부피 양식

수학에서 부피형식이나 상위차원형식은 다변성 다지관과 같은 정도의 차등형이다.따라서 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에서 볼륨 형식은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 형식이다$.$It is an element of the space of sections of the line bundle ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$, denoted as ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$. A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable.방향성 다지관은 볼륨 폼에 함수를 곱하면 또 다른 볼륨 폼이 생성되기 때문에 무한히 많은 볼륨 폼을 가지고 있다.방향성이 없는 다지관에서는 밀도의 약한 개념을 대신 정의할 수 있다.

체적 형태는 상이한 다지관의 함수의 적분을 정의하는 수단을 제공한다.즉, 볼륨 형식은 적절한 르베그 적분으로 어떤 기능을 통합할 수 있는지에 관한 측정을 발생시킨다.볼륨 폼의 절대값은 볼륨 요소로서, 트위스트 볼륨 폼이나 사이비 볼륨 폼으로도 다양하게 알려져 있다.또한 측정치를 정의하지만, 방향성 또는 방향성이 없는 다른 다지관에 존재한다.

Kahler 다지관은 복잡한 다지관으로서 자연적으로 방향을 잡아 볼륨 형태를 가지고 있다.보다 일반적으로, 복합 다지관에 있는 복합체 형태의 외부 파워 n ${\displaystyle n}$은 체적 형태다.다지관의 많은 등급은 표준적인 볼륨 형식을 가지고 있다. 즉, 선호되는 볼륨 형식을 선택할 수 있는 추가적인 구조를 가지고 있다.지향적인 사이비-리만 다양체는 연관된 표준적 볼륨 형식을 가지고 있다.

오리엔테이션

다음은 서로 다른 다지관의 방향성에 관한 것일 뿐이다(위상학적 다지관에 정의되어 있는 보다 일반적인 개념이다).

다지관은 모든 전환 기능이 긍정적인 Jacobian 결정요인을 갖는 좌표 지도책을 가지고 있다면 방향을 잡을 수 있다.이러한 최대 지도책자의 선택은 $M{\displaystyle }$$.$ ${\displaystyle$ $M.}$ $M$의 볼륨$$ 형식 $\Omega {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\omega }$이(가) $\Omega {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle M}$의 좌표 차트를 t의 양의 배수로 $보내는$ M {\displaystystyle \$omega }$이(가)의 좌표책자처럼 자연스러운 방향으로 나타난다$$.He cryfridean volume $form{\displaystyle }$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$. ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$$}$

볼륨 형식은 $또한{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$. ${\displaystyle M.}$에서 선호하는 프레임 클래스의 사양을 허용한다. 만약 다음과 같은 경우 접선 벡터$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(X_{1},\ldots, X_{n})$의 기준을 오른손잡이$$ 호출한다$$.

모든 오른손잡이 프레임의 수집은 $양$의 결정 $인자$를 가진 n ${\displaystyle$$\mathrm$ {$GL}$$$$^{+}(n)}$ 그룹의 ${\displaystyle {\mathrm{일반}}^{}}$ 선형 매핑에 의해 수행된다.They form a principal ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ sub-bundle of the linear frame bundle of ${\displaystyle M,}$ and so the orientation associated to a volume form gives a canonical reduction of the frame bundle of ${\displaystyle M}$ to a sub-bundle with structure group ${\displaystyle {\mathrm{G}\mathrm{L}}^{+}(n).}$${\displaystyle \mathrm {GL}^{+}(n).$$}$ {\displaystyle M${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$GL} ^{+}(n)}$ -구조가 $M{\displaystyle .}${\$displaystyle M.}$인 프레임을 고려한다면 분명히 더 많은$$ 감소가 가능하다.

$\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\right)=1.}$

(1)

따라서 볼륨 형식은 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ 구조도$$ 생성한다.반대로 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ - 구조의$$ 경우, 특수 선형 프레임에 (1)을 부과한 다음, 그 인수에 동질성을 요구하여$$ 필요한 $n{\displaystyle }$ ${\displaysty n}$ -form$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaysty \omega$}에 대한 해결을 통해 볼륨 폼을 복구할 수 있다.

다지관은 체적 형태가 있는 경우에만 방향을 잡을 수 있다.Indeed, ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ is a deformation retract since ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ where the positive reals are embedded as scalar matrices.Thus every ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$-structure is reducible to an ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$-structure, and ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$-structures coincide with orientations on ${\displaystyle M.}$ More concretely, triviality of the determin개미다발 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \Oomega ^{n}(M)}$은 방향성과 동일하며$$, 라인다발은 비반사 섹션이 있는 경우 및 없는 경우에만 사소하다.따라서 볼륨 형태의 존재는 방향성과 동등하다.

조치 관련

방향 다지관에 볼륨$$ 형식이 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$인 경우, 밀도 ${\displaystyle \Omega }$ $displaystyle \omega }$은 방향을 잊어버려 얻은 비방향 다지관의 볼륨 유사 형태다$$.밀도는 또한 방향성이 없는 다지관에서 더 일반적으로 정의될 수 있다.

