{\ x\ }}~&&~:~x\neq 0&&~{\text{ and }}~&&x\in X{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}X\neq \{0\}\\\end{alignedat}}}

여기서 $\sup$ $\sup$ 과 $\sup$ $\inf$ $\inf$ 은 각각 우월감과 최소치를 나타낸다 $\inf$ .상수 $0$ 지도는 항상 표준이 $0$ 이고 그것은 벡터 $X^{*}.$ X $X^{*}.$ . ${\displaystyle$ X $^{*}}}$ $X=\{0\}$ X $X=\{0\}$ = $X=\{0\}$ { $X=\{0\}$ $X=\{0\}$ ${\displaystyle$ X $=\{$ $0\}}}}}}$ 의 $X=\{0\}$ 유일한 선형 $X$ 은 $상수$ 0 지도일 $X$ 뿐이며, 더욱이 마지막 두 행의 집합은 모두 비어 있고 결과적으로 그 수가 제곱일 것이다.리무진은 정확한 $값$ 인 0 대신 $\infty$ 과 같을 것이다.

지도 $f\mapsto \|f\|$ $f\mapsto \|f\|$ $f\mapsto \|f\|$ $f\mapsto \|f\|$ $f\mapsto \|f\|$ ${\displaystyle f\mapsto \f\}은($ 는) $X^{*}.$ $X^{*}}$ 에 규범을 정의한다 $f\mapsto \|f\|$ ( $X^{*}.$ 아래 정리 1과 2 참조).

이중 표준은 규범 벡터 공간 사이의 각 (경계) 선형 지도에 대해 정의된 연산자 표준의 특별한 경우다.

$\|\cdot \|$ $displaystyle X^{*}}$ 가 유도한 $X^{*}$ $X^{*}$ $displaystyle \cdot \}}$ 의 위상은 $X^{*}.$ $X^{*}.$ . ${\displaysty X^{*}$ 의 약한-* 위상만큼 강한 것으로 나타났다 $\|\cdot \|$ . $}$

$X$ $X$ 의 접지 필드가 완료되면 $X$ $X^{*}$ $X^{*}$ ${\$ X $^{*}}$ 는 Banach 공간이다 $X^{*}$ .

표준 선형 공간의 이중 이중화

The double dual (or second dual) $X^{**}$ of $X$ is the dual of the normed vector space $X^{*}$ . There is a natural map $\varphi :X\to X^{**}$ . Indeed, for each $w^{*}$ in ${\displa$ $ystyle$ X $^{*}}$ 정의 $X^{*}$

\varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).

지도 $\varphi$ $\varphi$ 은(는) 선형, 주입형, 거리 보존형이다 $\varphi$ .^[2]특히 $X$ $X$ 이(가) 완료되면 $X$ (즉, Banach 공간) $\varphi$ $\varphi$ 은(는) $X^{**}$ $X^{**}$ ${\$ 의 닫힌 하위 공간에 대한 등각도법이다 $\varphi$ $X^{**}$ ^[3]

일반적으로 지도 $\varphi$ $\varphi$ 은 $\varphi$ (는) 추월적이지 않다.예를 들어, $X$ ${\$ $displaystyle X$ }이 $X$ (가) Banach 공간 $∞{\$ L $^{\inforty }$ 이(가) 최상규범과 함께 실제 라인의 경계 함수로 구성되어 $L^{\infty }$ 있다면, 지도 $\varphi$ ${\$ $displaysty$ $\varphi }$ 은( $가)$ 을 $\varphi$ ( 참조 $L^{p}$ ). $\varphi$ { $\varphi$ {\ $displaystyle \varphi$ }이 $\varphi$ (가) 허탈적이라면, $X$ $X$ 은 반사적인 Banach 공간이라고 한다 $X$ . ${\displaystyle 1만약<semantics><mrow class=$ 1 ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ < ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ , ${\displaystyle 1<semantics><annotation encoding=$ p<\ ${\displaystyle 1<semantics><annotation encoding=$ 이면 $1<p<\infty ,$ 공간 $L^{p}$ $L^{p}$ ${\$ L $^{p}}$ 는 반사적인 바나흐 공간이다 $L^{p}$ .

