L-인피니티

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In mathematics, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, the (real or complex) vector space of bounded sequences with the supremum norm, and ${\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$, the vector space of essentially bounded measurable functions with the essential supremum norm, are two c연관성이 없는 바나흐 공간.사실 전자는 후자의 특수한 경우다.As a Banach space they are the continuous dual of the Banach spaces ${\displaystyle \ell _{1}}$ of absolutely summable sequences, and ${\displaystyle L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ of absolutely integrable measurable functions (if the measure space fulfills the conditions of being localizable and 따라서 반나이트).^[1]점괘 곱셈은 바나흐 대수학의 구조를 그들에게 주는데, 사실 그것들은 아벨리안 폰 노이만 알헤브라의 표준적인 예들이다.

시퀀스 공간

벡터 공간${\$은 요소가 경계 시퀀스인 시퀀스 공간이다.벡터 공간 연산, 덧셈과 스칼라 곱셈은 좌표에 의해 좌표를 적용한다.표준 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle x{}_{\infty \mathrm{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle n\underset{}{}{}_{}}$ $displaystyle \x\ _{\infit }=\suppy _{n} x_{n}}},$$\$ {\$displaystyle \ell ^{\infit}}}$은 바나흐 공간의 표준 예다$$.실제로 ${\$$\ell$ $^{\infit$ $}}}$은(는) $p$가 가장 큰 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle$$$\$ell$$$^{\$infit$ }}{p$$$}$ 공간으로 볼 수 있으며$$$,$ 매 x${\displaystyle {\in \mathrm{}}^{}}$ $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaysty$ x\$in$$^{\$$note$$}}}}$은 ${\displaystyle {절대\mathrm{}}^{}}$ $}}}}}}}}}}}}}}}}$의 공간에 대한 연속 기능을 정의한다$$.구성 요소별 곱셈과 합계를 통한 ly sumpable 시퀀스:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to {\ell ^{1}}^{\vee }\\x&\mapsto (y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i})\end{aligned}}}$.

$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0,}$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (0,\ldots,0,1,0,\ldots )}$에 대해 평가함으로써 $\ell$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}에 대한 모든 연속 선형 기능이 이러한 방식으로 발생함을$$ 알 수 있다.

${\displaystyle {{\ell }^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}^{}}^{}}$∨${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $\}\}\}.$

그러나${\$의 모든 연속 선형 기능이 절대적으로 요약된 시리즈에서 발생하는$$ 것은 아니다. ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$$^{\ft$},$$따라서${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\$은 반사적인 바나흐 공간이 아니다$$.

함수 공간

L은^∞ 함수 공간이다.그것의 요소들은 본질적으로 경계된 측정 가능한 기능들이다.보다 정확히 말하면, L은^∞ 기초적인 측정 공간(S, σ, μ)에 기초하여 정의된다.기본적으로 경계로 되어 있는 S에서 R까지 모든 측정 가능한 함수 집합(즉, 측정값 0 집합 제외)으로 시작한다.그러한 두 가지 기능은 거의 모든 곳에서 동일하다면 식별된다.L^∞(S, μ)로 설정된 결과를 나타낸다.

이 집합의 함수 f의 경우, 그것의 본질적 우월성은 적절한 표준의 역할을 한다.

$\displaystyle \f\ _{\infit }\equiv \inf\{C\geq 0: f(x) \leq C{\text{ 거의 모든 }x\}.}$

자세한 내용은 L 공간을^p 참조하십시오.

시퀀스 공간은 함수 공간의 특별한 경우: ℓ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \ell _{\nft }=L_{\nft }(\mathb {N}$)이며, 여기서$$ 자연수는 계수 측정이 갖추어져 있다.

적용들

ℓ과^∞ L의^∞ 한 가지 적용은 무한히 많은 상품과 함께 경제에 있다.^[2]단순한 경제 모델에서, 집, 과일, 자동차 등 다양한 상품들이 한정되어 있기 때문에, 모든 묶음은 유한 벡터로 나타낼 수 있으며, 소비 세트는 유한한 차원을 가진 벡터 공간이라고 가정하는 것이 일반적이다.그러나 실제로는 다른 상품들의 수가 무한할 수도 있다.예를 들어, 주택의 가치는 그 위치에 따라 달라지기 때문에 "주택"은 하나의 상품 유형이 아니다.그래서 서로 다른 상품들의 수는 무한하다고 여겨질 수 있는 다른 장소의 수이다.이 경우 소비 세트는 자연스럽게 L로^∞ 표현된다.

참조