연산자 위상

함수 분석의 수학 분야에는 바나흐 공간 $X$ 에서 경계 선형 연산자의 대수 $B(X)$ 에 주어지는 몇 가지 표준 위상이 있다.

소개

Let $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ( $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ N ${\$ 은(는) Banach $공간$ X의 선형 연산자 시퀀스가 된다 $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ )n $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\$ \mathb ${N}}}}}}}}$ 이(가) $X$ 의 일부 연산자 $T$ 로 수렴된다는 $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 문구를 고려하십시오.이것은 몇 가지 다른 의미를 가질 수 있다.

If $\ T_{n}-T\ \to 0$ , that is, the operator norm of $T_{n}-T$ (the supremum of $\ T_{n}x-Tx\ _{X}$ , where $x$ ranges over the unit ball in $X$ ) converges to 0, we say that $T_{n}\to T$ in the uniform 연산자 위상.
만약 $T_{n}x\to Tx$ x $T_{n}x\to Tx$ → T $T_{n}x\to Tx$ $T_{n}x\to Tx$ 에서 모든 $x\in X$ ∈ $x\in X$ ${\displaystyle x\in$ X $x\in X$ 에 $T_{n}\to T$ T $T_{n}\to T$ → T $T_{n}\to T$ → T ${\displaystytle$ T_ ${n}\$ n}\ $t}$ 라고 말한다 $T_{n}\to T$ .
마지막으로 모든 $x$ ∈ $T_{n}x\to Tx$ 에 대해 $X$ 의 약한 위상에 $T_{n}x\to Tx$ $T_{n}x\to Tx$ → T $T_{n}x\to Tx$ $T_{n}x\to Tx$ 가 있다고 가정해 보십시오.즉, $X$ 의 모든 선형 함수 $F$ 에 $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ F $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ x $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ ) $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ → $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ ) $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ 를 의미한다.이 경우 약한 연산자 위상에서는 $T_n \to T$ $T_{n}\to T$ $T_{n}\to T$ → T $T_{n}\to T$ 라고 한다.

B(H)의 위상 목록

경계 연산자 공간

B(X)

의 위상 간 관계도

위에서 사용된 위상들 외에도 $B(X)$ 에 정의될 수 있는 많은 위상들이 있다; 대부분은 많은 경우에 적절한 일반화가 있음에도 불구하고 처음에는 $X$ = $H$ 가 힐버트 공간일 때만 정의된다.아래에 열거된 토폴로지는 모두 국부적으로 볼록한 것으로, 세미몬트 계열에 의해 정의된다는 것을 암시한다.

분석에서 토폴로지는 오픈세트가 많으면 강하다고 하고, 오픈세트가 적으면 약하다고 해서 각각 해당 수렴모드가 강하다고 한다.(위상적합한 경우, 이러한 용어들은 반대 의미를 나타낼 수 있으므로 강한 것과 약한 것은 각각 미세한 것과 거친 것으로 대체된다.)오른쪽의 도표는 관계를 요약한 것으로 화살표가 강한 것에서 약한 것을 가리킨다.

$H$ 가 힐버트 공간이라면 힐버트 공간 $B(X)$ 는 (유일한) 선행 $B(H)_{*}$ $B(H)_{*}$ $B(H)_{*}$ ${\$ 스타일 $B(H)_{*}}}}$ 이 있으며 $B(H)_{*}$ 이중은 $B(X$ )이다 $.$ 사전 양수 w에 대한 $세미노름 w$ p $(x)$ 는 B $(w,$ $xx *$ )로 정의된다 $. 1/2$

$만약$ B가 벡터 $공간$ A에 있는 선형 지도의 벡터 공간이라면, $((A,$ $B)$ 은 B의 모든 원소가 연속적일 정도로 $A$ 에서 가장 약한 위상이라고 정의된다.

