약한 연산자 위상

기능 분석에서 약한 운영자 위상(WOT)은 종종 약어로 불리는데, 힐버트 $공간$ H{\ $displaystyle T}$ 에 있는 경계 운영자 집합에서 가장 약한 위상으로서, 복잡한 번호 $\langle Tx,y\rangle$ $\langle Tx,y\rangle$ $\langle Tx,y\rangle$ , $\langle Tx,y\rangle$ $\langle Tx,y\rangle$ $\langleTx,y\rangele$ 에 $T$ 연산자 $}$ 을 보내는 기능이 연속적으로 나타난다 $\langle Tx,y\rangle$ $H$ 힐버트 공간의 $y$ nyctors $x$ ${\displaystyle$ x $}$ $및$ y $x$ ${\displaystyle y}.$

명시적으로, $연산자$ T $T$ 의 $T$ 경우, 한정된 수의 벡터 x $x_{i}$ ${\$ 연속 함수 $y_{i}$ i ${\$ 그리고 동일한 유한 s에 의해 지수화된 $\varepsilon _{i}$ 양의 실제 상수 $\varepsilon _{i}$ ${\$ 를 선택하십시오.et $I$ . An operator $S$ lies in the neighborhood if and only if $y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i})) <\varepsilon _{i}$ for all $i\in I$ .

Equivalently, a net $T_{i}\subseteq B(H)$ of bounded operators converges to $T\in B(H)$ in WOT if for all $y\in H^{*}$ and $x\in H$ , the net $y(T_{i}x)$ converges to $y(Tx)$ $y(Tx)$ ) $y(Tx)$ .

B(H)의 다른 위상과의 관계

WOT는 $B(H)$ $B(H)$ 공간 $H$ {\ $displaystyle$ H $}$ 의 경계 연산자인 B $B(H)$ ( $H)$ ${\displaystyle$ H}에 있는 모든 공통 토폴로지 중에서 가장 약하다 $H$

강력한 연산자 위상

$B(H)$ ( $B(H)$ ) $B(H)$ 에 있는 강력한 연산자 위상 또는 SOT는 점성 수렴의 위상이다 $B(H)$ .내부 제품은 연속 기능이기 때문에 WOT보다 SOT가 강하다.다음의 예는 이러한 포함이 엄격하다는 것을 보여준다. $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ = $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ ( $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ ) $H=\ell ^{2}(\mathb {N} )$ 을 $H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ (를) 두고 $\{T^{n}\}$ { $}{\displaystyle \{T^{n}\}}}}}$ 의 일방적인 $\{T^{n}\}$ 이동 순서를 고려한다.Cauchy-Schwarz의 애플리케이션은 WOT에서 $T^{n}\to 0$ → $T^{n}\to 0$ $T^{n}\to 0$ 을(를) 보여준다.그러나 분명히 $T^{n}$ $T^{n}$ ${\$ 은(는) SOT의 $0$ $0$ $0$ 에 수렴되지 않는다 $T^{n}$ .

강한 연산자 위상에서 연속되는 힐버트 공간의 경계 연산자 집합의 선형 함수는 정확하게 WOT에서 연속되는 것이다(실제 WOT는 $B(H)$ ( H $B(H)$ ) $displaystyle B(H)}$ 에 연속적으로 강하게 연속되는 모든 선형 함수를 그대로 두는 가장 약한 연산자 위상이다 $.$ Hilbert 공간 H)에 대한 전용 연산자.이러한 사실 때문에, WOT에서 볼록한 연산자 집합의 폐쇄는 SOT에서 설정한 것과 동일하다.

$T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0$ T $\{T_{\alpha }\}$ $T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0$ $\{T_{\alpha }\}$ ${\displaystyle \{T_{\$ $alpha$ $}\}\}\}}}$ 이(가) SOT에서 $0$ ${\displaystyle$ $0$ $}($ )로 수렴되는 양극화 정체성에서 비롯된다 $.$ WOT의 $T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0$ $}T_{\alpha }\to$ 0 $}$

약성 연산자 위상

B(H)의 선행은 추적 클래스 연산자₁ C(H)이며, B(H)에 w*-토폴로지를 생성하는데, 이를 약성 연산자 위상 또는 σ-취약 위상이라고 한다.약한 운영자와 약한 위상은 B(H)의 표준 경계 집합에 합의한다.

