접촉 기하학

R의³ 표준 접촉 구조. R의³ 각 점에는 하나의 형태 dz - y dx의 커널로서 접촉 구조물에 의해 그것과 연관된 평면이 있다. 이 평면들은 Y축을 따라 꼬이는 것처럼 보인다.

수학에서 접촉 기하학은 '완전한 비통합성'이라는 조건을 만족하는 접선다발에서 하이퍼플레인 분포에 의해 주어지는 매끄러운 다지관의 기하학적 구조를 연구하는 학문이다. 동등하게, 그러한 분포는 (적어도 국부적으로) 미분원형의 커널로 주어질 수 있으며, 비통합성 조건은 형태에서 최대 비생산성 상태로 해석된다. 이러한 조건은 하이퍼플레인 분포의 '완전한 통합성'에 대한 두 가지 등가 조건, 즉, 다지관의 한 모항에 접하는 조건과 정반대인데, 이 조건의 동등성은 프로베니우스 정리의 내용이다.

접촉 기하학은 여러 면에서 특정 고차원 다지관의 구조인 공감 기하학의 이상 차원 상쇄물이다. 접촉 기하학이나 공감 기하학 모두 고전 역학의 수학적인 형식주의에 의해 동기 부여되는데, 여기서 기계 시스템의 고른 차원 위상 공간이나 코디멘션 1인 일정한 에너지 초면 중 하나를 고려할 수 있다.

적용들

공통 기하학과 마찬가지로 접촉 기하학은 물리학에서 광범위한 응용을 가지고 있다. 예를 들어 기하학적 광학, 고전역학, 열역학, 기하학적 정량화, 통합 가능한 시스템 및 제어 이론. 접촉 기하학은 또한 저차원 위상에도 응용이 있다. 예를 들어, 그것은 크론하이머와 Mrowka가 속성 P 추측을 입증하기 위해, 마이클 허칭스가 부드러운 3-매니폴드의 불변성을 정의하기 위해, 렌하드 Ng가 매듭의 불변성을 정의하기 위해 사용해왔다. 또한 야코프 엘리아시베르크에 의해 적어도 6개의 차원의 스타인 다지관의 위상학적 특성화를 도출하는 데 사용되었다.

접촉 양식 및 구조

홀수 치수 다지관의 접촉 구조는 다지관의 각 접선 공간의 한 하위공간에서 부드럽게 변화하는 코디네이션 제품군으로, 비통합성 조건을 만족한다. 패밀리는 다음과 같이 묶음의 한 섹션으로 설명할 수 있다.

n차원 매끄러운 다지관 M과 p 지점 m M이 주어진 경우, 접촉점 p가 있는 M의 접촉 요소는 p에서 M에 대한 접선 공간의 (n - 1)차원 선형 아공간이다.^[1]^[2] 접점 요소는 접선 공간의 선형 함수의 커널에 의해 p에서 M으로 주어질 수 있다. 그러나, 선형 함수 Ω의 커널에 의해 하위 공간이 주어지는 경우, λ 0 0은 0이 아닌 실제 숫자인 λ Ω의 0에 의해서도 주어진다. 따라서 { λΩ : λ 0 }의 커널은 모두 동일한 접촉 요소를 부여한다. 따라서 M의 모든 접촉 요소의 공간은 (영점 섹션 $0_{M}$ $0_{M}$ ${\$ 제거 $0_{M}$ 시) T*M의 몫으로 식별할 수 있다.^[1]

{\text{PT}}^{*}M=({\text{T}}^{*}M-{0_{M})/\!\sim \{\text{where, }\\omega_{i}\in {\text{T}}_{p}^{*}M,\ \omega _{1}\sim \omega _{2}\iff \exists \ \lambda \neq 0\ :\\ \omega _{1}=\lambda \omega _{2}.

