홉-리노 정리

Hopf–Rinow theorem

홉프-리노우 정리(Hopf-Rinow organization)는 리만 다지관지질학적 완전성에 관한 일련의 진술이다. 하인츠 홉프의 제자 빌리 리노우의 이름을 따서 1931년에 출판되었다.[1]

성명서

(M, g)가 연결된 리만 다지관이 되게 하라. 그렇다면 다음과 같은 진술이 동일하다.

  1. M폐쇄경계 하위 집합은 소형이다.
  2. M전체 메트릭스 공간이다.
  3. M은 지질학적으로 완전하다. 즉, M의 모든 p에 대해 지수 지도 exp는p 전체 접선 공간 TM에p 정의된다.

더욱이, 위의 어느 하나라도 M에서 pq의 두 점을 주어, 이 두 지점을 연결하는 지오데틱을 최소화하는 길이가 존재함을 암시한다(지오데믹은 일반적으로 길이 기능임계점이 되며, 미니마일 수도 있고 아닐 수도 있다).

변동 및 일반화

메모들

  1. ^ Hopf, H.; Rinow, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche". Commentarii Mathematici Helvetici. 3 (1): 209–225. doi:10.1007/BF01601813. hdl:10338.dmlcz/101427.
  2. ^ Atkin, C. J. (1975), "The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions" (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261–266, doi:10.1112/blms/7.3.261, MR 0400283[dead link].
  3. ^ O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570.

참조