수학적 최적화

$\mathbb {R} ^{n}.$ $\|\cdot \|$ $\mathbb {R} ^{n}.$ $\|\cdot \|$ . $\cdot \$ 을(를) R n $\mathbb {R} ^{n}.$ . $\mathb {R$ ^{ $n}$ 에서 표준이 되게 $\|\cdot \|$ 두십시오. $\mathbb {R} ^{n}.$ $\|\cdot \|_{*},$ $\|\cdot \|_{*},$ $\|\cdot \|_{*},$ ∗ $\|\cdot \|_{*},$ , ${\displaystyle \cdot$ \ \ \ $_{*}$ 로 표시된 관련 이중 표준은 다음과 같이 정의된다 $\|\cdot \|_{*},$ .

\\\{*}=\sup\{z^{\intercal }x\mid \x\\\leq 1\}

(이것은 표준으로 보일 수 있다.)The dual norm can be interpreted as the operator norm of $z^{\intercal }$ , interpreted as a $1\times n$ matrix, with the norm $\ \cdot \$ on $\mathbb {R} ^{n}$ , and the absolute value on $\mathbb {R}$ :

\\\{*}=\sup\{z^{\intercal }x \mid \x\\\leq 1\}}

이중규범의 정의로부터 우리는 불평등을 가진다.

z^{\intercal }x=\x\\x\\x\\intercal }{\frac {x}{\x\}\leq \x\\\\ _{*}}

$모든$ $x$ 와 z를 지탱하는.^[4]이중 표준의 이중은 원래 표준이다: 우리는 $모든$ x에 $\|x\|_{**}=\|x\|$ 대해 $\|x\|_{**}=\|x\|$ x $\|x\|_{**}=\|x\|$ = $\|x\|_{**}=\|x\|$ = $\|x\|_{**}=\|x\|$ x $\\displaystyle$ \ x\ $_{**}=\$ x $\ }$ 을(를) 가지고 있다. (이는 무한 차원 벡터 공간에서 유지할 필요가 없다.)

유클리드 규범의 이중성은 유클리드 규범인데, 그 이후부터이다.

\displaystyle \sup\{z^{\intercal }x\mid \ x\ _{2}\leq 1\}=\z\ _{2}.}

(This follows from the Cauchy–Schwarz inequality; for nonzero $z$ , the value of $x$ that maximises $z^{\intercal }x$ over $\ x\ _{2}\leq 1$ is ${\tfrac {z}{\ z\ _{2}}}$ .)

${\$ norm의 $\ell _{\infty }$ 이중은 $\ell _{1}$ $\ell _{1}$ ${\$ -norm $\ell _{1}$ :

\sup\{z^{}\intercal }x\mid \x\x\mid \_{\\\\\n}\sum _{i=1}^{n}z} =\\{1},

$\ell _{1}$ ${\$ norm의 $\ell _{1}$ 이중은 $\ell _{\infty }$ $\ell _{\infty }$ ${\$ norm이다 $\ell _{\infty }$ .

More generally, Hölder's inequality shows that the dual of the $\ell _{p}$ -norm is the $\ell _{q}$ -norm, where, $q$ satisfies ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ , i.e., ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}.$ $}$

$\ell _{2}$ 다른 예로, R $\mathbb {R} ^{m\times n}$ $\mathbb {R} ^{m\times n}$ $\mathbb {R} ^{m\times n}$ ${\$ $\ell _{2$ }} $\ell _{2}$ - 또는 스펙트럼 노먼( $\mathbb {R} ^{m\times n}$ $mathb {R} ^{m\time$ n $})$ 을 들 수 있다 $\mathbb {R} ^{m\times n}$ 관련 이중 표준은