표준 위상 또는 균일한 위상 또는 균일한 운영자 위상은 $B(H$ )의 일반적인 표준 x에 의해 정의된다 $.$ 그것은 아래의 다른 모든 토폴로지보다 강하다.
약한(Banach space) 위상은 $σ(B(H), B(H) *$ 이며, 다시 말해 이중 $B(H) *$ 의 모든 요소가 연속적으로 존재하는 가장 약한 위상이다.바나흐 공간 $B(H$ )의 약한 위상이다 $.$ 극약하고 약한 운영자 위상보다 강하다.(경고: 약한 바나흐 공간 위상, 약한 운영자 위상, 극약 위상 모두 때로는 약한 위상이라고 부르지만 다르다.)
맥키 위상 또는 아렌스-맥키 위상은 이중이 $B(H$ )일 정도로 $B(H)$ 에서 국소 볼록 위상 중 가장 강한 $위상$ 이며, $B ($ $H)$ 의 B $(*$ $B)$ 와 B(H $)-$ 콤팩트 볼록 하위 집합에서도 균일한 수렴 위상이다 $. * *$ 그것은 아래의 모든 토폴로지보다 강하다.
σ-강-위상^* 또는 초-가스트롱^* 위상은 초라스트롱 위상보다 가장 약한 위상으로서, 조정 지도가 연속적이다. $B(H$ )의 양성 원소에 $대해$ p( $x)$ 와_w $p w (x *)$ 의 집단에 의해 정의된다 $. *$ 그것은 아래의 모든 토폴로지보다 강하다.
σ강 위상 또는 초경량 위상 또는 최강의 위상 또는 최강의 운영자 위상은 $B(H$ )의 양성 원소에 대해 세미놈 $p w (x)$ 계열에 의해 정의된다 $. *$ 강한^* 위상 이외의 아래의 모든 위상보다 강하다.경고: "가장 강력한 위상"이라는 이름에도 불구하고, 표준 위상보다 약하다.)
σ-취약 위상 또는 극약 위상 또는 약한-^* 오퍼레이터 위상 또는 약한-* 위상 또는 약한 위상 또는 $σ(B(H), B(H) *$ 위상은 $B(H$ )의 원소에 대한 세미노름(w, x) 계열로 정의된다 $. *$ 약한 운영자 위상보다 강하다.(경고: 약한 바나흐 공간 위상, 약한 운영자 위상, 극약 위상 모두 약한 위상이라고 부르기도 하지만 다르다.)
강-운전자^* 위상 또는^* 강-위상은 $h$ ∈ $H$ 에 대한 세미놈 x(h) 및^* x(h)로 정의된다. 강-약-운전자 위상보다 강하다.
강한 운용자 위상(SOT) 또는 강한 위상은 $h$ ∈ $H$ 에 대한 세미놈 x(h)로 정의된다. 약한 운용자 위상보다 강하다.
약한 운영자 위상(WOT)이나 약한 위상은 세미놈(x(h₁), h₂)에₂ 의해 $h 1,$ h ∈ $H$ 에 대해 정의된다(경고: 약한 바나흐 공간 위상, 약한 운영자 위상, 극약 위상은 모두 약한 위상이라고 부르기도 하지만 서로 다르다).

위상 간의 관계

약자, 강자, 강자^*(operator) 위상에 $대한$ B( $H)$ 의 연속 선형함수는 동일하며, $h 1,$ $h 2$ ∈ $H$ 에 대한 선형함수(xh₁, h₂)의 유한 선형결합이다. $B$ ( $H)$ 에서 초약, 초경량, 초경량^*, 초경량, 아렌스-맥키 토폴로지에 대한 연속 선형 함수는 동일하며, $선행$ B(H)의 요소들이다 $. *$

정의에 따르면, 표준 위상에서의 연속 선형 함수는 약한 바나흐 공간 위상에서의 함수와 동일하다.이 이중은 병리학적 요소가 많은 다소 넓은 공간이다.

표준 경계 $B(H$ ) 집합에서는 약한(운영자) 위상과 극약 위상이 일치한다 $.$ 이는 예를 들어 바나흐-알라오글루 정리를 통해 알 수 있다.본질적으로 동일한 이유로, 초경량 위상은 $B(H$ )의 경계 부분 집합에 대한 강한 위상과 동일하다 $.$ 아렌스-맥키 위상, 초경량^* 위상, 강위상에서도^* 마찬가지다.

