미니맥스 정리

선형대수학 및 기능분석에서 min-max 정리 또는 변수 정리, 또는 Courant-Fischer-Weyl min-max 원리는 힐버트 공간에서 소형 에르미타트 연산자의 고유값의 가변적 특성화를 주는 결과물이다.그것은 비슷한 성격의 많은 결과의 출발점으로 볼 수 있다.

이 기사는 무한 차원 힐버트 공간의 콤팩트한 연산자를 고려하기 전에 유한 차원 사례와 그 적용에 대해 먼저 논한다.우리는 콤팩트한 연산자의 경우, 주 정리의 증명이 본질적으로 유한차원적 주장으로부터 동일한 사상을 사용한다는 것을 알게 될 것이다.

연산자가 헤르미티아인이 아닌 경우, 정리는 관련 단수 값에 동등한 특성화를 제공한다.min-max 정리는 아래 경계가 있는 자기 적응 연산자까지 확장할 수 있다.

행렬

$A$ 를은둔의 행렬이 되게 하라.고유값에 대한 다른 많은 변동 결과와 마찬가지로, 사람들은 Rayleigh-Ritz의 $지수 A$ R : $Cn \ {0}$ → R에 $의해$ 정의된 R을 고려한다.

R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}}

여기서 $(\cdot, \cdot)$ 는 $C$ 에ⁿ 있는 유클리드 내측 제품을 나타낸다.분명히 고유 벡터의 Rayleigh 몫은 연관된 고유값이다.동등하게, Rayleigh-Ritz 지수를 다음으로 대체할 수 있다.

f(x)=(Ax,x),\;\ x\ =1.

에르미트 행렬 A의 경우, 연속 함수 R_A(x) 또는 f(x)의 범위는 실제 선의 콤팩트 서브셋 [a, b]이다.최대 b와 최소 a는 각각 A의 가장 큰 고유값과 가장 작은 고유값이다.미니맥스 정리는 이 사실을 정교하게 다듬은 것이다.

미니맥스 정리

$A$ 를 고유값 $λ 1$ ≤을 가진 은둔자 $행렬$ 이되게 하라. $\leq λ k \leq ...$ $\leq$ 그럼 $then n$

\lambda _{k}=\min _{U}\{\max _{x}\{R_{A}\mid x\in U{\text{} 및 }}x\neq 0\}\dim(U)=k\}}}}}}}}

그리고

\lambda _{k}=\max _{U}\{\min _{x}\{R_{A}\mid x\in U{\text{ 및 }}}x\neq 0\}\mid \dim(U)=n-k+1}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

특히

\displaystyle \lambda _{1}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{n}\quad \forall x\in \mathbf {C} ^{n}\backslash \{0\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고 $이러한$ 한계는 x가 적절한 고유값의 고유 벡터일 때 달성된다.

또한 최대 고유값 λ에_n 대한 간단한 공식은 다음과 같다.

\displaystyle \lambda _{n}=\max\{R_{A}(x):x\neq 0\}}

마찬가지로 최소 고유값 λ은₁ 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle \lambda _{1}=\min\{R_{A}(x):x\neq 0\}}

증명

행렬 $A$ 는 은둔자이기 때문에 대각선이 가능하며 고유 벡터 {u₁, ..., u_n}의 직교 기준을 선택할 수 있다. 즉, u는_i 고유값 λ의_i 고유 벡터로서 모든 i u_i j에 대해 (u_i, u) = 1 및 (u_i, u_j) = 0이다.

U가 치수 k의 하위 공간인 경우, 그 하위 공간 $범위$ { $u k, ...,$ $u n}$ 와의 교차점이 0이 아니므로(단순히 치수 확인으로) 이 교차로에는 벡터 $v$ ≠ $0$ 이 존재하며, 따라서 우리는 이 교차로에 다음과 같이 기록할 수 있는 벡터 v ≠ 0이 있다.

v=\sum _{i=k}^{n}\reason _{i}u_{i}}}

그리고 레일리 지수가 누구지?

R_{A}(v)={\frac {\sum _{i=k}^{n}\lambda _{i}\alpha _{i}^{{n}}}}{i=k}}}}{i}}}}}}}\geq \lambda _{k}}}}}}}}}

(모든 $\lambda _{i}\geq \lambda _{k}$ $\lambda _{i}\geq \lambda _{k}$ $\lambda _{i}\geq \lambda _{k}$ $\lambda _{i}\geq \lambda _{k}$ ${\$ \ \ $da _{i}\geq \lambda _{k}})$ 및 따라서 $\lambda _{i}\geq \lambda _{k}$ i=k, ..,n.