치수 2k+1의 홀수 치수 다지관 M의 접촉 구조는 접촉 요소의 원활한 분포로, 각 지점에서 일반적인 ξ으로 표시된다.^[1]^[2] 일반적인 조건은 ξ은 통합할 수 없다는 것이다.

차동 1-형식 α에 의해 국소적으로 주어지는 접촉 요소인 smooth의 원활한 분포를 우리가 가지고 있다고 가정한다. 비통합성 조건은 다음과 같이 명시적으로 제공할 수 있다.^[1]

\cHB}{\text{d}\neq 0\{\\where}\{\text{d}\cHB}=\nowderbrace \ldots \ldots \text{d}\d}\{k-{d}\text{d}}}}}}.

ξ이 미분 1 형태 α에 의해 주어지는 경우, 동일한 분포가 β = ƒ =α에 의해 국소적으로 주어지며, 여기서 ƒ은 0이 아닌 부드러운 함수라는 점에 유의한다. 만약 α가 공동 방향성을 가질 수 있다면, α는 전체적으로 정의된다.

특성.

접촉장 ξ은 완전히 통합할 수 없는 것이 통합성에 대한 프로베니우스 정리로부터 따르게 된다. 접촉 필드의 이 특성은 M에서 겹치지 않는 과퍼페이스 계열에 접선 평면에 의해 형성된 필드와는 거의 반대다. 특히 M에서는 접선공간이 ξ과 일치하는 과외면을 현지에서도 찾아볼 수 없다. 실제로 ξ에 접선 공간이 있는 k보다 큰 차원의 하위매니폴드는 없다.

연골구조와의 관계

정의의 결과는 ξ에서 2형식 Ω = dα를 하이퍼플레인(hyperplane)에 대한 제한은 비디제너레이션 2형식이라는 것이다. 이 구조는 모든 접촉 다지관 M에 M 치수보다 작은 1등급의 자연적인 공통점 묶음을 제공한다. 공통 벡터 공간은 항상 고른 차원인 반면 접촉 다지관은 홀수 차원이어야 한다는 점에 유의하십시오.

어떤 n차원 다지관 N의 등각 번들 T*N은 그 자체로 다지관(차원 2n)이며, 자연적으로 정확한 동시적 구조 Ω = dλ를 지원한다(이 1형식 λ은 때때로 Louville 형태라고 한다). 관련된 접촉 매니폴드를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있는데, 일부 치수 2n - 1, 일부 치수 2n + 1이 있다.

투영화

M을 N의 등각 번들의 투영으로 하자: 따라서 M은 점 x에 있는 광섬유의 N 위에 있는 섬유 번들로, T*N의 선 공간 또는 동등하게 TN의 하이퍼플레인의 공간이다. 1형식 λ은 M에서 진짜 1형식으로 내려가지 않는다. 단, 도 1의 동질성이므로, M의 섬유화 tautological 선다발의 이중인 선다발 O(1)에 값을 갖는 1형식을 정의한다. 이 1-폼의 커널은 접촉 분포를 정의한다.

에너지 표면

H가 T*N의 부드러운 함수, E가 H에 대한 정규 값이기 때문에 레벨 설정 $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ = $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ { ( $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ , $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ ) $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ ( $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ , p ) = $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ ${\displaystyle L=\{(q,p)\in T^{*N$ H $(q,p)=}$ 라고 가정하자. $E\}}$ 은(는) 코디멘션 1의 매끄러운 서브매니폴드다 $L=\{(q,p)\in T^{*}N|H(q,p)=E\}$ . 벡터장 Y는 L에 횡방향이고 일치하게 공감하는 경우 오일러(또는 리우빌) 벡터장이라고 하는데, 이는 Y에 관한 dλ의 Li 파생형이 L의 근방에 dλ의 배수라는 것을 의미한다.

$i_{Y}d\lambda$ i Y $i_{Y}d\lambda$ $i_{Y}d\lambda$ ${\displaystyle i_{$ Y $}d\lambda }$ to $i_{Y}d\lambda$ L은 L에 있는 연락처 양식이다.

