우르세스쿠 정리

수학에서 특히 기능 분석과 볼록 분석에서 우르세스쿠 정리는 닫힌 그래프 정리, 오픈 맵핑 정리, 균일한 경계 원리를 일반화하는 정리다.

우르세스쿠 정리

다음과 같은 표기법과 관념을 사용하며, 여기서 ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ : ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ Y ${\displaystyle$ {\ $mathcal {\R}:X}\rightarrows Y}$ 은 ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ 다중값 함수, $S$ $S$ 은 위상 벡터 공간 $X$ ${\displaysty X}$ 의 비어 있지 않은 부분 집합이다 $S$ $X$

S $S$ 의 어핀 스팬은 $\operatorname {aff} S$ S $\operatorname {aff$ S $},$ 선형 $S$ $\operatorname {aff} S$ 스팬은 $\operatorname {span} S.$ $\operatorname {span} S.$ ${\displaysty \operatorname {span}$ S $.}$ 로 $\operatorname {span} S.$ 된다.
${\displaystyle$ $=\operatorname {aint} _{X}S}$ 는 $S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S$ X. $X$ 에서 $S$ S $S$ 의 대수적 내부를 가리킨다.
${\displaystyle {}^{i}S:$ $=\$ $operatorname {aint}$ $_$ ${\$ $operatorname {aff}($ $S-S)}$ $S}$ S}은 ${}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (S-S)}S$ ( $S$ 는) $\operatorname {aff} (S-S)$ $⁡($ - $\operatorname {aff} (S-S)$ ${\displaystyle$ S $}$ 의 $S$ 상대 $대수적$ 내부를 $S$ 한다.
${\displaystyle {}^{ib}S:$ $={}^{$ $i}$ $S}$ $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ - $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ 0 $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ ) ${\$ ${0}\$ $right$ $})$ 이 $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ $s_{0}\in S$ 의 일부 $s_{0}\in S$ s에 $대해$ barlelaring되는 경우 ${}^{ib}S:={}^{i}S$ $s_{0}\in S$ i ${}^{ib}S:=\varnothing$ ${}^{ib}S:=\varnothing$ ${}^{ib}S:=\varnothing$ ${\displaystylease$ {\{0} $s$ s}: $=\var$ nothing $}$ 그렇지 ${}^{ib}S:=\varnothing$ 않으면.
- If $S$ is convex then it can be shown that for any $x\in X,$ $x\in {}^{ib}S$ if and only if the cone generated by $S-x$ is a barreled linear subspace of $X$ or equivalently, if and only if $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ ( $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ - $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ ) $\cup _{n\in \mathb {N} }n(S-x)$ 은(는) $X$ $X$ 의 바레일 선형 하위 공간이다 $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ .
${\mathcal {R}}$ ${\$ { $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ $}$ 의 도메인은 $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ { $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ X $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ : $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ ( $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ ) $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ ∅ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ ∅ $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$ } . ${\displaysty \operatorname {Dom} {\mathcal$ {R}:=\x $\in$ X $}{\$ mathcal { $R}}\neq(x)\varnotharnothan \$ varnothannothothothothothothothothothothothothothothot $}$
${\mathcal {R}}$ ${\$ 의 ${\mathcal {R}}$ 이미지는 $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ R $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ ∈ x $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ ( $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ ) $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ . ${\displaystyle \operatorname {im}{\r}:=\cup$ X $}{$ x\ $mathcal {R}}}}.$ $}}$ A $A\subseteq X,$ $A\subseteq X,$ , ${\displaystyle A\subseteq$ X $,}$ $A\subseteq X,$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ( A ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ) := ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ R ( ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ ) ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$ . ${\displaystyle {\mathcal$ {R $}(A):$ $=\cup _{x\in A}{\mathcal{R}}(x).$ $}$