모든 볼륨 유사 폼 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}($$따라서 모든 볼륨 형식)은 Borel 집합에 대한 측정값을 다음과 같이 정의한다.

차이점은 측정치가 (Borel) 부분 집합에 걸쳐 통합될 수 있지만, 볼륨 형식은 지향적인 셀을 통해서만 통합될 수 있다는 것이다.In single variable calculus, writing ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ considers ${\displaystyle dx}$ as a volume form, not simply a measure, and ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ indicates "integrate over the cell ${\displaystyle [a,b]}$ with 반대 방향, 때로는${\displaystyle \stackrel{}{}}$[ ${\displaystyle \stackrel{}{a,}}$ $]{\$로 표시되기도 한다.$$

또한 일반적인 측정은 연속적이거나 매끄러울 필요가 없다. 측정값은 볼륨 형태로 정의될 필요가 없으며, 더 공식적으로 지정된 볼륨 형태와 관련된 라돈-니코디엠 파생상품이 절대적으로 연속적일 필요는 없다.

발산

$M{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ M$,}$에 볼륨 형식 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$$}$을(를) 지정하면$$ 벡터 $필드{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$X}의 분산을${\displaystyle \mathrm{div}X}$ ,${div}을$$($를) 만족하는 고유한 스칼라 값 함수로 정의할$$ 수 있다.

여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $X{\displaystyle and}$ Ω ${\displaystyle$ X$\mathbin {\!$$\lcorner$}$\omega }$은(는) $내부{\displaystyle }$ 제품 또는$$ X를 따라$\Omega {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $\omega$}의 왼쪽 수축 상태를 나타냄$$$.$ 만약 $X$ ${\\\displaystyle$ $X$$}$이(가) 콤팩트하게 지원되는 벡터 $필드$이고 M$${\$displaystyle$ X$}$이 경계를 가진 다지라면 스톡스의 정리를 암시한다.그것은 발산 정리의 일반화다.

솔레노이드 벡터 필드는 ${\displaystyle \mathrm{div}}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$ 볼륨 형식이 솔레노이드 벡터 필드의 흐름 하에서 보존되는 것은 Lie 파생 모델의 정의에 따른 것이다$$.따라서 솔레노이드 벡터 장은 정확하게 부피 보존 흐름을 갖는 것이다.예를 들어, 속도장의 분산이 유체의 압축성을 측정하는 유체 역학에서 이 사실은 잘 알려져 있으며, 이는 유체의 흐름을 따라 부피가 보존되는 정도를 나타낸다.

특례

거짓말 그룹

모든 Lie 그룹의 경우, 자연적 볼륨 형식은 번역에 의해 정의될 수 있다.즉, $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$가${\displaystyle {isn}^{}}$ T ${\displaystyle e_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge}^{n}$의 요소인 경우$T_{e}^{*}G,}$ 그러면$$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$= L ${\displaystyle {g{}^{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {1^{}}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$, ${\displaystyle \omega _{g}=$로 정의될 수 있다.$L_{g^{-1}^{*}\omega _{e}}$ 여기서$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$은(는) 좌번역이다.모든 거짓말 집단은 진퇴양난으로 방향을 잡을 수 있다.이 부피 형태는 스칼라까지 고유하며, 이에 상응하는 척도를 하아 척도라고 한다.

심플렉틱 다지관

모든 공감각 다지관(또는 실제로 거의 모든 공감각 다지관)은 자연적인 체적 형태를 가지고 있다.$만일{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M$}이$$(가$)$ $\Omega {\displaystyle }$, ${\displaystyle \omega ,}$의 동시선택형 형식을 $가진{\displaystyle \mathrm{}}$ $2n${\$displaystyle$ \omega ^{n$}$의 치수$$ 다지관이라면, ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ n ${\$ ^{n}}은 동일선택형식의 비발생성으로 인해 0이 아니다$$.코롤러리로서, 모든 공감각 다지관은 방향을 잡을 수 있다(실제, 방향).만약 다지관이 동정심과 리만어인 경우, 그 두 권의 형태는 다지관이 케흘러인 경우에 일치한다.

리만어 볼륨 형식

어떤 지향적인 사이비-리만니아어(리만니아어 포함) 다지관은 자연적인 볼륨 형태를 가지고 있다.국부좌표에서는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$는 다지관의 등탄성 번들에 대해 양방향의 기초를 형성하는 1-11이다.여기서 ${\displaystyle g}$ $displaystyle$g$}$은(는) 다지관측 미터법 텐서의 행렬 표현 결정요인의 절대값이다.

볼륨 형식은 다음과 같이 다양하게 표시된다.