이 건축은 해밀턴 역학에서 비롯되는데, 여기서 H는 구성 공간 N과 위상 공간 T*N을 가진 기계 시스템의 해밀턴계이며, E는 에너지의 가치다.

장치 코탄젠트 번들

다지관 N에서 리만 메트릭을 선택하고 H를 관련 운동 에너지가 되도록 한다. 그 다음 수준 집합 H =1/2는 N의 단위 동탄재 번들로, 섬유들이 구가 되는 N 위에 2n-1 섬유화의 부드러운 다지관이다. 그러면 유닛 등각 묶음으로 제한된 류빌 형태는 접촉 구조다. 이는 오일러 벡터 필드 Y의 흐름이 순간 p의 선형 스케일링에 대응하여 q의 고정 상태를 유지하는 두 번째 구조의 특수한 경우에 해당한다. 등가로 정의된 벡터 필드 R

모든 벡터 필드 A에 대해 d(R) = 1 및 d 0(R, A) = 0,

리브 벡터 필드라고 불리며, 리만 미터법의 지오데틱 흐름을 생성한다. 보다 정확히 말하면 리만 메트릭스를 사용하여 N의 접선 번들 점으로 N의 등선 번들의 각 점을 식별할 수 있으며, 그 점에서의 R 값은 N에 평행한 해당(단위) 벡터다.

첫 번째 제트기 묶음

반면에 N에 대한 실제 가치 함수의 첫 번째 제트 다발을 고려함으로써 치수 2n + 1의 접촉 다지관 M을 구축할 수 있다. 이 묶음은 함수의 외부 파생상품을 이용하여 T*N×R과 이형화된다. 좌표(x, t)를 가진 M은 접촉 구조를 가지고 있다.

α = dt + λ.

반대로, 접촉 다지관 M을 고려할 때, M×R 제품은 복합 다지관의 자연 구조를 가지고 있다. 만약 α가 M의 접촉 형태라면,

Ω = d(eα^t)

M×R 상의 동시형 형태로서, 여기서 t는 R-방향의 변수를 나타낸다. 이 새로운 다지관을 접촉 다지관 M의 공동화(때로는 문헌상으로는 동정화)라고 한다.

예

대표적인 예로 좌표(x,y,z)와 단일 형태 dz - y dx가 부여된 R을³ 들 수 있다. 한 지점(x,y,z)에서 접촉면 ξ은 벡터₁ X = ∂,_y X₂ = _x+ + y ∂_z으로 확장된다.

단일 변수 x와 y를 다변량 x₁, ..., x_n, y₁, ..., y로_n 대체함으로써 이 예를 모든 R에²ⁿ⁺¹ 일반화할 수 있다. Darboux의 정리에 의해, 다지관의 모든 접촉 구조는 (2n + 1)차원 벡터 공간의 이 특정한 접촉 구조와 국소적으로 보인다.

중요한 등급의 접촉 다지관은 사사키 다지관에 의해 형성된다.

레전드리아 부매니폴드와 매듭

콘택트 다지관의 가장 흥미로운 서브스페이스는 레전드리아 서브매니폴즈다. (2n + 1)차원 다지관의 접촉 하이퍼플레인 필드가 통합되지 않음은 2n차원 서브매니폴드가 국소적으로라도 접선 번들로 그것을 가지고 있지 않음을 의미한다. 그러나 접점 영역 안에 접선 공간이 있는 n차원(임베디드 또는 담근) 서브매니폴드를 찾는 것이 일반적으로 가능하다. 이를 레전드리아 서브매니폴즈라고 한다.

레전드리아 서브매니폴드는 라그랑지아 서브매니폴즈(lagrangian submanifolds)의 복합다기관(synoptic dargins 정확한 관계가 있다: 접촉 다지관의 동시적 선택에서 레전드리아 하위관리본드를 들어올리는 것은 라그랑지 하위관리본드다.