The graph of ${\mathcal {R}}$ is ${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ $}$
${\mathcal {R}}$ $X\times Y.$ {\ $displaystyle {\mathcal {R}$ 의 그래프가 X $X\times Y.$ $X\times Y.$ $X\times Y.$ 에서 ${\mathcal {R}}$ 닫히면 R ${\$ {\ $mathcal {R}}$ 은(존중, 볼록) 닫힌다 ${\mathcal {R}}$ .
- Note that ${\mathcal {R}}$ is convex if and only if for all $x_{0},x_{1}\in X$ and all $r\in [0,1],$ ${\displaystyle r{\mathcal {R}}\$ $왼쪽(x_{0}\오른쪽)++(1-r){\mathcal {R}\왼쪽(x_{1}\오른쪽)\subseteq {\mathcal {R}\reft(rx_{0}+(1-r)x_{1}\오른쪽).$ $}$
${\mathcal {R}}$ ${\$ 의 역행은 ${\mathcal {R}}$ 다기능 ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ - ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ : ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ ⇉ ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ ${\displaystyle {\mathcal{R}^{-1}:$ ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ - ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ ( ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ ) ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ { $x x$ ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ $X$ ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ : y ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ R ( ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ ) ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ . ${\displaystyle {\mathcal{R}^{-1}(y):$ $=\{x\in X:y\in {\mathcal$ { $B\subseteq Y,$ $}(x)\}.}$ $B\subseteq Y,$ 집합 B $B\subseteq Y,$ ${\displaystyle B\subseteq$ Y $,}$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ - 1 ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ ) ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ = ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ - ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ ) ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$ . ${\displaystyle {R}^{-1$ }:{-1 $(B):$ $=\cup _{y\in B}{\mathcal{R}^{-1}(y)$ $}$
- $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ 이(가) 함수인 $f:X\to Y$ 경우 그 역은 $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ f $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ - $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ : $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ ${\displaystyle$ f $^{-1}:$ 다기능 $f:X\rightrightarrows Y$ 를 사용하여 $f$ $f$ 으로f {\ $displaystyle$ f}을(를) 식별하여 $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ $얻은$ $f:X\rightrightarrows Y$ Y $\rightarrow X$ $f:X\rightrightarrows Y$ $x\mapsto \{f(x)\}.$ $f:X\rightrightarrows Y$ ↦ Y ${\displaystyle f:X\rightarrows$ Y $}.$ $x\mapsto \{f(x)\}.$ { $x\mapsto \{f(x)\}.$ x $displaysty$ x\ $mapstore \{f(x)\}.$ $}$
$\operatorname {int} _{T}S$ $\operatorname {int} _{T}S$ $\operatorname {int} _{T}S$ $\operatorname {int} _{T$ 은 $($ 는) $T$ , {\ $displaystyle T,$ 여기서 $T,$ $display$ T . {\ $displaystyle$ S\subseteq $T.}$ 에 대한 $S$ $S$ ${\$ $displaystystystyle$ S $}$ 의 위상학적 내부이다 $\operatorname {int} _{T}S$ .
$\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ S := $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ int S $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $\operatorname {rint$ S $:=\operatorname {aff} _{\operatorname$ {aff} $S}$ 는 $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ $S$ $\operatorname {aff} S.$ $\operatorname {aff} S.$ ${\displaysty \operatorname {aff}S}$ 의 내부.