\displaystyle \max\{R_{A}(x)\mid x\in U\}\geq \lambda _{k}}

이것은 모든 U에게 해당되기 때문에, 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

\\displaystyle \min\{\max\{R_{A}(x)\mid x\in U{\text{} 및 }x\neq 0\}\mid \dim(U)=k\}\geq \lambda _{k}}}}

이것은 하나의 불평등이다.다른 불평등을 설정하기 위해 특정 k-차원 공간 $V$ = $span{u 1, ...,$ $u k}$ 을(를) 선택하십시오.

\displaystyle \max\{R_{A}(x)\mid x\in V{\text{} 및 }x\neq 0\}\leq \lambda_{k}}}

왜냐하면 $\lambda _{k}$ $\lambda _{k}$ ${\$ 는 $\lambda _{k}$ V에서 가장 큰 고유값이기 때문이다.그러므로, 또한

\\displaystyle \min\{\max\{R_{A}(x)\mid x\in U{\text{} 및 }x\neq 0\}\mid \dim(U)=k\}\leq \lambda _{k}}}}

U가 차원 n-k+1의 하위 공간인 경우, 우리는 유사한 방식으로 진행한다: 차원 k, $span{u 1, ...,$ $u k}$ 의 하위 공간을 고려하라.서브 스페이스 U와의 교차점은 0이 아니므로(단순히 치수 확인으로) 이 교차점에는 벡터 v가 존재하며, 우리는 이를 다음과 같이 쓸 수 있다.

v=\sum _{i=1}^{k}\reason _{i}u_{i}}

그리고 레일리 지수가 누구지?

{\displaystyle R_{A}(v)={\frac {\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\alpha _{i}^{2}}:{i=1}{k}}}}\laq \lambda _{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

그래서

\displaystyle \min\{R_{A}(x)\mid x\in U\}\leq \lambda _{k}}

이것은 모든 U에게 해당되기 때문에, 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

\displaystyle \max\{\min\{R_{A}(x)\mid x\in U{\text{} 및 }x\neq 0\}\mid \dim(U)=n-k+1\}\leq \lambda_{k}}}

다시 말하지만, 이것은 방정식의 한 부분이다.다른 불평등을 얻기 위해서는 $\lambda _{k}$ ${\$ 의 고유벡터 u가 $U$ = $span{u k, ...,$ $u n}$ 에 포함되어 $\lambda _{k}$ 있다는 것을 다시 한 번 주목하여 평등을 결론짓는다.

비헤르미티아인 사례의 백범시본

N을 영점 행렬로 두십시오.

{\bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}.

Rayleigh 지수 $R_{N}(x)$ $R_{N}(x)$ ( $R_{N}(x)$ ) $R_{N}(x)$ 을(를) 위와 같이 $R_{N}(x)$ 정의하십시오.반면 레일리 비율의 최대값.mw-parser-output 그럼 그것이 N의 유일한 고유치가 0을 볼, .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den 쉽다.{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/2.즉, Rayleigh quotient의 최대값이 최대 고유값보다 크다.

적용들

최소-최대 단수 값에 대한 원리

정사각형 행렬 M의 단수 값 {σ_k}은 M*M(동일하게 MM*)의 고유값의 제곱근이다.최소-최대 정리에서의 첫 번째 동일성의 즉각적인 결과는^{[citation needed]} 다음과 같다.

\sigma _{k}^{\uparrow }=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\ x\ =1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\ x\ =1}\ Mx\ .

마찬가지로

\sigma _{k}^{\uparrow }=\max _{S:\dim(S)=n-k+1}\min _{x\in S,\x\=1\mx\

Here $\sigma _{k}=\sigma _{k}^{\uparrow }$ denotes the k^th entry in the increasing sequence of σ's, so that $\sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \cdots$ .

코치 인터레이싱 정리

$A$ 를 대칭 n × n 행렬이 되게 하라.m × m 행렬 B, 여기서 m m n은 PAP* = B와 같은 치수 m의 하위 공간에 직교 투영 P가 존재하는 경우 $A$ 의 압축이라고 불린다.Cauchy interlacing 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

정리.

A

의 고유값이

α 1

≤이면

...

\leq

α n

, 그리고 B의 것은

β 1

≤

...

이다.

\leq β j \leq ...

