선형 맵의 공간위 위상

수학, 특히 함수적 분석에서 두 벡터 공간 사이의 선형 지도 공간은 다양한 위상을 부여받을 수 있습니다.선형 지도와 이러한 위상의 공간을 연구하면 공간 자체에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.

기사 연산자 위상은 정규 공간 사이의 선형 맵의 공간에 대한 위상을 논의하는 반면, 이 기사는 위상 벡터 공간(TVS)의 보다 일반적인 설정에서 그러한 공간에 대한 위상을 논의합니다.

지도의 임의 공간상에서 균일한 수렴의 위상

전체적으로 다음을 가정합니다.

1. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) 비어 있지 않은 임의의$집합$이고 G {\$displaystyle$$${\$mathcal$ {G$}}$은(${\displaystyle 즉,}$ $임의$의 G에 대해) 부분 집합 포함으로 $지시$된$$T {\$displaystyle$G$,H\$in {\$mathcal$ {$G}}$의 $일$${\displaystyle 부}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \in }$ $G$$${\$displaystyle K\in${\$mathcal {G}}$이(가) 존재하므로 $G$는 ${\displaystyle H}$는${\displaystyle }$${\displaystyle K}$를 ${\displaystyle \subseteq }${\$displaystyle G\cup$ H$\subseteq K}$입니다.
2. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$는 위상 벡터 공간입니다(반드시 하우스도르프나 국부적으로 볼록한 것은 아닙니다).
3. ${\displaystyle \mathcal{N}}$ ${\$은(는) $Y$의 이웃 0의 기본입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$
4. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$는${\displaystyle }$${\displaystyle Y^{}}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \prod }$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{},}$ ${\displaystyle$ Y${\displaystyle ^}$${T$}=\$prod _{t\in T}$${\displaystyle Y}$의 벡터 부분공간으로$,$ 모든 $Y$ ${\displaystyle Y}$ - 값 함수 f의 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$을 나타냅니다${\displaystyle .}$ T → Y ${\displaystyle f:$도메인 $T가 {\displaystyle$ T$.}$인 $T\toY}$

𝒢 토폴로지

다음 집합은 선형 맵의 공간에 대한 위상의 기본 열린 부분 집합을 구성합니다.$G$ ⊆ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G\subseteq T}$ 및 $N$ ⊆ ${\displaystyle Y}$에 대해${\displaystyle N\subseteq,} 다음$을 허용합니다.

가족이

${\displaystyle$ F$}$의 고유한 $변환{\displaystyle }$ 불변 토폴로지에 대한 원점에서 인접 기반을^[1] 형성합니다. 여기서$$ 이 토폴로지는 반드시 벡터 토폴로지가 아닙니다(즉, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$를 TVS로 만들지$$ 않을 수 있습니다).이 토폴로지는 선택한 인접$$ $기준{\displaystyle \mathcal{}}$ N ${\$에 의존하지 않으며 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 집합에서 균일한 수렴의 토폴로지 또는 $G$ ${\$ - 토폴로지로 알려져 있습니다.^[2]그러나 이 이름은 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 구성하는 집합의 유형에 따라 자주 변경됩니다($$예: "콤팩트 집합에서 균일한 수렴의 위상" 또는 "콤팩트 수렴의 위상", 자세한^[3] 내용은 각주 참조).

각${\displaystyle G}$∈$$G {\$displaystyle$ G ${\$mathcal {G}}\$displaystyle {\$$mathcal$ {$G}}$의$$부분 집합 G ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle {\$$mathcal$$${$G}_{$$1}$은 G$${\displaystyle {\mathcal {G}}에 대해 기본이라고 합니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}_{1}$ 이 경우 $G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}$ 집합이 될 수 있습니다.$F$의 토폴로지를 변경하지 않고 G 1 {\$displaystyle {\mathcal {G}}_{1}$로 대체합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle F.}$ $F$의^[2] $토폴로지$를 변경하지 않고$$$$ G ${\$$displaystyle$ ${\mathcal$ ${G$$}}$의 모든 $유한{\displaystyle \mathcal{}}$ 결합 요소의 모든 부분 집합으로 $G$ ${\$ ${\mathcal {G}}$를 대체할 수도 있습니다${\displaystyle .}$${\displaystyle F.$$}$^[4]

$F$${\displaystyle (}$${\displaystyle B}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(B$) ${\$displaystyle f($B$$)}$이($)$ 모든${\displaystyle }$f ∈ $F$에 대해 Y$${\$displaystyle$ Y$}$의 경계 부분 집합인 경우 부분 집합 B {\$displaystyle F}$를 호출합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle f\in F.}$

특성.

이제 기본 열린 집합의 속성이 설명되므로 $G$ ∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},$ $N$ ∈ ${\displaystyle N}$.${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$인 경우 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle G,}$ N${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)$은 $모든$ ${\displaystyle f}$ ∈${\displaystyle }$F, {\$displaystyle f\in F,}$ $N$ ${\displaystyle N}$이(${\displaystyle G}$) $F$를 흡수하는 부분 집합입니다${\displaystyle .}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(G)}.$^[6]$N개$의 ${\displaystyle N}$이(각각 볼록하게) 균형을^[6] 이루면 $U{\displaystyle \mathcal{}(G,N)}$도 마찬가지입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$

동일한 $U{\displaystyle (}$∅${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle N}$) = F ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing,$ N)=$F}$은(는) 항상 성립합니다.$s$ ${\displaystyles s}$가 스칼라이면 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (G,}$ N )${\displaystyle }$= U${\displaystyle }$(${\displaystyle G,}$ s ${\displaystyle N),}$ ${\displaystyles s{\mathcal {U}}(G,$N)${\displaystyle }$= {\$mathcal {U}(G,$s N$),},$ 특히 -$$U${\displaystyle (G,}$ -${\displaystyle N}$ ${\displaystyles -{\mathcal {U}}(G,$N) = {\$mathcal {U}(G,$ - N)입니다. $}$ 또한

마찬가지로^[5]

모든 부분 집합 $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H}$ ⊆ X ${\displaystyle G,H\subseteq X}$ 및 비어 있지 않은 모든 부분 집합 $M{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle N}$ ⊆ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$

이는 다음을 의미합니다.