Legendrian 하위 manifold의 가장 간단한 예는 접촉 3-manifold 안에 있는 Legendrian nots이다. 불평등한 레전드리아 매듭은 매끄러운 매듭과 같을 수 있다. 즉, 동위원소를 레전드리아 매듭의 경로로 선택할 수 없는 매끄러운 동위원소 매듭이 있다.

레전드리아 서브매니폴드는 매우 단단한 물체다; 전형적으로 모든 것이 매끄럽게 동위원소인 임베딩의 레전드리아 동위원소 클래스가 무한히 많다. 심플렉틱 장 이론은 때때로 위상학적으로 동일한 구별되는 레전드리아 서브매니폴드를 구별할 수 있는 상대 접촉 호몰로지라고 불리는 레전드리아 서브매니폴드의 불변성분을 제공한다(즉, 부드럽게 동위원소).

렙벡터장

만일 α가 주어진 접촉 구조의 접촉 형태라면, 렙 벡터장 R은 α(R) = 1과 같은 dα의 (1차원) 낟알의 고유한 원소로 정의할 수 있다. 만일 접촉 매니폴드가 동정성 다지관 내부의 일정한 에너지 과급면으로서 발생하는 경우, 렙 벡터장은 해밀턴계의 서브매니폴드에 대한 제한이다. 에너지 함수와 관련된 벡터 필드. (해밀턴 벡터 장은 에너지 레벨을 보존하기 때문에 이 제한은 접촉 초저면 상에서 벡터장을 산출한다.)

렙 영역의 역학관계는 공감극장 이론과 3차원에서 임베디드 접촉 호몰로지 등 플로어 호몰로지 기법을 사용하여 접촉 다지관 또는 기저 다지관의 구조를 연구하는데 사용될 수 있다. 알맹이가 동일한 접촉 구조를 제공하는 다른 접촉 형태는 다른 렙 벡터 필드를 산출할 것이며, 이들의 역학관계는 일반적으로 매우 다르다. 다양한 접촉 호몰로지 맛은 접촉 형태의 선택에 따라 선험적으로 달라지며, 대수학적 구조를 구성한다. 그러나 이러한 대수학적 구조는 접촉 형태로부터 독립된 것으로 판명된다. 즉, 그들은 기초적인 접촉 구조의 불변물로서 결국 c.온타트 형태는 보조적 선택으로 보일 수 있다. 임베디드 접촉 호몰로지(medded contact homology)의 경우, 기초적인 3-매니폴드의 불변성을 얻는다. 즉, 임베디드 접촉 호몰로지(medded contact homology)는 접촉 구조와 독립적이다. 이렇게 하면 다지관의 렙 벡터(Reebector) 필드를 지탱하는 결과를 얻을 수 있다.

렙 필드는 조르주 렙의 이름을 따서 명명되었다.

일부 역사적 발언

접촉 기하학의 뿌리는 Christiaan Huygens, Isaac Barrow, Isaac Newton의 작품에 나타난다. 접촉 변환 이론(즉, 접촉 구조를 보존하는 변환)은 Sophus Lie에 의해 개발되었으며, 미분 방정식(예: 레전드르 변환 또는 표준 변환)을 연구하고, 투사적 이중성에서 익숙한 '공간 요소의 변화'를 기술한다.

참고 항목

플로어 호몰로지, 불변성 다지관과 그들의 레전드리아 서브매니폴드를 주는 몇몇 맛들
수량화된 연락처 변환
하위 리만 기하학

참조

^ ^a ^b ^c ^d Arnold, V.I. (1989), "Appendix 4 Contact structures", Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, pp. 349−370, ISBN 0-387-96890-3
^ ^a ^b Arnold, V.I. (1989). "Contact Geometry and Wave Propagation". Monographie de l'Enseignement Mathématique. Conférences de l'Union Mathématique Internationale. Université de Genève. ISSN 0425-0818. Zbl 0694.53001.