\ Z\ _{2*}=\supp\{\mathbf {tr}(Z^{\intercal }X)\mid \ X\ _{2}\leq 1\}}

단수 값의 합으로 밝혀지고

\ Z\ _{2*}=\sigma _{1}(Z)+\cdots +\sigma _{r}=\mathbf {tr}({Z^{\intercal })}),

$여기$ 서 $r=\mathbf {rank} Z.$ = $r=\mathbf {rank} Z.$ $r=\mathbf {rank} Z.$ $r=\mathbf {rank} Z.$ $r=\mathbf {rank} Z.$ . $r=\mathbf {rank$ Z $.$ $}}$ 이 규범을 $r=\mathbf {rank} Z.$ 핵 규범이라고도 한다.^[5]

예

행렬에 대한 이중 표준

에 의해 정의된 프로베니우스 규범

\\displaystyle \ A\ _{\text{F}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left a_{ij}\right ^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} (A^{*}A)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{2}}}}

자체 이중화, 즉 $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ 은 $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ F $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ = $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ ‖ $\|\cdot \|'_{\text{F}}=\|\cdot \|_{\text{F}}.$ ${\displaystyle \cdot \'_{\text$ {\text ${$ $F}}=\ \cdot \ _{\text{$ $F}}.}$

$p=2$ = $p=2$ $p=2$ 일 $p=2$ 때 유도된 규범의 특별한 경우인 스펙트럼 노먼은 행렬의 최대 단수 값으로 정의된다.

\ A\ _{2}=\sigma _{\max }(A),

핵 규범을 그 이중 규범(dual norm)으로 하고 있는데, 이 규범은 다음과 같이 정의된다.

\ B\ '_{2}=\sum _{i}\sigma _{i}(B),

$\sigma _{i}(B)$ i ( B ) {\ $displaystyle$ \ $sigma _{i}(B)}$ 이(가 $\sigma _{i}(B)$ 단수 값을^{[citation needed]} 나타내는 $\sigma _{i}(B)$ 모든 $B$ 행렬 $B$ ${\displaystyle B$ $\sigma _{i}(B)$ 에 대해

운영자 표준에 대한 몇 가지 기본 결과

더 일반적으로, X{X\displaystyle}, Y{Y\displaystyle} 위상 벡터 공간과 L(X, Y) X{X\displaystyle}의 Y.{Y\displaystyle}에 의해 선형 매핑(운전자나)의 경우{L(X,Y)\displaystyle}[6] 컬렉션자 여기서 X{X\displaystyle}와 y { $\displaystyle Y}$ 은 $Y$ (는) 표준 벡터 공간이며, $L(X,Y)$ Y $L(X,Y)$ ) $L(X,Y)$ 은(는) 표준 규격을 부여할 수 있다 $L(X,Y)$ .

정리 1 — $X$ $X$ $Y$ Y $Y$ 을 $Y$ (를) 정규화된 공간으로 두십시오.각 연속 선형 연산자 $f\in L(X,Y)$ $f\in L(X,Y)$ ( $f\in L(X,Y)$ , $f\in L(X,Y)$ ) $f\in L(X,Y)$ 에 $f\in L(X,Y)$ 할당

\f\ =\suppleft\{\f(x)\ :x\in X,\\\leq 1\오른쪽\}

defines a norm $\ \cdot \ ~:~L(X,Y)\to \mathbb {R}$ on $L(X,Y)$ that makes $L(X,Y)$ into a normed space.더욱이 $Y$ $Y$ 이 $Y$ ( $L(X,Y).$ ) Banach $L(X,Y).$ 이라면 L $L(X,Y).$ ( X $L(X,Y).$ , $L(X,Y).$ ) $L(X,Y).$ . ${\displaystyle L(X,Y$ )도 마찬가지다 $.$ $}$ ^[7]

증명

한normed 공간의 하위 집합 만일 제품 구의 일부 배수로에 있다, 따라서‖ f‖<>마다 f에 ∞{\displaystyle)f\<>\infty}L(X, Y){\displaystyle f\in L(X,Y)}만약α{\displaystyle \alpha}은 scalar, 그때(fα)()))α ⋅ f){\displaystyle(f\alpha)())=\alpha \cdot fx}∈ 경계를 이루고 있다. 그렇게 티모자를 씌우다

\displaystyle \\ \f\ = \cHB \ f\ }

$Y$ $Y$ 의 삼각형 불평등은 다음을 $Y$ 나타낸다.