국부적으로 볼록한 공간에서 볼록 집합의 폐쇄는 연속적인 선형 함수로 특징지어질 수 있다.따라서 $B(H$ )의 볼록 부분집합 $K$ 의 경우초저래스트롱^*, 초저래스트롱, 초약류 토폴로지에서 $K$ 가 닫히는 조건은 모두 동등하며, $모든$ r > $0$ 에 $대해$ K는^* 강, 강 또는 약(operator) 토폴로지에서 $r$ 의 닫힌 공과 교차점을 갖는 조건과도 같다.

표준 위상은 측정할 수 있고 다른 위상은 계산할 수 없다. 사실 그들은 첫 번째 계산에 실패한다.그러나 $H$ 가 분리 가능한 경우 위의 모든 위상은 단위 공(또는 모든 규범 경계 부분 집합)으로 제한될 때 측정 가능하다.

어떤 토폴로지를 사용해야 할까?

가장 일반적으로 사용되는 위상은 표준, 강력 및 약한 운영자 위상이다.약한 연산자 위상은 Banach-Alaoglu 정리(Banach-Alaoglu 정리)에 의해 단위 공이 소형이기 때문에 콤팩트함 인수에 유용하다.표준 위상은 $B(H)$ 를 Banach 공간으로 만들기 때문에 기본적이지만, 여러 가지 용도로는 너무 강하다. 예를 들어, $B(H)$ 는 이 위상에서 분리할 수 없다.강력한 운영자 위상은 가장 일반적으로 사용될 수 있다.

초약하고 초경가성 토폴로지는 약하고 강한 운영자 토폴로지에 비해 품행이 뛰어나지만, 그 정의는 더 복잡하기 때문에, 그들의 더 좋은 성질이 정말로 필요하지 않는 한 대개는 사용하지 않는다.예를 들어, 약하거나 강한 운영자 위상에서의 $B(H)$ 의 이중 공간은 너무 작아서 분석적인 내용을 많이 가질 수 없다.

보조 지도는 강한 연산자와 초경량 토폴로지에서 연속되지 않는 반면, 강한* 및 초경량* 토폴로지는 보조가 연속되도록 수정된다.그것들은 자주 사용되지 않는다.

아렌스-맥키 위상과 취약한 바나흐 공간 위상은 상대적으로 거의 사용되지 않는다.

요약하자면, $B(H)$ 의 세 가지 기본 토폴로지는 표준 토폴로지, 초경량 토폴로지, 초약량 토폴로지다.약하고 강한 운영자 위상은 초약 및 초가래스트롱 위상에 대한 편리한 근사치로 널리 사용된다.다른 토폴로지는 상대적으로 불명확하다.

참고 항목

바나흐 공간 – 완성된 표준 벡터 공간
경계 연산자 – 경계된 하위 세트를 경계된 하위 집합으로 보내는 선형 연산자
연속 선형 연산자
Hilbert 공간 – 무한 치수를 허용하는 유클리드 공간의 일반화
토폴로지 목록 - 콘크리트 토폴로지 및 토폴로지 공간 목록
수렴 모드 – 시퀀스 또는 영상 시리즈의 속성
표준(수학) – 벡터 공간에서의 길이
정규 벡터 공간 – 거리가 정의된 벡터 공간
선형 지도 공간의 토폴로지
위상 – 수학 부문
약한 수렴(힐버트 공간)

참조

리드와 사이먼에 의한 기능 분석은 ISBN 0-12-585050-6
M에 의한 오퍼레이터 알헤브라스 1세 이론.다케사키(특히 II.2장) ISBN 3-540-42248-X

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영)텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

v t 선형 지도의 이중성과 공간
기본개념	이중공간 이중 시스템 이중 위상 이중성 연산자 위상 폴라 세트 극 위상 선형 지도 공간의 토폴로지
토폴로지	노르말 위상 이중규범 울트라위크/위크-* 약한 극성의 운영자 힐베르트의 공간에. 맥키 스트롱 듀얼 극지 위상 운영자 울트라스트롱
주요 결과	바나흐알라오글루 맥키아렌스
지도	선형 지도의 전치
하위 집합	포화가족 총 집합
기타개념	이오르토곤계

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