성명서

$X$ (Ursescu) — X $X$ 을(를) 완전한 반메트리블 국소 볼록 위상 벡터 공간이 되게 $X$ ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ , ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ R : ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ Y ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ {\ $displaystyle {\mathcal {R}:X\rightarrows Y}$ 은 비어 있지 않은 영역을 가진 폐쇄 볼록 다기능이다 ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ .Assume that $\operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)$ is a barrelled space for some/every $y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ Assume that ${\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathca$ $l {R}})}$ and let $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)$ (so that $y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)$ ).Then for every neighborhood $U$ of $x_{0}$ in $X,$ $y_{0}$ belongs to the relative interior of ${\mathcal {R}}(U)$ in ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\ma$ $thcal {R}}}($ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ , y $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ ( $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ R $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ ) $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ aff R ( $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $){\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff}(\operatorname {Im} {R}){\mathcal$ { $R(U)}).$ In particular, if ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing$ then ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operato$ $rname {Im} {\mathcal {R}).$ $}$

코롤러리

닫힌 그래프 정리

닫힌 그래프 정리 — $X$ ${\displaystyle$ X $}$ $Y$ Y $Y$ 을(를) 프리쳇 공백으로 $Y$ 하고 $T:X\to Y$ : $T:X\to Y$ → $T:X\to Y$ $T:X\to Y$ 을(를) 선형 지도로 한다 $T:X\to Y$ . $그런$ $다음$ T {\ $displaystyle T}$ 의 $T$ 그래프가 $X\times Y.$ $X\times Y.$ Y $X\times Y.$ . {\ $displaystyle$ X\ $time Y.}$ 에서 닫힌 경우에만 T ${\displaystyle$ T $}$ 이(가) 연속적이다 $T$ .

증명

비교표시 방향의 경우, $T$ $T$ 의 그래프가 닫혔다고 $T$ 가정하고 ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ - ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ : ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ . ${\displaystyle {\mathcal {R}:$ $=T^{-1}:$ $Y\rightrightarrows X.}$ It is easy to see that $\operatorname {gr} {\mathcal {R}}$ is closed and convex and that its image is $X.$ Given $x\in X,$ $(Tx,x)$ belongs to $Y\times X$ so that for every $Y$ , ${\displaystyle$ Y $,}$ $Y,$ ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ ) ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ = ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ - ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ ${\displaystyle {\mathcal{R}(V)=$ 의 $Tx$ T $x$ ${\displaystystyle Tx}$ 의 $V$ V ${\displaystystystyle V}$ $T^{-1}(V)}$ 은 ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ (는) $X$ . $X.$ 에 $x$ 있는x {\ $displaystyle$ x.}의 $X.$ 인접 지역이므로 $T$ ${\displaystyle T$ $}$ 은 $T$ $($ 는) x. ${\$ $displaystyle$ x $x.$ $\blacksquare$ 에 연속되어 $\blacksquare$ 있음

균일경계원리

균일한 경계성 원리 — $X$ ${\displaystyle$ X $}$ $및$ Y $X$ $Y$ 을(를) 프레셰 $T:X\to Y$ 으로 $Y$ $T:X\to Y$ 하고 $T:X\to Y$ : $T:X\to Y$ → $T:X\to Y$ Y {\ $displaystyle T:X\to$ Y}을(를 $)$ 편향 선형 지도로 한다 $T:X\to Y$ . $T^{-1}:Y\to X$ $T$ 은(는) $T^{-1}:Y\to X$ - 1 $T^{-1}:Y\to X$ : $T^{-1}:Y\to X$ → $T^{-1}:Y\to X$ $T^{-1$ 인 $경우$ 에만 연속적이다 $T$ . $Y\to$ X $}$ 은 $T^{-1}:Y\to X$ (는) 연속이다.더욱이 $T$ $T$ 이(가) 연속이라면 $T$ $T$ $T$ 은 $T$ 프레셰트 공간의 이형성이다.

증명
닫힌 그래프 정리를 $T$ $T$ 및 $T$ $T^{-1}.$ - 1 $T^{-1}.$ . $T^{-1$ 에 적용한다. $}$ ${\$

오픈 맵핑 정리

개방형 매핑 정리 — $X$ $X$ $및$ Y $X$ $Y$ 을(를) 프리쳇 공백으로 $Y$ 하고 $T:X\to Y$ : X $T:X\to Y$ → $T:X\to Y$ ${\displaystyle T:X\to$ Y $}$ 을(를) 연속적인 과부하 선형 맵으로 한다 $T:X\to Y$ .그렇다면 T는 오픈 맵이다.

