홉-리노 정리
Hopf–Rinow theorem홉프-리노우 정리(Hopf-Rinow organization)는 리만 다지관의 지질학적 완전성에 관한 일련의 진술이다. 하인츠 홉프와 그의 제자 빌리 리노우의 이름을 따서 1931년에 출판되었다.[1]
성명서
(M, g)가 연결된 리만 다지관이 되게 하라. 그렇다면 다음과 같은 진술이 동일하다.
- M의 폐쇄 및 경계 하위 집합은 소형이다.
- M은 전체 메트릭스 공간이다.
- M은 지질학적으로 완전하다. 즉, M의 모든 p에 대해 지수 지도 exp는p 전체 접선 공간 TM에p 정의된다.
더욱이, 위의 어느 하나라도 M에서 p와 q의 두 점을 주어, 이 두 지점을 연결하는 지오데틱을 최소화하는 길이가 존재함을 암시한다(지오데믹은 일반적으로 길이 기능에 임계점이 되며, 미니마일 수도 있고 아닐 수도 있다).
변동 및 일반화
- 홉프-리노우 정리는 다음과 같은 방법으로 길이-금속 공간에 일반화된다.
- 그 정리는 무한한 차원으로 유지되지 않는다: (Atkin 1975)는 무한 차원 완전한 힐버트 다지관의 두 지점이 지오데틱에 의해 연결될 필요가 없다는 것을 보여주었다.[2]
- 이 정리는 로렌츠 다지관에도 일반화되지 않는다: 클리프턴-폴 토러스(Clifton-Pohl torus)는 콤팩트하지만 완전하지는 않은 예를 제공한다.[3]
메모들
- ^ Hopf, H.; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche". Commentarii Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. doi:10.1007/BF01601813. hdl:10338.dmlcz/101427.
- ^ Atkin, C. J. (1975), "The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions" (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261–266, doi:10.1112/blms/7.3.261, MR 0400283[dead link].
- ^ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570.
참조
- Jürgen Jost (28 July 2011). Riemannian Geometry and Geometric Analysis (6th Ed.). Universitext. Springer Science & Business Media. doi:10.1007/978-3-642-21298-7. ISBN 978-3-642-21298-7. 섹션 1.7을 참조하십시오.
- Voitsekhovskii, M. I. (2001) [1994], "Hopf-Rinow theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press