\leq

β m

, 그

다음

모든 j for

m

에 대해,

\do_{j}\leq \do_{j}\leq \do_{n-m+j}

이것은 최소-최대 원칙을 사용하여 증명할 수 있다.β에_i 해당하는 고유벡터 b와_i s를_j j 치수 $아공간 j$ S = $span{b 1, ...,$ $b j}$ 이 되도록 한다.

\beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\ x\ =1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\ x\ =1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\ x\ =1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.

min-max의 제1부에 의하면 $α j$ ≤ $β j .$ $한편 m - j +1$ S = $span{b j, ...,$ b $}$ 를_m 정의하면,

\beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\ x\ =1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\ x\ =1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\ x\ =1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j}

여기서 min-max의 두 번째 부분에 의해 마지막 불평등이 주어진다.

$n$ - $m$ = $1일$ 때, $우리$ 는_j α α $β j α$ 를_j+1 가지고 있으므로 상호연속 정리라는 명칭이 있다.

소형 연산자

힐베르트 공간 H. 그러한 연산자의 스펙트럼(유전값 집합)이 0인 실제 숫자의 집합이라는 $것$ 을 상기하라.따라서 $A$ 의 양의 고유값을 다음과 같이 나열하는 것이 편리하다.

\cdots \leq \leq \{k}\leq \cdots \leq \leda _{1},

매트릭스 사례에서와 같이 다중성으로 항목이 반복되는 경우.(순서가 감소하고 있음을 강조하기 위해 $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ k $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ = $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ ↓ ${\$ H가 무한 차원일 때 위의 고유값 순서는 반드시 무한정이다. $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ 우리는 이제 매트릭스 케이스에서와 같은 추론을 적용한다.S_k ⊂ H를 k차원 아공간으로 두면 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

정리(최소-최대).힐버트 공간

H

에서

A

가 콤팩트하고 자기 적응력이 뛰어난 연산자가 되도록 하자. 이 연산자의 고유값은 감소 순서에 따라 나열된다

.

\leq

...

...

… ≤

λ k 1

. 그럼:

{\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\ x\ =1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\ x\ =1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{정렬}}

유사한 한 쌍의 동등성은 음의 고유값을 유지한다.

증명

Let' S'는 선형 범위 $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ ′ = $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ span $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ { $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ k $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ , $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ k $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ + 1 $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ , $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ 의 닫힘으로 한다 $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ S' 하위공간에는 codimension k - 1. 매트릭스 사례에서와 동일한 치수 계수 인수에 의해 S' s_k S는 비어 있지 않다. $\|x\|=1$ $\|x\|=1$ $\|x\|=1$ $\|x\|=1$ = 1 ${\displaystyle$ \ x $\ =1}$ 을(를) 가진 x ∈ S'가_k 존재한다 $\|x\|=1$ S'의 요소이기 때문에 그러한 x는 반드시 충족된다.

\displaystyle (Ax,x)\leq \lambda _{k}.}

그러므로 모든 S에_k 대하여

\inf _{x_{k}\ x\ =1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}

그러나 $A$ 는 콤팩트하기 때문에 f(x) = (Ax, x) 함수는 약하게 연속된다.게다가 H에 있는 경계 세트는 모두 약하게 소형이다.이를 통해 최소값을 다음과 같이 대체할 수 있다.

\min _{x\in S_{k}\ x\ =1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

그렇게

\sup _{S_{k}\min _{x\in S_{k},\x\1}(Ax,x)\leq \lambda_{k}.

$S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ S $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ = $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ 1, $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ … $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ , $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ k $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ {\ $displaystyle S_{k}=\operatorname {span}$ \{ $u_{1},\ldots ,u_{k$ .

\max_{S_{k}\min _{x\in S_{k},\x\=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

이것은 소형 자기 적응 연산자를 위한 min-max 정리의 첫 번째 부분이다.

이와 유사하게 직교보완물이 S로_k−1^⊥ 표시되는 a $(k$ - 1 $)$ 차원 아공간_k−1 S를 고려한다.S' = span{u₁...u_k}인 경우

S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}

그렇게

\exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\x\1, (Ax,x)\geq \lambda_{k}.

이것은 내포하고 있다.

\max_{x\in S_{k-1}^{\perp }}\x\1}(Ax,x)\geq \lambda_{k}

A의 콤팩트함을 적용한 곳k-1차원 서브스페이스의 집합으로 위의 내용을 색인화한다.