• $M$ ⊆ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\subseteq N}$이면 $U$ ${\displaystyle (G,M)}$ ⊆ ${\displaystyle U}$(${\displaystyle G,N).}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}(G,N).}$
• $G$ ⊆ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\subseteq H}$이면 $U$ ${\displaystyle (H,N)}$ ⊆ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (G,N).}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}(G,N).}$
• 임의의 $M$에 대하여${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}$을 ∈하고 $T$의 $부분$ 집합 G${\displaystyle ,H,K}$ ${\displaystyle$ $G,H,K},$${\displaystyle }${\displaystyle $T,},$ $만약$ G가 ${\displaystyle H}$를$$⊆한다면 {\$displaystyle G\cup H\subseteq$ K$},$ $U{\displaystyle (K,M}$ ∩ ${\displaystyle N)}$⊆ ${\displaystyle {\mathcal {U}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}(G,M)\cap {\mathcal {U}(H,N).$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 부분 집합의$$ $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및 $Y$의 원점 이웃의$$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대해 ${\displaystyle Y,}$

균일구조

$G$ ⊆ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G\subseteq T}$ 및 $U$ ⊆ ${\displaystyle Y}$ ×${\displaystyle }$Y ${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$에 대해 $Y$ ${\displaystyle$ Y$}($$Y$ ${\displaystyle$ Y$}$가 표준 균일성을 부여받은 경우)의 수행자가 됩니다.

주어진 $G$ ⊆ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G\subseteq T,}$ 모든 집합 $W{\displaystyle }$(${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,$$U)$U$$$$${\displaystyle$ U$}$이($)$ Y의 기본적인 엔투어링 시스템 {\$displaystyle$ Y$}$ 범위이므로 G ${\displaystyle$ G$}$ $또는{\displaystyle }$ 단순히 G$$ ${\displaystyle$ G$}$ - 수렴 균일 ^[7]구조의 균일성이라고 불리는$Y$ T {\$displaystyle$ Y$^{T$$}$의 $균일$한 구조에 대한 엔투어링의 기본 시스템을 형성합니다.$G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$ - 수렴 균일 구조는 $G$$$∈ ${\displaystyle G}${\$displaystyle$G} - 수렴 균일 구조 중 최소 $상한$입니다. G${\displaystyle$ $G\in {\mathcal {G}}$ 범위는 G입니다. {\displaystyle ${\mathcal {G}}$

그물과 균일한 수렴

$f$ 를 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F}$ 로 ∈하고 $f$ ∙ = (${\displaystyle {{fi}_{}}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ∈ I ${\displaystyle f_{\$bullet }=\$left(f_{i}\right)_{i\in I}$ 가 $F$의 그물이라고 하자${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ $F.}$ 그렇다면 T${\displaystyle }$의 임의의 부분 $집합$ G ${\displaystyle G}$ 에 $대하여$ ${\displaystyle f_{\$displaystyle T$}$가 모든 $N$ ∈ ${\displaystyle N}$ ${\di$} 인 $경우$ G ${\displaystyle G}$ 의 f ${\displaystyle f}$ 로 균일하게 수렴한다고 하자.$splaystyle$ N\$in {\mathcal {N}}$에는 $i$ ${\displaystyle 0_{}}$ $∈$ I ${\displaystyle i_{0}\in$ I$}$이(가) 존재하므로 $모든$ i $≥$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ $i\in$ I$}$이$($가) $i$ $∈$ ${\displaystyle 0}$을 만족하며${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$$$-${\displaystyle {}_{}f}$ $∈$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N)}$ ${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}(G,N)}($또는 이와 동등하게,${\displaystyle {fi}_{}}$(${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f{(}_{}g}$ )${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N}$ ${\$$displaystyle g\in G})$에 대해 ${\displaystyle {모}_{}}$든 $g$ ∈ ${\displaystyle G}$ ${\$$displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}.$

상속받은 속성

국소 볼록도

$Y$ ${\displaystyle Y}$가 국부적으로 볼록한 경우 $G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$ - $F$ ${\displaystyle F}$의 위상이 같으며$,$ 만약 (${\displaystyle {{pi}_{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$가 ∈ I ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in$ I$}}$가 $Y$ ${\displaystyle Y}$에서 이 위상을 생성하는 연속 세미노름 계열이라면, $G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$ - 위상은 다음에 의해 유도됩니다.세미노름 계열:

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이($가{\displaystyle }$$)$ G {\$displaystyle$ {G$}}$에서 다르고$$$$$i$ {\displaystyle $i}$이$(가$^[8] I {\displaystyle $I}$에서(가) 달라지기$$ 때문입니다.

하우스도르프니스

$Y$ ${\displaystyle Y}$가 하우스도르프이고 $T$ = ⋃ ${\displaystyle \underset{}{G}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{G}}$ ${\displaystyle \underset{}{G}}$ ${\displaystyle$T =\$bigcup _{G\in {\$$mathcal$$${$G$$}}}G}$이면 $F$ ${\displaystyle$ F$}$의 G ${\$ {$G}$ -$$topology는 하우스도르프입니다.

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 위상 공간이라고 가정합니다.만약 $Y$ ${\displaystyle Y}$가 하우스도르프이고 F ${\displaystyle F}$가 ${\displaystyle Y^{}}$ T$${\$displaystyle Y}$의 벡터 부분공간이면, ${\displaystyle 모든}$ $G$ ∈ G ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}$에서 경계를 이루는 모든 연속 맵으로 구성되고, 만약 ⋃ ${\displaystyle \underset{}{G}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{G}}${\$displaystyle \bigcup$_{$G\in${\$mathcal {G}} G$가 $T$ ${\displaystyle T}$에서 밀집되어 있다면, $G$ ${\displaystyle {\mathcal {}$$G}}$ - $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 토폴로지는$$$$ 하우스도르프입니다.