여기서 $⋆{\$은(는) 호지별이므로 마지막 형태인 $\star {\displaystyle }$(${\displaystyle }$1 )${\displaystyle }$,$${\$displaystyle$ {\$star }($1)는 볼륨형식이 다지관 상수도의 호지 듀얼이며, 이는 레비-시비타 텐서 $.{\displaysty \varpsilon}$과 동일하다는 것을$$ 강조한다.

그리스 문자 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 볼륨 형태를 나타내는 데 자주 사용되지만$$, 이 표기법은 범용적이지 않다. $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ 기호는 종종 차등 기하학(동감형 형태)에서 다른 많은 의미를 가진다.

볼륨 형식의 불변성

부피 형태는 고유하지 않으며, 다음과 같이 다지관의 비 바니싱 기능에 대한 토스터를 형성한다.Given a non-vanishing function ${\displaystyle f}$ on ${\displaystyle M,}$ and a volume form ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle f\omega }$ is a volume form on ${\displaystyle M.}$ Conversely, given two volume forms ${\displaystyle \omega ,\omega ',}$ their ratio is a non-van이싱 함수(동일한 방향을 정의하는 경우 양수, 반대 방향을 정의하는 경우 음수).

좌표에서 둘 다 단순히 0이 아닌 함수 시간인 르베그 측정값이며, 그 비율은 좌표 선택과 무관한 함수 비율이다.본질적으로 $\Omega {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \omega.}$에 관하여$$ $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ Ω ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$.}의 라돈-니코디엠 파생상품이다. 지향적인 다지관에서는$$ 어떤 두 볼륨 형태의 비례성을 라돈-니코디엠 정리의 기하학적 형태로 생각할 수 있다.

로컬 구조 없음

다지관의 볼륨 폼은 유클리드 공간의 볼륨 형태(코바야시 1972년)와 주어진 볼륨 형태를 구별하기 위해 작은 오픈 세트에서는 불가능하다는 의미에서 국부 구조가 없다.That is, for every point ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle M,}$ there is an open neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle p}$ and a diffeomorphism ${\displaystyle \varphi }$ of ${\displaystyle U}$ onto an open set in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ such that the$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 볼륨 폼은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ⋯ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle d^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$dx^{$1}\wedge \cdots \wedge$dx^{n$$$}}}$의 풀백이다${\displaystyle .}$ ${\displaysty \varphi .}$

As a corollary, if ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are two manifolds, each with volume forms ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},}$ then for any points ${\displaystyle m\in M,n\in N,}$ there are open neighborhoods ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle m}$$$ $및{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과(와) 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ V ${\displaystyle f:$$U\to V}$ such that the volume form on ${\displaystyle N}$ restricted to the neighborhood ${\displaystyle V}$ pulls back to volume form on ${\displaystyle M}$ restricted to the neighborhood ${\displaystyle U}$: ${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\ver$$t _{U}}}$

한 차원에서는 다음과 같이 증명할 수 있다: $R$에 볼륨$$ 형식 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$${\displaystyle \},}${\$displaystyle \mathb {R},}$이(가) 정의된다.

Then the standard Lebesgue measure${\displaystyle dx}$pulls back to ${\displaystyle \omega }$ under ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle \omega =f^{*}dx.}$ Concretely, ${\displaystyle \omega =f'\,dx.}$ In higher dimensions, given any point ${\displaystyle m\in M$$,}$ $R$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1,${\displaystyle \mathb {R} \time \mathb {R} ^{n-1}$에 로컬로 동형인 근방이 있으며, 동일한$$ 절차를 적용할 수 있다.

글로벌 구조: 볼륨

A volume form on a connected manifold ${\displaystyle M}$ has a single global invariant, namely the (overall) volume, denoted ${\displaystyle \mu (M),}$ which is invariant under volume-form preserving maps; this may be infinite, such as for Lebesgue measure on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ On a discon과즙 다지관, 연결된 각 구성 요소의 부피는 불변성 물질이다.

$기호$에서 f :${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle f:$$M\to N}$은(는) Ω N ${\$를 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$으로${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \omega_{M}}}$을(를) 다시 ${\displaystyle {\Omega }_{}}$으로 당기는 다지관의 동형이다.

그리고 다지관의 부피는 같다.

피복 형태는 커버 맵 아래에서도 다시 당겨질 수 있으며, 이 경우 피복체는 피복체의 카디널리티에 의해 체적을 곱한다(형식적으로는 피복재를 따라 통합됨).무한 시트 커버($R{\displaystyle \mathbb{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$등)$$의 경우 유한 볼륨 매니폴드의 볼륨 폼이 무한 볼륨 매니폴드의 볼륨 폼으로 다시 당겨진다.

참고 항목

• 원통형 좌표계 § 선 및 체적 요소
• 측정(수학) – 질량, 길이, 면적 및 부피의 일반화
• 푸앵카레 메트릭은 복잡한 평면에서 볼륨 폼의 검토를 제공한다.
• 구형 좌표계 § 구형 좌표에서의 통합과 분화

참조

• Kobayashi, S. (1972), Transformation Groups in Differential Geometry, Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337.
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.