모든 유한 등급 연산자 F에 대해 Tr(TF_α)가 Tr(TF)로 수렴되는 경우, WOT에서 순 {T_α} ⊂ B(H)가 T로 수렴된다.모든 유한 등급 연산자는 추적 등급이므로, 이는 WOT가 σ취 위상보다 약하다는 것을 의미한다.청구가 사실인지 확인하려면, 모든 유한 순위 연산자 F는 유한한 합이라는 것을 기억하십시오.

F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.

따라서 WOT에서 {T_α}이(가) T로 수렴됨을 의미한다.

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).

약간 확장하면, 약한 운영자와 σ약한 위상들이 B(H)의 표준 경계 집합에 동의한다고 말할 수 있다: 모든 추적 등급 운영자는 형식이다.

S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}}}

여기서 시리즈 series $\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}$ $\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}$ ${\$ \ \ $imits _{i}\lambda _{i}$ 가 수렴된다 $\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}$ .WOT에서 $T_{\alpha }\to T$ $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ = $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ k < $\sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,$ , {\ $displaystyle \suppy \nolimits _{\alpha }\{\infit ,},$ $T_{\alpha }\to T$ $T_{\alpha }\to T$ → $T_{\alpha }\to T$ ${\displaystytytle T_{\\alpha }\to T}$ 라고 가정해보자.모든 추적 S급에 대해

{\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),

예를 들어, 지배적인 수렴 정리를 실행함으로써.

따라서 모든 표준 경계 집합은 바낙-알라오글루 정리에 의해 WOT에서 소형이다.

기타 속성

조정 연산 T → T*는 그 정의의 즉각적인 결과로서 WOT에서 연속적이다.

WOT에서는 곱셈이 공동으로 지속되지 않는다. $다시$ T $T$ 을(를) 일방적 전환으로 $T$ 한다.Cauchy-Schwarz에게 어필하면서, 하나는ⁿ WOT에서 T와 T*ⁿ가 모두 0으로 수렴된다는 것이다.그러나 T*ⁿT는ⁿ 모든 $n$ $n$ 에 대한 ID 연산자다 $n$ (WOT는 경계 집합의 on약 위상과 일치하기 때문에 σ약 위상에서는 곱셈이 공동으로 연속되지 않는다.)

그러나 WOT에서는 곱셈이 별도로 연속된다는 더 약한 주장이 제기될 수 있다.WOT에서는 네트 T_i → T, WOT에서는 ST_i → ST 및 TS_i → TS.

X와 Y가 정규화된 공간일 때 B(X,Y)의 SOT와 WOT

We can extend the definitions of SOT and WOT to the more general setting where X and Y are normed spaces and $B(X,Y)$ is the space of bounded linear operators of the form $T:X\to Y$ . In this case, each pair $x\in X$ and ${\displayst$ $yle y^{*}\in Y^{*}}$ defines a seminorm $\ \cdot \ _{x,y^{*}}$ on $B(X,Y)$ via the rule $\ T\ _{x,y^{*}}= y^{*}(Tx)$ . The resulting family of seminorms generates the weak operator topology on $B(X,Y)$ $B(X,Y)$ , $B(X,Y)$ ) $B(X,Y)$ 동등하게 $B(X,Y)$ $B(X,Y)$ X $B(X,Y)$ Y $B(X,Y)$ 의 WOT on B( $B(X,Y)$ , $B(X,Y)$ ) $B(X,Y)$ 은(는) 형식의 기본 오픈된 이웃을 위해 형성된다 $B(X,Y)$ .