유계성

$F$ ${\displaystyle F}$의 부분 $집합$ H ${\$$displaystyle$ $H}$는 $G$ ${\displaystyle$ {\mathcal ${G}}$에서 경계지어집니다. 모든 $G$ ∈ ${\displaystyle G}$에 대해 ${\displaystyle G\in {\mathcal {G$}}, H$($${\displaystyle G)}$ = ⋃ ${\displaystyle \underset{}{h}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{H}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle H(G$)=\$bigcup$ _${h\in$ H$}h(G)}$가 $Y$에서 경계지어집니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y}$

𝒢 토폴로지의 예

점별 수렴

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를$)$ T {\$displaystyle$T}의 모든 유한 부분 집합이라고 하면$$,$$F {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {$G$$}}$의 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - $토폴로지$를 점별 수렴의 토폴로지라고 합니다$$.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 점별 수렴 토폴로지는 ${\displaystyle {YT}^{}}$ ${\$가 일반적인 제품 토폴로지를 부여받았을 때 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $F$$}$가 ${\displaystyle {YT}^{}}$ ${\$ Y$^{T}$에서 상속하는$$ 부분공간 토폴로지와 동일합니다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 사소하지 않은 완전 정규 하우스도르프 $위상{\displaystyle }$공간이고${\displaystyle }$C (X$)$ {\$displaystyle$ $($X)}이${\displaystyle (}$가) $X$의 모든 실제(또는 복잡한) 가치 연속 함수의 공간이라면, {\$displaystyle$ X${\displaystyle \}}$ $(X)$의 점별 수렴 위상은$$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle X}$가 계산$$ 가능한 경우에만 측정 가능합니다$.$^[5]

𝒢-연속 선형 맵 공간 상의 토폴로지

이 절 전체에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaystyle$ Y$}$가 위상 벡터 공간이라고 가정합니다.${\displaystyle \mathcal{G}}$ ${\$은(는$$) 포함으로 지시된 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 비어 있지 않은 부분 집합입니다.${\displaystyle L(}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $Y$로 이어지는$$ 모든 연속 선형 맵의 벡터 공간을 나타냅니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ Y$.}$ L${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$에 ${\$$mathcal {G}$ - ${\displaystyle Y^{}}$ X {\$displaystyle$ Y$^{X}$에서 상속된 $위상$이 G {\$displaystyle$ L(X; Y)}인 경우$$, 이$$ 위상이 있는 공간은 $L{\displaystyle {}_{}}$ G${\displaystyle {(}_{}{X\mathcal{}}_{};}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\d$}로 표시됩니다.$isplaystyle L_{\mathcal {G$$X;Y)}.$필드 $F{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $$위의$$ 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle$ X$}($우리가 실수 또는 복소수로 가정할 것)의 연속 이중 공간은 벡터 $공간{\displaystyle }$ L ${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle F\mathbb{})}$ ${\displaystyle$ $L$$(X;\mathbb {F}}$이며 $′{\$ X$^{\prime }}$로 표시됩니다$.$

$G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$ - $L{\displaystyle (X;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L$$(X;Y)}$은(는)${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ${\displaystyle G}$ ∈ G ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}$ 및 모든 $f$ ∈ ${\displaystyle L(X;}$${\displaystyle }$Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f\in$ L$(X;Y)}$ 집합 $f{\displaystyle (G)}$ ${\displaystyle$ f($G)}$가 $Y{\displaystyle ,}$ ${\$displaystyle f$($G)}에서 경계지어지는 $경우$에만 해당합니다.$스타일 Y,}$ 우리는$$ 이 기사의 나머지 부분의 경우를 가정할 것입니다.특히 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$가 X. {\$displaystyle$ X$.}$의 (von-Neumann) 유계 부분 집합으로 구성된$$ 경우가 이에 해당됩니다$.$

𝒢에 관한 가정

벡터 토폴로지를 보장하는 가정

• (${\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 지시됨):${\displaystyle \mathcal{G}}$ ${\$은(는) 포함(부분 집합$$)에$$의해 $지시$된 X {\displaystyle $X}$의 비어 있지 않은 부분 집합입니다.즉, 임의의 $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle H}$ ∈ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}}$에 $대하여$ K ∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}$가 존재하므로, $G$ ∪ ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle G\cup H\subseteq$ K$}$입니다$.$

위의 가정은 $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$의 집합이 필터 기저를 형성함을$$ 보장합니다.다음 가정에서는 집합 $U{\displaystyle \mathcal{}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$이(가) 균형을 이루도록 보장합니다.모든 TV는 균형 잡힌 집합으로 구성된 0의 이웃 기준을 가지고 있으므로 이 가정은 부담스럽지 않습니다.

• (${\displaystyle N}$ ∈ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}$이(가) 균형을 이룹니다.):${\displaystyle \mathcal{N}}$ ${\$은(는$$) $전체{\displaystyle }$ 균형$$집합으로 $구성$된 Y {\displaystyle $Y}$의 원점의 이웃 기준입니다.

각 집합 $U{\displaystyle \mathcal{}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$이($가{\displaystyle }$) L${\displaystyle (X;Y)}$에서 흡수됨을$$ 보장하므로 다음 가정은 매우 일반적으로 이루어집니다. {\$displaystyle L(X;Y)}$

• ($$ ∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$은(는) 경계입니다.)${\displaystyle \mathcal{G}}$ ${\$은(는) 전체가 $X$의 경계 부분 집합으로 구성된 것으로 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$

다음 정리는 결과적인 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal {G$}} - $Y$의 토폴로지$$ {\displaystyle {\$mathcal {G}}$를 변경하지 않고 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$displaystyle {G$}}$을(를) 수정할 수 있는$$ 방법을 제공합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$

공통가정

일부 작성자(예: Narici)는 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 다음 조건을 충족해야$$ 하며, 이는 특히 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 부분 집합 포함에 의해 지시된다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle \mathcal{G}}$ ${\$$mathcal$$${$G}}$은(는$)$ G {\$displaystyle$ {\mathcal {$G}}($$,$ G {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {G$}}$의 모든 유한 집합 집합의 모든 $부분{\displaystyle \mathcal{}}$집합은 G {\$displaystyle {\mathcal${G$$}}에 속함)$$의 집합의 부분 집합을 닫힌 것으로 가정합니다$$.$$

일부 작성자(예: Trèves)^[9]는 부분 $집합{\displaystyle \mathcal{}}$포함$하$에 G {\$displaystyle {\mathcal$ {G}}을(를) 지정하고$$ 다음 조건을 충족해야 합니다.