증명

Clearly, $T$ is a closed and convex relation whose image is $Y.$ Let $U$ be a non-empty open subset of $X,$ let $y$ be in $T(U),$ and let $x$ in ${\displaystyle U$ $}}$ $y=Tx.$ = $y=Tx.$ x $y=Tx.$ . ${\displaystyle$ y $=Tx.}$ Ursescu 정리에서 $y=Tx.$ $T(U)$ ( $T(U)$ ) ${\displaystyle$ $T$ $(U)}$ 은 $T(U)$ $y$ . ${\$ displaystyle y.} $y.$ $\blacksquare$ $}$ ${\displaystystyle \blacksquare }$ 의 근린데 따른 것이다 $U$ .

추가 Corolar(Corolaries)

다음 표기법 및 개념은 이러한 관점에 사용된다. ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ 서 R ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ : ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ ⇉ Y ${\mathcal {R}:X\rightarrows Y$ 은 다기능이고 ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ S ${\displaystyle$ $S}$ 은 위상 벡터 공간 $X$ ${\\displaysty$ X}의 비어 있지 않은 부분 집합이다 $S$ $X$

a convex series with elements of $S$ is a series of the form $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}$ where all $s_{i}\in S$ and $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1$ is a series of non-negative numbers. If $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}$ converges then the series is called convergent while if $\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is bounded then the series is called bounded and b-convex.
$S$ $S$ 원소의 수렴 b-콘벡스 시리즈가 $S .$ $S.$ 에 합이 있으면 $S$ S ${\$ displaystyle S} 이상적으로 볼록하다 $S$ .
$S$ $S$ 이 $S$ (가) $X\times Y.$ $X\times Y.$ $X\times Y.$ 의 일부 이상 볼록 부분 집합 B의 $X$ X ${\$ $displaystyle X}$ 에 대한 투영과 같도록 $Y$ Frechet $공간$ Y $Y$ 이(가) 있는 경우 이상적으로 $X\times Y.$ 볼록이 낮다 $S$ $.$

Corollary — $X$ $X$ 을(를) 먼저 계산할 수 있는 공간으로 $C$ C $C$ 을(를 $)$ $X$ . ${\displaystyle X$ 의 하위 집합으로 설정한 $C$ 다음 $X.$ :

$C$ $C$ 이 $C$ (가) 이상적으로 볼록한 경우 $C^{i}=\operatorname {int} C.$ $C^{i}=\operatorname {int} C.$ = $C^{i}=\operatorname {int} C.$ $C^{i}=\operatorname {int} C.$ . ${\displaystyle$ C $^{i}=\operatorname {int}$ C $.}$
If $C$ is ideally convex then ${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.$ $}$

관련 정리

시몬스의 정리

시몬스의 정리^[2] — $X$ $X$ 과 $X$ $Y$ $Y$ 을 $Y$ (를) 먼저 $X$ $X$ 로컬 $X$ 볼록으로 계산할 수 있게 한다. ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ : ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ ${\displaystyle {\mathcal {R}:X$ }: $X\오른쪽$ 화살표 Y $}$ 이(가) 조건을 ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ 만족하는 비어 있지 않은 도메인을 가진 멀티맵이라고 가정하거나, $그렇지$ 않으면 X {\ $displaystyle$ X}이 $($ 가) 프리쳇 공간이고 R $X$ ${\$ { $R}$ 이 ${\mathcal {R}}$ $({$ R}보다 낮다고 가정한다.Assume that $\operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)$ is barreled for some/every $y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ Assume that $y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ $y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ 그리고 x $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ - $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ ( $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ ) $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ . ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal{R}}^{-1}\왼쪽(y_{0}\right)$ 으로 두십시오. $}$ Then for every neighborhood $U$ of $x_{0}$ in $X,$ $y_{0}$ belongs to the relative interior of ${\mathcal {R}}(U)$ in ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {$ $\mathcal {R}}}($ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ : $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ 0 $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ int $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ aff $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ ) $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ ( $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$ ) ${\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff}(\operatorname {Im}{\mathcal{R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{mathcal$ {mathcal ${R(U)}}}}}}}}}}}}$ In particular, if ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing$ then ${\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operato$ $rname {Im} {\mathcal {R}).$ $}$