{\signified}\ \left(f_{1}+f_{2}\right)x\ ~&=\ f_{1}x+f_{2}}x\\\&\leq ~\ f_{1}x\ +\ f_{2}x\\\\\\\좌측(\ f_{1}\\\f_{2}\오른쪽)\x\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\{1}\i1}\\{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}정렬정렬}}}

for every $x\in X$ satisfying $\ x\ \leq 1.$ This fact together with the definition of $\ \cdot \ ~:~L(X,Y)\to \mathbb {R}$ implies the triangle inequality:

\left\f_{1}+f_{2}\right\ \leq \left\f_{1}\{1}\right\ +\\ft\{2}\right\}}

Since $\{ f(x) :x\in X,\ x\ \leq 1\}$ is a non-empty set of non-negative real numbers, $\ f\ =\sup \left\{ f(x) :x\in X,\ x\ \leq 1\right\}$ is a non-negative real number.어떤 x0∈ X를 만약 f≠ 0{\displaystyle f\neq 0} 다음 f)0≠ 0{\displaystyle fx_{0}\neq 0}일 경우(X,}그것은 ‖ f)0‖하는 것을 의미하기;0{\displaystyle\left\ fx_{0}\right\<>를 사용하여 0}일 경우, 결과적으로‖ f‖<>를 사용하여 0입니다.{\displaystyle)f\>0.}.이것은(L(X, Y),‖ ⋅을 보여 준다. $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ) ${\$ 은 $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ 표준 공간이다.^[8]

$이제$ Y $Y$ 이 $Y$ (가) 완료되었다고 가정하고 $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ( $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ( $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ) $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ , $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ⋅ $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ ) ${\$ 이 $\left(L(X,Y),\|\cdot \|\right)$ (가) 완료되었다고 가정해 보십시오.Let $f_{\bullet }=\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ be a Cauchy sequence in $L(X,Y),$ so by definition $\left\ f_{n}-f_{m}\right\ \to 0$ as $n,m\to \infty .$ This fa관계와 함께 ct를 찍다.

\left\f_{n}x-f_{m}x\right\\\\reft(f_{n}-f_{m}\right\\ \leq\ \leq\ \ft\{n}-f_{m}\rig\x\ \

implies that $\left(f_{n}x\right)_{n=1}^{\infty }$ is a Cauchy sequence in $Y$ for every $x\in X.$ It follows that for every $x\in X,$ the limit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_$ ${n}x}$ 이(가) $Y$ $Y$ 에 있으므로 $\lim _{n\to \infty }f_{n}x$ $Y$ $이$ (필요하게 고유한) $한도$ 를 f x , {\displaystyle $fx,}($ 으)로 나타내겠다. 즉 $fx,$ ,

fx~=~\lim _{n\to \ft \f_{n}x.

$f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 선형임을 $f:X\to Y$ 알 수 있다. $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ > 0 $\varepsilon >0$ 이면 $\varepsilon >0$ 모든 큰 정수 $n$ 과 $m$ 에 대해 $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ - $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ x $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ x $\left\|f_{n}-f_{m}\right\|\|x\|~\leq ~\varepsilon \|x\|$ x { { \ $\\f_{n}-f_{m}\right\$ \ $~\\\\\leq ~\leps.$ 그 뒤를 잇는다.