$G$ ∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}$이고 s ${\displaystyle s}$이($가$) 스칼라이면 H${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle H\in$ {\$mathcal$ {$G}}$이(가) 존재합니다. ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

$만약{\displaystyle \mathcal{}}$ G ${\$가 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X}$의 bornology라면, 이러한 공리는 만족됩니다.$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유계 부분 집합의 포화 계열이면 이러한 공리도 충족됩니다$$.

특성.

하우스도르프니스

선형 스팬이 $X$ ${\displaystyle X}$의 조밀 부분 집합인 $TVS$ X ${\displaystyle X}$의 부분 집합은 $X$의 총 부분 집합이라고 합니다$.$ ${\displaystyle${\$mathcal {G}}}$이(가) TVS $T$ ${\displaystyle T}$의 부분 집합의 집합이면, ${\displaystyle \underset{}{G}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$은(${\displaystyle \underset{}{가}}$)$$⋃$$G의 선형 $스팬$이 T {\displaystyle $T}$의 총 부분 집합이라고 합니다.${\displaystyle \underset{}{}G}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$이(가) $T$에 밀집되어 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle T.}$

$F$ ${\displaystyle F}$가 모든 $G$ ∈ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G\in {\$$mathcal$${G}}$에서 경계를 이루는 모든 연속 선형 맵으로 구성된 ${\displaystyle Y^{}}$ $T$ ${\displaystyle Y^{T}$의 벡터 부분공간이라면$,$ $Y$ ${\$$displaystyle$ G$}$의$위상$은 Hausdorff이고 G ${\displaystyle Y}$는 $Hausdorff$입니다.$T$에 합계 ${\displaystyle$ T$.}$

완성도

다음 정리를 위해, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 위상 벡터 $공간$이고 Y$${\$displaystyle Y$}가 국소 볼록 하우스도르프 공간이고 $G{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle {\mathcal {G}}$이(가)${\displaystyle }X$를 포함하는 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$의 유계 부분 집합의 집합이고$,$ {\$displaystyle$ X$,}$는 부분 집합 포함에 의해 지시되며$$, 다음 조건을 만족한다고 가정합니다.on: $G$ ∈ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}$이고 $s$ ${\displaystyle s}$이(가) 스칼라이면 $H$$$⊆ ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle H\in$ {\mathcal {$G}}$이(가) 존재합니다${\displaystyle .}$ {\$displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle {}_{}\mathrm{LG}}$( X; Y${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$이(가) 완료된 경우
  1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$이(가) 국부적으로 볼록하고 하우스도르프입니다.
  2. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$이(가) 완료되었습니다.
  3. ${\displaystyle u}$ :${\displaystyle X}$ → Y ${\displaystyle u:X\to Y}$가 선형 맵일 때마다 모든 집합 $G$ ∈ ${\displaystyle G}$로 제한된$$u {\$displaystyle$ $u$$}$${\mathcal {G}}$이$(가$) $연속임$을 의미합니다$.$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 Mackey 공백인 경우, ${\displaystyle {LG\mathcal{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y$${\displaystyle {)\}}_{}^{}}$은(는) X' ${\$와 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$가 모두 완료된$$ 경우에만 완료됩니다$$.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 배럴되면 ${\displaystyle {LG\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$이(가) 하우스도르프이고 준완전입니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 Y$$ ${\displaystyle Y}$을(를$$)$Y$ {\displaystyle $Y}$의 준완전$$ $TV$라고 하고 (1) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 바레 공간으로 하고$$ (2) $X{\displaystyle }$$$${\displaystyle X}$ $및$ Y$${\$displaystyle$ Y$}$을(를) 로컬 볼록하다고 가정합니다.${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 덮으면$$ $L{\displaystyle \mathcal{}}$($X$${\displaystyle ;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L(X;$${\displaystyle Y}$$)}$의 모든 닫힌 등연속 부분 집합이 LG${\displaystyle {(}_{}X;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ 및 L G$$(${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}(X;Y)}$이(가) 준완전입니다.^[11]
• $X$ ${\$$displaystyle X}$를 태생적 공간, Y ${\displaystyle Y}$를 국소 볼록 공간, 그리고 X {\$displaystyle$ X$}$의 모든 귀무 $시퀀스$의 $범위$가 일부 $G{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle G}$에 포함되도록 $X$ ${\$$displaystyle X}$의 유계 부분 집합 ${\mathcal$ {$G}$ 계열이라고 하자. {\$displaystyle G\in {\mathcal {G}}$인 경우, Y$${\$displaystyle Y}$는 준복수입니다.eete (각각 완전) $그러면{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {LG\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {(}_{}X;}$ $)$ {\$displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$가 됩니다$.$^[12]

유계성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 Y$$ ${\displaystyle Y}$를 위상$$ 벡터 공간이라고 하고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$의 부분 집합이라고 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle L(X;Y).$$}$그러면$$ 다음이 동치입니다.^[8]

1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) ${\displaystyle {LG(}_{}X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y$
2. 모든 $G$ ∈ ${\displaystyle G}$에 대해${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ $H$${\displaystyle (G)}$ : = ⋃ ${\displaystyle \underset{}{h}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{H}(G)}$ ${\displaystyle H(G):$$=\bigcup$ _${h\inH}h(G)}$이(가) Y ${\displaystyle$ Y$\}$에서 $경계$를 이루고 있습니다.
3. $Y$ ${\displaystyle Y}$의 모든 인접 $V$ ${\displaystyle V}$ 집합 ⋂ ${\displaystyle \underset{}{h}}$ ∈ ${\displaystyle \underset{}{H}}$ - 1${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle V{)}^{}}$ ${\displaystyle _bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$는 모든 $G$ ∈ ${\displaystyle G}$를 흡수합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 합집합인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유계 부분 집합일 경우, $L{\displaystyle }$(${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 모든 등연속 부분 집합은 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 토폴로지에서$$ 유계됩니다$$.^[11]또한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) 국부적으로 볼록한 하우스도르프 공간이라면

