우르세스쿠 정리
Ursescu theorem수학에서 특히 기능 분석과 볼록 분석에서 우르세스쿠 정리는 닫힌 그래프 정리, 오픈 맵핑 정리, 균일한 경계 원리를 일반화하는 정리다.
우르세스쿠 정리
다음과 같은 표기법과 관념을 사용하며, 여기서 : Y {\은 다중값 함수, 은 위상 벡터 공간 의 비어 있지 않은 부분 집합이다
- S 의 어핀 스팬은 S S 선형 스팬은 S로 된다.
- 는 X. 에서 S 의 대수적 내부를 가리킨다.
- S}은(는) - S의 상대 내부를 한다.
- - 0) 이 의 일부s에 barlelaring되는 경우 i {\{0}s}: nothing 그렇지 않으면.
- If is convex then it can be shown that for any if and only if the cone generated by is a barreled linear subspace of or equivalently, if and only if ( - ) 은(는) 의 바레일 선형 하위 공간이다.
- {의 도메인은 { X: () ∅∅} . {R}:=\x Xmathcal {varnothannothothothothothothothothothothothothothothot
- 의 이미지는 R ∈ x ( ). Xx\ A , X ( A) := R (). {R
- The graph of is
- {\의 그래프가 X 에서 닫히면 R {\은(존중, 볼록) 닫힌다 .
- Note that is convex if and only if for all and all
- 의 역행은 다기능 - : ⇉ - ( ) { : yR ( ) . { 집합 B Y - 1) = - ). }:{-1
- : → 이(가) 함수인 경우 그 역은 f- : f다기능 를 사용하여 으로f {\f}을(를) 식별하여 Y ↦ Y Y {x x\
- 은는) , {\ 여기서 T . {\ S\subseteq 에 대한 S의 위상학적 내부이다 .
- S := int S S{aff}는 의 내부.
성명서
(Ursescu) — X 을(를) 완전한 반메트리블 국소 볼록 위상 벡터 공간이 되게 ,R : Y{\은 비어 있지 않은 영역을 가진 폐쇄 볼록 다기능이다.Assume that is a barrelled space for some/every Assume that and let (so that ).Then for every neighborhood of in belongs to the relative interior of in , y ( R)aff R ( {In particular, if then
코롤러리
닫힌 그래프 정리
증명 |
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비교표시 방향의 경우, 의 그래프가 닫혔다고 가정하고 - : . It is easy to see that is closed and convex and that its image is Given belongs to so that for every, Y )= - 의 T 의 V 은 (는) . 에 있는x {\ x.}의 인접 지역이므로 은는) x. x에 연속되어있음 |
균일경계원리
균일한 경계성 원리 — X Y 을(를) 프레셰 으로하고 : →Y {\ Y}을(를 편향 선형 지도로 한다. 은(는) - 1: → 인 에만 연속적이다. X은 (는) 연속이다.더욱이 이(가) 연속이라면 은 프레셰트 공간의 이형성이다.
증명 |
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닫힌 그래프 정리를 및 - 1. 에 적용한다. |
오픈 맵핑 정리
증명 |
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Clearly, is a closed and convex relation whose image is Let be a non-empty open subset of let be in and let in = x. y Ursescu 정리에서 () 은 . displaystyle y.} 의 근린데 따른 것이다. |
추가 Corolar(Corolaries)
다음 표기법 및 개념은 이러한 관점에 사용된다. 서 R: ⇉ Y 은 다기능이고 S 은 위상 벡터 공간 X}의 비어 있지 않은 부분 집합이다
- a convex series with elements of is a series of the form where all and is a series of non-negative numbers. If converges then the series is called convergent while if is bounded then the series is called bounded and b-convex.
- 원소의 수렴 b-콘벡스 시리즈가 에 합이 있으면 S displaystyle S} 이상적으로 볼록하다 .
- 이 (가) 의 일부 이상 볼록 부분 집합 B의 X 에 대한 투영과 같도록 Frechet Y 이(가) 있는 경우 이상적으로 볼록이 낮다
Corollary — 을(를) 먼저 계산할 수 있는 공간으로 C 을(를 . 의 하위 집합으로 설정한 다음:
- 이 (가) 이상적으로 볼록한 경우 = . C C
- If is ideally convex then
관련 정리
시몬스의 정리
시몬스의 정리[2] — 과 을 (를) 먼저 로컬 볼록으로 계산할 수 있게 한다.: }: 화살표 Y이(가) 조건을 만족하는 비어 있지 않은 도메인을 가진 멀티맵이라고 가정하거나, 않으면 X {\ X}이가) 프리쳇 공간이고 R {이R}보다 낮다고 가정한다.Assume that is barreled for some/every Assume that 그리고 x - ( ). 으로 두십시오. Then for every neighborhood of in belongs to the relative interior of in : 0int aff ) () {mathcal In particular, if then
로빈슨-우르세스쿠 정리
다음 정리에서의 함축 (1) implies }}(2)를 로빈슨-우르세스쿠 정리라고 한다.[3]
Robinson–Ursescu theorem[3] — Let and be normed spaces and be a multimap with non-empty domain.Suppose that is a barreled space, the graph of verifies condition condition (Hwx), and that Let (resp. 는 resp)의 닫힌 단위 공을 나타낸다. (그러므로 ={ x X: 1} X그 후 다음과 같다.
- 은(는) } R. 의 대수적 내부에 속한다.
- 1, {\ 0 r 1 + B r ( 0+ X ). displaystystyle B이 있다.
- 모든 + A 에 대해 > displaystyle 과 > 이(가) 있다. 및 모든 + y - ( y)) ( () . {\}}^{-1 R}, {
- {X {\in X} 및 모든 + B 에 대해 B> {\displaystyle y_{0}}+이 있다.
참고 항목
- 닫힌 그래프 정리 – 연속성과 그래프에 관련된 정리
- 폐쇄 그래프 정리(기능분석) – 연속성 추론을 위한 정리
- 개방형 매핑 정리(기능분석) – 선형 연산자가 개방될 수 있는 조건
- 프리셰트 공간의 추리 - 추리성의 특성
- 균일한 경계성 원리 – 점근 경계성이 균일한 경계성을 내포한다는 것을 나타내는 정리
- 웹베드 공간 – 열린 매핑과 닫힌 그래프 이론이 있는 공간
메모들
- ^ Zălinescu 2002, 페이지 23. 없음:
- ^ Zălinespu 2002, 페이지 22-23. 대상
- ^ a b Zălinescu 2002, 페이지 24. 없음:
참조
- Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.
- Baggs, Ivan (1974). "Functions with a closed graph". Proceedings of the American Mathematical Society. 43 (2): 439–442. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN 0002-9939.