\displaystyle \fx-f_{m}x\right\ ~\leq ~\varepsilon \x\ }

for sufficiently all large $m.$ Hence $\ fx\ \leq \left(\left\ f_{m}\right\ +\varepsilon \right)\ x\ ,$ so that $f\in L(X,Y)$ and $\left\ f-f_{m}\right\ \leq \varepsilon .$ $L(X,Y).$ 는 $L(X,Y).$ $L(X,Y).$ $L(X,Y).$ , $L(X,Y).$ )의 표준 $L(X,Y).$ 위상에서의 $f_{m}\to f$ $f_{m}\to f$ m $f_{m}\to f$ → $f_{m}\to f$ $f_{m}\to f$ 을(를) 보여준다 $. {\displaystyle L($ $L(X,Y).$ , $L(X,Y).$ $L(X,Y).$ . ${\displaysty L(X,Y$ )의 완전성을 확립한다 $L(X,Y).$ $.$ $}$ ^[9]

When $Y$ is a scalar field (i.e. $Y=\mathbb {C}$ or $Y=\mathbb {R}$ ) so that $L(X,Y)$ is the dual space $X^{*}$ of $X$ .

정리 2 — $X$ $X$ 을(를) 표준 공간으로 하고 $X$ 모든 $x^{*}\in X^{*}$ $x^{*}\in X^{*}$ ∗ $x^{*}\in X^{*}$ { $x^{*}\in X^{*}$ {\ $displaystyle x^{*}\in$ X^{*}}}}}}에 $x^{*}\in X^{*}$ 대해 표준 공간으로 한다.

{\displaystyle \reft\x^{*}\right\\\cHB\{\langle x,x^{*}\rangele ~:~x\in X{\}\in X{\}\\leq 1\right\}}}}}}표시 형식

여기서 정의 $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ x , $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ ( $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ ) ${\displaystyle \langle$ x $,x^{*}\angle ~:=~x^{*(x)}$ 는 $\langle x,x^{*}\rangle ~:=~x^{*}(x)$ 스칼라이다.그러면.

$\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ $\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ : $\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ $\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ 은 X $X^{*}$ ${\$ X $^{*}$ 를 바나흐 공간으로 만드는 $X^{*}$ 규범이다 $\|\,\cdot \,\|:X^{*}\to \mathbb {R}$ .^[10]
$∗{\$ 이 $B^{*}$ X $X^{*}$ {\ $displaystyle$ X $^{*}$ 의 닫힌 단위 볼이라면, $x\in X,$ $x\in X,$ ∈ X $x\in X,$ , ${\displaystyle$ x $\in$ X $,}$
${\begin{alignedat}{4}\ x\ ~&=~\sup \left\{ \langle x,x^{*}\rangle ~:~x^{*}\in B^{*}\right\}\\&=~\sup \left\{\left x^{*}(x)\right ~:~\left\ x^{*}\right\ \leq 1{\text{ with }}x^{*}\in X^{*}\right\}.\\end{aignatedat}}$
따라서 $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ $\|x^{*}\|~=~\|x\|.$ $↦$ $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ x $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ , x $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ { $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ { { ${$ { { \ $displaystyle x^{*}\mapsto \langle x,$ $x$ $^{*}\langle }}}}$ 은 $X^{*}$ (는) $X^{*}$ $\|x^{*}\|~=~\|x\|.$ ${\displaystystystyle$ X $^{*}$ 에 대한 경계 선형 기능이다 $x^{*}\mapsto \langle x,x^{*}\rangle$ $.$
$∗{\$ B $^{*}}$ 는 $B^{*}$ 약*-compact이다.

증명

Let $B~=~\sup\{x\in X~:~\ x\ \leq 1\}$ denote the closed unit ball of a normed space $X.$ When $Y$ is the scalar field then $L(X,Y)=X^{*}$ so part (a) is a corollary of Theorem 1.수정 $x\in X.$ $x\in X.$ $x\in X.$ . ${\displaystyle$ x $\in X.}$ $y^{*}\in B^{*}$ $y^{*}\in B^{*}$ $y^{*}\in B^{*}$ $y^{*}\in B^{*}$ {\ $displaystyle$ y $^{*}\in$ B $^{*}}}}$ 이^[11] $y^{*}\in B^{*}$ (가) 있다 $x\in X.$ .

\langle {x,y^{*}\angle =\ x\ .