• $H$ ${\displaystyle H}$가 $L$ σ${\displaystyle {}_{}X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}($즉, 점별 유계 또는 단순 유계)에서 유계화되면, $X$의 볼록, 균형, 유계, 완전한 부분 집합에서 균일한 수렴의 토폴로지에서 유계화됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 준완전인 경우(닫힘 부분 집합과 유계 부분 집합이 완료됨을 의미함), $L{\displaystyle (X;}$ Y$)$ {\$displaystyle L(X;$Y)}의 유계 부분 $집합$은 모든$$G {\$displaystyle${\$mathcal$ {G$}}$ - G$$$${\$displaystyle${\$mathcal$ {G$}}$이($가{\displaystyle }$) $X$를 포함하는$$X {\$displaystyle$X}의 유계 부분 집합 계열입니다.${\displaystyle$$X.}$^[13]

예

${\displaystyle \mathcal{}\mathcal{G}}$ ⊆ ℘${\displaystyle }$( ${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp(X)}$ ("..."에서 균일한 수렴의 위상")	표기법	이름("Topology of...")	대체명
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 부분 집합	${\displaystyle L_{\sigma}(X;Y)}$	점별 수렴/simple 수렴	단순 수렴의 위상수학
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 미리 압축된 부분 집합		압축 전 수렴
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 콤팩트 볼록 부분 집합	${\displaystyle L_{\gamma}(X;Y)}$	콤팩트 볼록 수렴
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 콤팩트 부분 집합	${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$	콤팩트 컨버전스
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경계 부분 집합	${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$	유계 수렴	강력한 위상학

점별 수렴 위상

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $X$의 모든 유한 부분 집합이라고 하면${\displaystyle X,}$ $L$${\displaystyle }$(${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle$ L$(X;Y)}$은(는) $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$에서 약한 토폴로지를 갖거나$$$$, 점별 수렴의 토폴로지 또는 이 $토폴로지$를 가진 L$$${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$을(를) 나타냅니다.$L$ σ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y$ 불행히도 이 위상은 때때로 강 연산자 위상이라고도 불리며, 이는 모호함으로 이어질 수 있습니다. 이러한 이유로 이 글에서는 이 위상을 이 이름으로 언급하는 것을 피할 것입니다.

$L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 부분 집합은 $L$ σ${\displaystyle {}_{}X;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L_{\sigma}(X;Y)}$에서 유계된 경우 단순 유계 또는 약하게 유계라고 합니다$.$

$L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 취약 토폴로지에는 다음 속성이 있습니다$$.

• $X$ ${\displaystyle X}$가 분리 가능한 경우(즉, 셀 수 있는 조밀 부분 집합을 가짐), $Y${\$displaystyle Y}$가 메트릭 가능한 위상 벡터 공간이면 $L$ σ$Y) {\displaystyle H$$}$의 모든 등연속 $부분$ 집합 H {\$displaystyle$ H$}$가 메트릭 가능한 경우, $추가$로 Y$$${\$$displaystyle Y}$이$(가$) 분리 가능한 경우 $H$도 마찬가지입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle H.}$
  • 따라서 특히 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y),}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 모든 등연속 부분 집합에서 점별 수렴의 토폴로지는$$ 측정 가능합니다.
• $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ Y$^{X}$가 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $Y$로 이어지는 모든 함수의 공간을 나타내도록$$ 합니다${\displaystyle .}${\$displaystyle$ Y$.}$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}${\$displaystyle L(X;Y)}$에 점별 수렴 토폴로지가 주어지면$$ X ${\displaystyle X$$}$에서 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$$^{X}$로 들어가는$$ 모든 선형 맵의 공간이 $Y$ ${\displaystyle X^{}}${\$displaystyle$Y^{X}에서 닫힙니다$.$
  • 또한 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은(연속적이든 아니든) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이($가{\displaystyle }$) Y로 들어가는 모든 선형 맵의 공간에서 밀도가 높습니다$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$이(가) 국부적으로 볼록하다고 가정합니다.$L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y}$)${\displaystyle$ L$(X;Y)}$이(가) $X$의 볼록, 균형, 유계, 완전 부분 집합에서 균일한 수렴의 토폴로지를 가질$$ 때 $L{\displaystyle (X;}$ Y)${\$$displaystyle$ $L$$(X$;Y$)}$의 단순 유계 부분 집합 ${\$$displaystyle$ $X$$}$은${\displaystyle (}$는) L${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ {\$displaystyle$$L{\displaystyle \mathcal{}}$$(X;Y)}$은(는) $모든{\displaystyle }$ G ${\$ - L${\displaystyle (X;Y)}$ ${\$이(가) $X$를 포함하는 유계 집합 계열이 되도록$$$$ L(X;$Y)$의 토폴로지$$ {\$displaystyle L(X;$Y)}에 대해 동일합니다$$.${\displaystyle X.}$

등연속 부분집합

• $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 등연속 부분 집합의 약한 닫힘은 등연속입니다$$.
• $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$가 국부적으로 볼록한 경우, L($X{\displaystyle }$;${\displaystyle L(X;Y)}$의 등연속 부분 집합의 볼록 균형 선체는 등연속입니다$$.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) TV라고$$ 하고 (1) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 배럴로 하거나$$ ($2{\displaystyle }$) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$및 Y$$ ${\displaystyle$ Y$}$을(를) 로컬로 볼록하다고$$ 가정합니다.그러면 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 모든 단순 경계 부분 집합은 등연속입니다$$.^[11]
• $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y),}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 등연속 부분 $집합{\displaystyle }$ H {\$displaystyle H}$에서 다음 토폴로지는$$ 동일합니다.^[11] (1) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 총 $부분$ 집합에서 점별 수렴의 토폴로지$;$ (2) 점별 수렴의 토폴로지; (3) 사전 압축 수렴의 토폴로지.