로빈슨-우르세스쿠 정리

다음 정리에서의 함축 (1) $\implies$ ${\$ implies }}(2)를 로빈슨-우르세스쿠 정리라고 한다.^[3]

Robinson–Ursescu theorem^[3] — Let $(X,\ \,\cdot \,\ )$ and $(Y,\ \,\cdot \,\ )$ be normed spaces and ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ be a multimap with non-empty domain.Suppose that $Y$ is a barreled space, the graph of ${\mathcal {R}}$ verifies condition condition (Hwx), and that $(x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.$ Let $C_{X}$ (resp. $C_{Y}$ $C_{Y}$ ${\$ 는 $X$ ${\displaystyle X}($ resp)의 닫힌 단위 공을 나타낸다. $Y$ $Y$ (그러므로 $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ = $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ { x $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ X $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ : $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ 1 $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$ } ${\displaystyle C_{X}=\{x\in$ X $:\ \leq 1\}}).$ 그 후 다음과 같다.

$y_{0}$ $y_{0}$ ${\$ 은(는) $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ } R $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ . $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}}$ 의 대수적 내부에 속한다 $y_{0}$ .
$y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}\왼쪽(x_{0}+C_{X}\right)).$
$B>0$ $0\leq r\leq 1,$ $B>0$ $0\leq r\leq 1,$ $B>0$ $display$ 1, {\ $displaystyle$ 0 $leq$ r $\leq$ 1 $,}$ $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ + B r $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ ( $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ 0 $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ + $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ X ) $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$ . ${\displaysty y_{0}+BrC_{\$ displaystystyle B $>0}$ 이 $B>0$ 있다. $Y}\subseteq {\mathcal {R}\왼쪽($ $}$
모든 $x\in x_{0}+AC_{X}$ $x\in x_{0}+AC_{X}$ $x\in x_{0}+AC_{X}$ $x\in x_{0}+AC_{X}$ + A $x\in x_{0}+AC_{X}$ ${\$ 에 $B>0$ 대해 $A>0$ > $A>0$ ${\$ displaystyle $A>0}$ 과 $A>0$ $B>0$ > $B>0$ $B>0$ 이(가) 있다. $AC_{X}}$ 및 $x\in x_{0}+AC_{X}$ 모든 $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ + $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ ${\displaystyle$ y $\in y_{0}+$ $AC_{Y}},}$ $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ - $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ( y $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ) $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ) $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ( $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ( $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ ) . ${\displaystyle d\\left(x,$ {\ $mathcal {R}^{R$ }}^{-1 $}(y)\leq B\cdot d(y,$ ${$ R}, { $R})(x)).$ $}$
$y\in y_{0}+BC_{Y},$ $x\in X$ { $x\in X$ X {\ $displaystyle$ $x$ $\$ in $x\in X$ X} 및 모든 $y\in y_{0}+BC_{Y},$ $y\in y_{0}+BC_{Y},$ $y\in y_{0}+BC_{Y},$ + B $y\in y_{0}+BC_{Y},$ $y\in y_{0}+BC_{Y},$ ${\displaystyle y\in y_{0}+$ 에 $B>0$ 대해 B $B>0$ > $B>0$ {\displaystyle y_{0}}+이 있다. $BC_{Y},}$ ${\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\ x-x_{0}\right\ }{B-\left\ y-y_{0}\right\ }}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$ $}$

참고 항목

닫힌 그래프 정리 – 연속성과 그래프에 관련된 정리
폐쇄 그래프 정리(기능분석) – 연속성 추론을 위한 정리
개방형 매핑 정리(기능분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건
프리셰트 공간의 추리 - 추리성의 특성
균일한 경계성 원리 – 점근 경계성이 균일한 경계성을 내포한다는 것을 나타내는 정리
웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간

메모들

^ Zălinescu 2002, 페이지 23. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZlineslinescu2002(도움말
^ Zălinespu 2002, 페이지 22-23. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZzlinespu2002(도움말)
^ ^a ^b Zălinescu 2002, 페이지 24. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZlineslinescu2002(도움말

참조

Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.
Baggs, Ivan (1974). "Functions with a closed graph". Proceedings of the American Mathematical Society. 43 (2): 439–442. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN 0002-9939.