N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\왼쪽\{S\in B(X,Y):\왼쪽 y^{*}*(S-T)x)\오른쪽 <\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \lambda \right\}}

where $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ is a finite set, $\Lambda \subseteq Y^{*}$ is also a finite set, and $\epsilon >0$ .공간 $B(X,Y)$ ( $B(X,Y)$ , $B(X,Y)$ ) $B(X,Y)$ 는 WOT와 함께 부여된 로컬 볼록한 위상 벡터 공간이다 $B(X,Y)$ .

The strong operator topology on $B(X,Y)$ is generated by the family of seminorms $\ \cdot \ _{x},x\in X,$ via the rules $\ T\ _{x}=\ Tx\$ . Thus, a topological base for the SOT is given by open neighborhoods of the form

[\displaystyle N(T,F,\epsilon ]):=\\{S\in B(X,Y):\ (S-T)x\ <\epsilon ,x\in F\}}

여기서 $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ ( $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ , $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ ) $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ , $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ 은 유한 $T\in B(X,Y),F\subseteq X$ 집합이며, $\epsilon >0.$ > $\epsilon >0.$ ${\displaysty \epsilon >$ 0. {\displaysty $\epsilon >0.$ \eptilon >0. $}$

B(X,Y)의 서로 다른 위상 간의 관계

$B(X,Y)$ $){\displaystyle B(X,Y)}$ 의 다양한 토폴로지에 대한 다른 용어는 때때로 혼란스러울 수 있다 $B(X,Y)$ .For instance, "strong convergence" for vectors in a normed space sometimes refers to norm-convergence, which is very often distinct from (and stronger than) than SOT-convergence when the normed space in question is $B(X,Y)$ . The weak topology on a normed space $X$ is the coarsest topology $X$ $∗{\$ 의 선형 함수를 연속적으로 $X^{*}$ 만드는 것. X $X$ 대신 $B(X,Y)$ $B(X,Y)$ , $){\displaysty B(X,Y)}$ 를 취할 때 약한 위상은 약한 운영자 위상과는 매우 다를 수 있다 $X$ 그리고 WOT가 정식으로 SOT보다 약하지만, SOT는 운영자 표준 위상보다 약하다.

일반적으로 다음과 같은 포함 요소는 다음을 포함한다.

\{\text}WOT-open sets in }B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}{}B(X,Y)\}

그리고 이러한 포함은 $X$ $X$ 및 $X$ $Y$ {\ $displaystyle$ Y}의 선택에 따라 엄격할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다 $Y$

$B(X,Y)$ , $B(X,Y)$ ) $B(X,Y)$ 의 WOT on B(WOT on B )는 SOT보다 공식적으로 약한 위상이지만 $B(X,Y)$ 그럼에도 불구하고 그들은 몇 가지 중요한 속성을 공유한다.예를 들어,

{\displaystyle(B(X,Y),{\text{SOT}}^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}}^{*}}

$S\subseteq B(X,Y)$ $S\subseteq B(X,Y)$ $S\subseteq B(X,Y)$ B $S\subseteq B(X,Y)$ ( $S\subseteq B(X,Y)$ , $S\subseteq B(X,Y)$ ) $S\subseteq B(X,Y)$ 이(가) 볼록한 경우 $S\subseteq B(X,Y)$

{\overline{S}^{\text{SOT}={\overline{S}^{\text{WOT},

즉, 볼록 세트의 경우 SOT-폐쇄와 WOT-폐쇄가 일치한다.

참고 항목

Hilbert 공간의 연산자 집합에 대한 토폴로지
약한 위상 – 연속 선형 함수에서 이미지의 수렴에 의해 점의 수렴이 정의되는 위상
약성 연산자 위상

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영)텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

v t 선형 지도의 이중성과 공간
기본개념	이중공간 이중 시스템 이중 위상 이중성 연산자 위상 폴라 세트 극 위상 선형 지도 공간의 토폴로지
토폴로지	노르말 위상 이중규범 울트라위크/위크-* 약한 극성의 운영자 힐베르트의 공간에. 맥키 스트롱 듀얼 극지 위상 운영자 울트라스트롱
주요 결과	바나흐알라오글루 맥키아렌스
지도	선형 지도의 전치
하위 집합	포화가족 총 집합
기타개념	이오르토곤계

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