컴팩트 컨버전스

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $X$의 모든 콤팩트 부분집합의 집합이라고 하면${\displaystyle$ X$,}$ L ($X$${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은 콤팩트 집합에서 콤팩트 수렴의 토폴로지 또는 균일 수렴의 토폴로지를 가지며$$ L ${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은 L ${\displaystyle C_{}}$ (${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$로 표시됩니다. ${\displaystyle L_{c}(X;Y$)$)}$.

$L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 컴팩트 수렴 토폴로지는 다음 속성을$$ 가집니다.

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Fréchet 공간 또는 LF 공간이고$$Y {\$displaystyle Y}$이(가) 완전한 로컬 볼록 하우스도르프 공간이면$$ ${\displaystyle {Lc}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}X;}$Y$)$ {\$displaystyle L_{c}(X$;Y$$$)}$이(가) 완료됩니다.
• ${\displaystyle L(X;Y)}$의 등연속 부분 집합에서 다음 토폴로지가$$ 일치합니다.
  • $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X,}$의 조밀 부분 집합에서 점별 수렴의 토폴로지
  • $X$의$$점별 수렴 $토폴로지$, {\$displaystyle$ X$,}$
  • 콤팩트 컨버전스의 토폴로지입니다.
  • 압축 전 수렴의 토폴로지입니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $몬텔{\displaystyle }$ 공간이고 Y ${\displaystyle$ Y$}$이(가) 위상$$ 벡터 공간이면 ${\displaystyle L_{}}$ $c{\displaystyle {}_{}X;}$ Y${\displaystyle )}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$와 $L$ ${\displaystyle b_{}X;Y}$)${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$이(가) 동일한 위상을 갖습니다$$.

유계수렴 위상

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $X$의 모든 유계 부분 집합의 집합이라고 하면${\displaystyle$ X$,}$ L (${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="X,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/09ba32eeb405f7f5f2bac1eb12987c47d2fd42df"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.627ex;\; height:2.509ex;">};}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 유계 수렴의 토폴로지를 갖거나$$ 유계 집합과 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$은(는) ${\displaystyle L_{}}$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}X;}$ Y${\displaystyle )}${$\backslash$^[6]$displaystyle L_{b}(X;Y)}.$

$L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 유계 수렴 토폴로지는 다음 속성을 가집니다$$.

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) bornological $공간$이고$$Y {\$displaystyle Y}$이(가) 완전한 로컬 볼록 하우스도르프 공간이면$$ ${\displaystyle {Lb}_{}}$(${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$이(가) 완료됩니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$이(가) 모두 정규$$ 공간이면 일반 연산자 정규화에 의해 유도된$$ $L{\displaystyle (X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 토폴로지가 $L{\displaystyle {}_{}X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$의 토폴로지와 동일합니다$.$^[6]
  • 특히, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 정규 공간이라면, 연속 $이중{\displaystyle {}^{}}$ 공간 X$'$ {\$displaystyle$X^{\$prime }$의 일반적인 정규 $위상$은 X$$$'$ {\$displaystyle$X^{\$prime }$의 경계 수렴의 위상과 동일합니다$.$
• $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$의 모든 등연속 부분 집합은 ${\displaystyle {Lb}_{}X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$에서 경계가$$ 설정됩니다$.$

극지위상

전체적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 TVS라고$$ 가정합니다.

𝒢 토폴로지 대 극지 토폴로지

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 유계 부분 집합이 약한 유계 부분 집합과 정확히 동일한 TVS인$$ 경우($예{\displaystyle }$: X ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프 국소 볼록 공간인 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$), G ${\$ - $X{\displaystyle {}^{\text{'}\mathrm{}}}$ ${\$의 위상$$(이 기사에서 정의한 바와 같이)$$은 극 위상이며, 반대로,$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 토폴로지인$$ 경우 모든 극 위상을 입력합니다.따라서 이 경우 이 글에서 언급한 결과는 극지 위상에 적용될 수 있습니다.

그러나 $X$ ${\displaystyle X}$이(가)${\displaystyle {}^{}}$유계 부분집합이 약한 유계 부분집합과 정확히 같지 않은 TVS인 경우$,$ "X {\$displaystyle$ X${\displaystyle {\}"}^{}}$의 개념은 "σ$(X$, X') {\$displaystyle \left(X,X^{\prime }\right)"$ - X {\displaystyle $X$$즉$, X ${\displaystyle X}$에서 유계 부분집합)의 개념보다 강합니다.${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$ - $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ $X$$\}\}$에서 경계$$ ${\mathcal {G}}$ - $X{\displaystyle {}^{\text{'}\mathrm{}}}$ ${\$ X$^{\prime }}($이 글에서 정의한 바와 같이)의 위상이$$ 반드시 극성 위상이 아닌 경우.한 가지 중요한 차이점은 극 위상은 항상 국소적으로 볼록한 반면 $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ - 위상은$$ 그럴 필요가 없다는 것입니다.

극지 위상은 이 기사에서 설명한 균일한 수렴의 보다 일반적인 위상보다 더 강력한 결과를 가지며, 우리는 주요 기사인 극지 위상을 참조합니다.여기에 가장 일반적인 극지위상 몇 가지를 나열합니다.

극지형 목록

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$가 유계 부분 집합이 약하게 유계 부분 집합과 동일한 TVS라고$$ 가정합니다.

표기법:δ(Y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle$ \$Delta$ (Y$,X)}$가 Y ${\displaystyle$ Y}의$극성$ 토폴로지를 나타내는 경우, 이 토폴로지가 부여된 $Y$ ${\displaystyle Y}$는 $Y$ δ${\displaystyle {(Y,}_{}}$ X${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}$ 또는 간단히 $Y$ δ ${\displaystyle Y_{\Delta }($예:${\displaystyle }$σ(${\displaystyle Y,}$X${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$\sigma$(Y,X)}$가 됩니다. δ를 들어 {\$displaystyle \Delta$ =$\s}$이(가) 있습니다.$igma$ $}:$ Y $σ$(Y${\displaystyle {,X)}_{}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma$ (Y$,X)}$및 Y $σ$ ${\displaystyle Y_{\sigma$}}이$($가${\displaystyle )}$ 모두${\displaystyle }$$σ$($Y$$,X$) {\displaystyle \$sigma$ (Y$,X)}$과$($가) 부여된 Y {\displaystyle Y$}$를 나타내도록 합니다.