[FOOTNOTEZălinescu200223-1] Zălinescu 2002, 페이지 23. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZlineslinescu2002(도움말

[FOOTNOTEZălinescu200222-23-2] Zălinespu 2002, 페이지 22-23. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZzlinespu2002(도움말)

[FOOTNOTEZălinescu200224-3] Zălinescu 2002, 페이지 24. sfn 오류: 대상 없음: CATEREFZlineslinescu2002(도움말

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v t 볼록 분석 및 변동 분석
주제(목록)	초케 이론 볼록 기하학 볼록 최적화 이중성 라그랑주 승수 레전드르 변환 국소 볼록한 위상 벡터 공간 심플렉스
지도	볼록 결합 오목한 (폐쇄) K- 로그로 적절한 사이비- 준-) 볼록함수 인벡스 함수 레전드르 변환 반연속성 하위생성
주 결과(목록)	에클랜드의 변이 원리 펜첼-모로우 정리 펜첼영 부등식 젠센의 부등식 헤르미트-하다마드 부등식 크레인-밀만 정리 마주르의 보조정리 샤플리-폴크만 보조정리 로빈슨우르세스쿠 시몬스 우르세스쿠
놓다	볼록 선체 (Pseudo-) 볼록 세트 유효 도메인 비문 하이포그래프 존 타원체 조노토프
시리즈	볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx)
이중성	이중 시스템 이중성격차 강한 이중성 약한 이중성

v t 위상 벡터 공간(TV)
기본개념	바나흐 공간 연속 선형 연산자 함수 힐베르트 공간 선형 연산자 국소 볼록한 공간 동형성 위상 벡터 공간 벡터 공간
주요 결과	앤더슨-케이덱 정리 바나흐-알라오글루 정리 닫힌 그래프 정리 F. 리에스의 정리 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 벡터 값 한-바나흐) 개방형 매핑(Banach-Schauder)(경계 반전) 균일 경계(Banach-Steinhaus)
지도	거의 열려 있음 이린린(형식) 연산자) 및 Sesquilinar 형식 닫힌 콤팩트 연산자 연속 및 불연속 선형 지도 조밀하게 정의됨 동형성 함수 규범 연산자 세미놈 하위선형 전치하다
세트 종류	절대 볼록/디스크 흡수/방사선 아핀 균형/순환 디스크 배너치 경계점 경계 보완된 하위 공간 볼록스 볼록콘(하위 세트) 선형 원뿔(하위 세트) 극한점 사전 계산/완전 경계 퍼머드/샤이 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭
작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 볼록 선체 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
TV의 종류	아스플룬드 B-완전/P탁 바나흐 (카운트) 바렐라 BK-공간 (울트라-) 태생학 브레이너 완성하다 편리한 (DF)-공간 특출신 F-공간 FK-AK 공간 FK-공간 프레셰트 (테메 프레셰트) 그로텐디크 힐베르트 엽기적인 보간공간 K-공간 LB-공간 LF-공간 국소 볼록한 공간 맥키 (사이비도)메트리저블 몬텔 콰시바라드 준완전 콰시노르메드 (폴리노멀리) 반)반사성 리에츠 슈워츠 반완전 스미스 고정관념 (B) 엄밀히 균일볼록스 (Quasi-) 초음파상 균일하게 매끈매끈함 웹베드 근사 특성 포함

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