그렇지만

\langle {x,x^{*}\rangele \leq \ x\\ x^{*}\ \leq \x\

x^{*}\in B^{*}

*

B

x^{*}\in B^{*}

{\

B

x^{*}\in B^{*}

에 대해서는 위에서부터 다음과 같이 한다.Since the open unit ball

U

of

X

is dense in

B

, the definition of

\ x^{*}\

shows that

x^{*}\in B^{*}

if and only if

{\displaystyle \langle {x,x^{*}}\rangle \

모든

x\in U

x\in U

U

x\in U

에

|\langle {x,x^{*}}\rangle |\leq 1

대한

leq

1

x\in U

이제 (c)^[12]에 대한 증거가 직접 뒤따른다.^[13]

참고 항목

메모들

^ 루딘 1991, 페이지 87
^ 루딘 1991년, 섹션 4.5, 페이지 95
^ 루딘 1991, 페이지 95
^ 이 불평등은 다음과 같은 의미에서 팽팽하다: 어떤 $x$ 에 대해서도 불평등이 평등하게 $유지$ 되는 z가 있다.(비슷하게, 어떤 $z$ 에도 평등을 주는 $x$ 가 있다.)
^ 보이드 & 반덴버그 2004 , 페이지 637
^ 각 $L(X,Y)$ ( $L(X,Y)$ , $L(X,Y)$ ) $L(X,Y)$ 은 기능의 $L(X,Y)$ 추가 및 스칼라 곱에 대한 일반적인 정의를 가진 벡터 공간이다. 이는 X $X$ 이 $아니라$ $Y$ ${\displaysty Y}$ 의 벡터 공간 구조에만 의존한다 $X$
^ 루딘 1991 페이지 92
^ 루딘 1991, 페이지 93
^ 루딘 1991, 페이지 93
^ 알리프란티스 2006, 페이지 230
^ 루딘 1991, 정리 3.3 코롤라리, 페이지 59
^ 루딘 1991, 정리 3.15 바나흐-알라오글루 정리 알고리즘, 페이지 68
^ 루딘 1991, 페이지 94

참조

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Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 9780521833783.
Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Volume 1: Metric and Normed Spaces. Rochester: Graylock Press.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

외부 링크

Liven Vandenberge의 근위부 매핑에 대한 참고 사항

[1] 루딘 1991, 페이지 87

[2] 루딘 1991년, 섹션 4.5, 페이지 95

[3] 루딘 1991, 페이지 95

[4] 이 불평등은 다음과 같은 의미에서 팽팽하다: 어떤 $x$ 에 대해서도 불평등이 평등하게 $유지$ 되는 z가 있다.(비슷하게, 어떤 $z$ 에도 평등을 주는 $x$ 가 있다.)

[5] 보이드 & 반덴버그 2004 , 페이지 637

[6] 각 $L(X,Y)$ ( $L(X,Y)$ , $L(X,Y)$ ) $L(X,Y)$ 은 기능의 $L(X,Y)$ 추가 및 스칼라 곱에 대한 일반적인 정의를 가진 벡터 공간이다. 이는 X $X$ 이 $아니라$ $Y$ ${\displaysty Y}$ 의 벡터 공간 구조에만 의존한다 $X$

[7] 루딘 1991 페이지 92

[8] 루딘 1991, 페이지 93

[9] 루딘 1991, 페이지 93

[10] 알리프란티스 2006, 페이지 230

[11] 루딘 1991, 정리 3.3 코롤라리, 페이지 59

[12] 루딘 1991, 정리 3.15 바나흐-알라오글루 정리 알고리즘, 페이지 68

[13] 루딘 1991, 페이지 94

[1]

[2]

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[4]

[5]

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[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v t 선형 지도의 이중성과 공간
기본개념	이중공간 이중 시스템 이중 위상 이중성 연산자 위상 폴라 세트 극 위상 선형 지도 공간의 토폴로지
토폴로지	노르말 위상 이중규범 울트라위크/위크-* 약한 극성의 운영자 힐베르트의 공간에. 맥키 스트롱 듀얼 극지 위상 운영자 울트라스트롱
주요 결과	바나흐알라오글루 맥키아렌스
지도	선형 지도의 전치
하위 집합	포화가족 총 집합
기타개념	이오르토곤계

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