> $$ ⊆ ℘ (${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \wp(X)}$ ("...에 균일한 수렴의 topology")	표기법	이름("Topology of...")	대체명
$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한 부분 집합	${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle(Y,X)}$	점별 수렴/simple 수렴	약한/약한* 토폴로지
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y)}$ - 소형 디스크	${\displaystyle \tau (Y,X)}$		매키 위상수학
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y)}$ - 소형 볼록 부분 집합	${\displaystyle \gamma (Y,X)}$	콤팩트 볼록 수렴
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y)}$ - 소형 부분 집합 (또는 균형 σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ - 콤팩트 부분 집합)	${\displaystyle c(Y,X)}$	콤팩트 컨버전스
${\displaystyle }$σ${\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y)}$ ${\displaystyle \sigma(X,Y)}$ - 경계 부분 집합	${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$	유계 수렴	강력한 위상학

𝒢 - ℋ공간의 평면위주에 관한 연구

$B{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$이(가) 별도의 연속 쌍선형 맵의 공간을 나타내고$$ $B{\displaystyle }$(${\displaystyle X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$이(가) 연속 쌍선형 맵의 공간을 나타내도록$$ 하겠습니다. 여기서 $,{\displaystyle X,Y,$$}$및$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$는 동일한 필드( 실수 또는 복소수)에 대한 위상 벡터 공간입니다$$.위상을 $L{\displaystyle (X;}$ ${\displaystyle Y)}$ ${\displaystyle L(X;$${\displaystyle Y}$$)}$에 배치한 방법과 유사한 방법으로 $B$(X, ${\displaystyle Y;}$ Z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ 및 $B$(X,Y;Z) ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$에 위상을 배치할 수 있습니다$.$

$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$각각 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$를 하나 이상의 비어 있지 않은 집합을 포함하는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($각각 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y$의 부분 집합 계열이라고 합니다.$G$${\displaystyle }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}$를 G ∈$$G, {\$displaystyle$ $G$$\in$ {\$mathcal$ {$G}},$ ∈ H${\displaystyle .}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}$라고 합니다. Z ${\displaystyle X^{}}$X ${\displaystyle Y^{}}$ ${\displaystyle Z^{X\times Y},$ G${\displaystyle }X$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}$ - 토폴로지에 배치할 수 있습니다.y, 결과적으로 그 부분집합 중 하나, 특히 $B{\displaystyle }$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y;}$ Z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle B(X, Y;$ ${\displaystyle Z}$$)}$ 및 $B$ (${\displaystyle X,}$ Y${\displaystyle ;}$ Z${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {B}(X,$ Y$;Z)}.$이 토폴로지는 ${\displaystyle G\mathcal{}}$ -${\displaystyle }$H ${\$ - 토폴로지$$ 또는 $G$의 ${\displaystyle 곱}$ G${\displaystyle }$× H ${\displaystyle G\times H}$에서 균일한 수렴의 토폴로지로 알려져 있습니다.${\displaystyle \times H\mathcal{}}$ ${\$

그러나 이전과 마찬가지로, 이 토폴로지는 모든 $쌍선형{\displaystyle \mathcal{}}$ 맵에 대해$$ 이 $공간$에서 b ${\displaystyle$ b$}$ (즉, $B{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle Z)}$${\$$mathcal$ ${B}}$ ($X, Y$; $Z)$ 또는 $B$ (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Z}$)${\displaystyle$ B $(X, Y; Z)}$의 벡터 공간 구조와 반드시 호환되는 것은 아닙니다$$$.$${B}}(X,Y;Z)$ 또는 $B{\displaystyle (X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z$에서, 그리고 $모든$ G$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}${\$displaystyle G\in${\$mathcal {G}}$ $및$ H$$∈ ${\displaystyle H,}${\$displaystyle$ H$\in${\$mathcal {H}}$에 대하여, 집합 $b{\displaystyle (G,}$H$)$ {\$displaystyle b(G$,H$)}$가 $X$에서 경계지어집니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 만약 $G$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}$와 H ${\displaystyle {\mathcal {H}}$이(가) 경계 집합으로 구성되어 있다면,$B{\displaystyle (X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$을(를) 위상화하려는 경우 이 요구 사항은 자동으로 충족되지만, $B$(X,Y;Z) ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$을(를) 위상화하려는 경우에는 그렇지 않을 수 있습니다$.$ ${\displaystyle G\mathcal{}}$- H ${\$ - {\$mathcal {H}}$ - $B{\displaystyle \mathcal{}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)$의 위상화는$$ 해당되지 않습니다.$$ $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및 $H$ ${\$이($가)$ 모두 유계 집합으로 구성되고$$ 다음 조건 중 하나가 성립하는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$, ${\displaystyle {\mathcal$ {$B}}$의 벡터 공간 구조와 호환됩니다.

• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 배럴형 $공간$이고 Z$${\$displaystyle$ Z$}$은(는) 로컬로 볼록합니다.
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은 F공간이고, ${\displaystyle Y}$$${\$displaystyle$Y}은(는) ${\displaystyle \mathrm{미터링}}$$가능$하며, Z {\$displaystyle$ Z$}$은(는${\displaystyle )}$ 하우스도르프입니다. 이때 B(X, Y${\displaystyle ;}$${\displaystyle }$Z$=$ ${\displaystyle B(X,}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Z).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y$${\displaystyle ;}$$Z$) = $B(X,Y;Z$)입니다$.$
• ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X,Y,}$ 및$$ $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$는 반사형 프레셰 공간의 강력한 이중성입니다.
• ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$는 정규화되고 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$와 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$는 반사 프레셰 공간의 강력한 이중화입니다.