\inf _{S_{k-1}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp }}\\x\1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

S_k−1 = span{u₁, ..., u_k−1}를 선택하면 추론한다.

\min _{S_{k-1}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp }}\x\(Ax,x)=\lambda _{k}.

자가 승인 연산자

min-max 정리는 (아마도 무한정) 자기 적응 연산자에도 적용된다.^[1]^[2]필수 스펙트럼은 유한 다중의 분리된 고유값이 없는 스펙트럼이다.때때로 우리는 필수 스펙트럼 아래에 몇 가지 고유값을 가지고 있으며, 우리는 고유값과 고유특성의 근사치를 원한다.

정리(최소-최대).A를 자인하고 E

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

⋯ ⋯

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

{ { { { { { { { {

{

{ { { { { {

{ le le

le le le \ \ \ }

le

le le

le

le

le

le

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

le le le le le le le le le

\

\ le \ \ \ le \ \ \ le \ \ \ \ \ \ \ \그러면

$E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\ \psi \ =1\}$ .

N 고유값만 있고 따라서 고유값이 소진된 경우, N>N에 $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ En $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ e $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ ) {\ $displaystyle E_{n}=\inf$ \ $sigma$ _{ess}( $A)}($ 필수 스펙트럼의 하단)을 int-max로 교체한 후 위의 문장이 유지된다.

정리(최대-최소).A를 자인하고 E

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

⋯ ⋯

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

{ { { { { { { { {

{

{ { { { { {

{ le le

le le le \ \ \ }

le

le le

le

le

le

le

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

le le le le le le le le le

\

\ le \ \ \ le \ \ \ le \ \ \ \ \ \ \ \그러면

$E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\ \psi \ =1\}$ .

N 고유값만 있고 따라서 고유값이 소진된 경우, N > N에 $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ e $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ ${\displaystyle E_{n}=\inf \sigma _{ess}(A)}($ 필수 스펙트럼 하단)을 허용하고, 위의 문장은 최대 분량을 Sup-inf로 대체한 후 유지한다.

증명서는^[1]^[2] 자가 임명 연산자에 대해 다음과 같은 결과를 사용한다.

정리.A가 자숙하도록 하라.

E\in \mathbb {R}

(A-E)\geq 0

(

(A-E)\geq 0

-

(A-E)\geq 0

)

E\in \mathbb {R}

E\in \mathbb {R}

{\

displaystyle

(A-E)\geq 0}

\ (

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

)

E\in \mathbb {R}

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

[ E ,

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

{\

mathb {R}}}

에

E\in {\mathbb {R}}

대한

(A-E)\geq 0

(A

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

- E )

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

[

E,\fty}

표시 스타일

\sigma (A) \displaystyty

)만 해당

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

^[1]^{: 77}

정리.A가 자칭인 경우

$\inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak{D}(A)\\\psi \langle \psi \rangle$

그리고

$\sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\ \psi \ =1}\langle \psi ,A\psi \rangle$ .^[1]^{: 77}

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d G. Teschl, 양자역학의 수학적 방법들 (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~them/schlo/schroe.pdf
^ ^a ^b Lieb; Loss (2001). Analysis. GSM. Vol. 14 (2nd ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.

M. 리드와 B.Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Operators, Academic Press, 1978.

[teschl-1] G. Teschl, 양자역학의 수학적 방법들 (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~them/schlo/schroe.pdf

[lieb-loss-2] Lieb; Loss (2001). Analysis. GSM. Vol. 14 (2nd ed.). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2783-9.

[1]

[2]

v t 위상 벡터 공간의 분석
기본개념	추상 위너 공간 보크너 공간 볼록 시리즈 무한 차원 벡터 함수
파생상품	유클리드 공간과 다른 벡터 값 함수 프리셰트 공간의 차별화 프레셰트 파생상품 구토 파생상품 기능파생상품 홀로모르픽 준파생성
측정가능성	측정(레베그) 투영 값 벡터) Bochner / 약함수/강력하게 측정할 수 있는 기능
통합	보치너 던퍼드 겔판-페티스/위크 규제됨 팰리-위너
주요 결과	역함수 정리(나시-모저 정리)
기능성 미적분학	보렐 함수 미적분학 연속 기능 미적분학 홀로모르픽 함수 미적분학
적용들	바나흐 다지관 편리한 벡터 공간 프레셰 다지관 힐버트 다지관

v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법 비너-킨친 정리

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자가 승인 연산자

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