ε 토폴로지

$X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X,$ Y$,}$ $및{\displaystyle }$ Z$$ ${\displaystyle Z}$가 국소적으로 볼록한 공간이고 $G{\displaystyle {\mathcal{}\text{'}}^{\mathrm{}}}$ ${\$ 및 $H$${\displaystyle {\text{'}}^{\mathrm{}}}$ ${\$$prime}}$을 각각$$$$$X{\displaystyle {}^{\text{'}\mathrm{}}}$${\$의 등연속 부분집합의 집합이라고 가정합니다.${\displaystyle \mathrm{그러면}}$ $G{\displaystyle {\mathcal{}\text{'}}^{\mathrm{}}}$ -${\displaystyle {}^{}{\mathcal{}\text{'}}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle$ {\mathcal {G$}}^{\prime }$ - ${\$mathcal {H}}^{\$prime }}$ - B $위$의 위상${\displaystyle }$(${\displaystyle {X{}^{}}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}}$( X${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{}^{}}$b ( ${\displaystyle {X{}^{}X}_{}^{}}$ ${\displaystyle {)\text{'}}_{\mathrm{}}^{}}$ ;${\displaystyle {}_{}^{}}$Z${\displaystyle }$) ${\$$}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)$$}^{\prime };Z\right)}$는 위상 벡터 공간 토폴로지가 됩니다.이 위상을 ε 위상이라 하고 ${\displaystyle B}$( $X$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ( ${\displaystyle {X{\text{'},}^{}}_{}^{}}$X${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle {\text{'},}_{}^{}{Y}_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {X{\text{'},}^{}X}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$; Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left$ ($X_{b\left(X^{\prime$ }, $X\right)$$}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ 이 위상을 사용하여 B $ϵ$${\displaystyle {}_{}X}$ ${\displaystyle {b(X}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}X}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {b(X}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}X}_{}^{}}$) ${\displaystyle {}_{}^{}Z}$ $){\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)$$}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)$$}^{\prime };Z\right)}$ 또는 간단히 B $ϵ$${\displaystyle {}_{}X}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Y ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Z}$)으로${\displaystyle }표시$됩니다. ${\displaystyle {\mathcal {B}_{\epsilon}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

이 벡터 공간과 위상의 중요성의 일부는 그것이 $B{\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ σ ${\displaystyle {(X{\text{'},}^{}X)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ σ ${\displaystyle {(X{\text{'},}^{}X)}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Z ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime }},X\right)$와 같은 많은 부분 공간을 포함한다는 것입니다.$}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)$$}^{\prime };Z\right),}$는 우리가 B${\displaystyle (}$X $σ$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $σ$';${\displaystyle Z)}$로${\displaystyle 표시}$합니다. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right.$$}$이 부분 공간에 $B$ $ϵ$${\displaystyle {}_{}{X}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}{Y}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon}\left(X_{b}^{\prime }, Y_{b}^{\prime };Z\right)}$의 부분 공간 위상이 주어지면 B $ϵ$${\displaystyle {}_{}X}$ $σ$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $σ$${\displaystyle {}_{}^{}}$ Z${\displaystyle )}$로 표시됩니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime };$Y_${\$sigma }^{\$prime };Z\right$}.

$Z$ ${\displaystyle Z}$가 이 벡터 공간들의 필드인 $경우$, B${\displaystyle (X}$ σ ',${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime }, Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$는 X ${\displaystyle X}$와 $Y$의 텐서 곱입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle Y.}$ 실제로, $X$ ${\displaystyle X}$와 $Y$ ${\displaystyle Y}$가 국소적으로 볼록한 하우스도르프 공간이라면,en B ( $X{\displaystyle }$σ ', Y${\displaystyle {}_{}^{}}$σ ') ${\displaystyle {\mathcal$ {$B}}\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}$는 벡터 $공간$ 동형이며, L (${\displaystyle X_{}^{}}$σ (X${\displaystyle {{\prime ,}^{}}_{}^{}}$X )${\displaystyle {^\{\backslash }_{}^{}}$$prime },$ Y${\displaystyle }$σ (Y${\displaystyle {{\prime ,}^{}}_{}}$ Y${\displaystyle {{}^{}}_{}}${\$displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime$ }, $X\right)$$}^{\prime };$$Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$는 $L{\displaystyle (X}$ $τ$${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}X\prime ;}_{}^{}Y}$)와 같음${\displaystyle .}$ ${\displaystyle L\left (X_{\tau \left (X^{\prime },X\right)$$}^{\prime };$$Y\right).$$}$

이러한 공간에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

• $X$ ${\$$displaystyle$ $X}$ 및 $Y$ ${\$$displaystyle$ $Y}$가 국부적으로 볼록한 하우스도르프 공간이면 B ε${\displaystyle {}_{}X}$ σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}_{\varepsilon}}\left(X_{\sigma }^{\prime },$ $Y_{\$$sigma }^{\prime$ $}\$$right)}$이(가) 완료된 $경우$에만 $완료$됩니다.
• $X$ ${\displaystyle X}$와 Y ${\displaystyle Y}$가 둘 다 정규화되면(각각 바나흐) $B$ ϵ${\displaystyle {}_{}X}$ σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}_{\epsilon}}\left(X_{\sigma }^{\prime }, Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

참고 항목

• 태생학적 공간 – 유계 연산자가 연속적인 공간
• 유계 선형 연산자 – 위상 벡터 공간 간의 선형 변환방향 전환 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• 이중계
• 이중 토폴로지
• 위상 목록 – 구체적인 위상 및 위상 공간 목록
• 수렴 모드 – 시퀀스 또는 영상 시리즈의 속성
• 측정 시스템 표준 – 선형 측정 시스템의 "크기" 측도
• 극지 위상 – 경계 부분 집합의 일부 부분 집합에서 균일한 수렴의 이중 공간 위상
• 강력한 이중 공간 – 유계 집합에 균일한 수렴의 위상을 부여한 연속 이중 공간
• 힐베르트 공간 상의 연산자 집합 상의 위상
• 균일 수렴 – 함수 수열의 수렴 모드
• 균일공간 – 균일한 성질의 개념을 가진 위상공간
• 약한 위상 – 수학 용어
  • 모호한 위상

참고문헌

서지학

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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
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