핀슬러 다지관
Finsler manifold수학, 특히 차동 기하학에서 핀들러 다지관은 (대칭적으로 비대칭적으로) 민코프스키 기능 F(x, -)가 각 접선 공간x TM에 제공되는 다른 다지관 M으로, 어떤 부드러운 곡선의 길이를 정의할 수 있다 : [a, b] → M.
핀들러 다지관은 리만 다지관보다 일반적이다. 왜냐하면 접선 규범은 내부 제품에 의해 유도될 필요가 없기 때문이다.
모든 핀들러 다지관은 두 점 사이의 거리가 그 점들과 결합하는 곡선의 최소 길이로 정의될 때 내적인 쿼시메트릭 공간이 된다.
일리 카탄(1933)은 자신의 논문(핀슬러 1918)에서 이 기하학을 연구한 폴 핀슬러의 이름을 따서 핀슬러 다지관의 이름을 지었다.
정의
핀슬러 다지관은 핀슬러 메트릭과 함께 다른 다지관 M으로, 접선 번들에 정의된 연속 비음수 함수 F: TM → [0, +∞]로, M의 각 지점 x에 대해,
- F(v + w) ≤ F(v) + F(w) 각 벡터 v,w x(subaditivity)에서 M에 접선.
- F(λv) = 모든 λ ≥ 0에 대한 λF(v) (그러나 반드시 λ < 0)에 대한 것은 아니다(양성 동질성).
- v = 0이 아닌 경우 F(v) > 0(양수 정의도).
즉, F(x, -)는 각 접선 공간 TM에서x 비대칭 표준이다. 핀슬러 측정지표 F는 보다 정밀하고 매끄러워야 한다.
- F는 TM의 0 부분 보완에 매끄럽다.
그 후 하위 가독성 공리는 다음과 같은 강한 볼록 조건으로 대체될 수 있다.
또한 F의 대 강한 볼록 면에서 기본 텐서로 엄격한 사회적 불평등으로는 저가 산성 만약.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{의미를 내포하고 알려져 있다.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}u⁄F(u)≠ v⁄F(v). F가 강하게 볼록하면 각 접선 공간의 민코프스키 규범이다.
핀슬러 측정기준은 또한, 다음과 같은 경우에 되돌릴 수 있다.
- F(-v) = 모든 접선 벡터 v에 대한 F(v)
되돌릴 수 있는 핀슬러 메트릭은 각 접선 공간에 대한 정규(일반적인 의미)를 정의한다.
예
- 유한차원의 규범 벡터 공간의 매끄러운 서브매니폴드(개방형 서브셋 포함)는 벡터 공간의 규범이 원점 바깥으로 매끄러울 경우 핀슬러 다지관이다.
- 리만 다지관(그러나 사이비-리만 다지관은 아님)은 핀슬러 다지관의 특수한 경우다.
랜더스 다지관
Let( , ) 은(는) 리만족 다지관이고 b는 M에 있는 차동적인 원폼이다.
여기서( ) 은 j) 의 역행렬이며 아인슈타인 표기법이 사용된다. 그러면
M 및 (M ,) 에 랜더스 메트릭을 정의하며, 이는 비반복성 핀슬러 다지관의 특수한 경우인 랜더스 다지관이다.[1]
매끄러운 퀀시메트릭스 공간
(M, d) quasimetric이 되어 M 또한 차별화 가능한 다지관이고 d는 다음과 같은 의미에서 M의 차동 구조와 호환되도록 한다.
- M의 어떤 점 z 주위에는 매 x, y, U에 대해 M의 부드러운 차트(U, φ)와 상수 C ≥ 1이 존재한다.
- 함수 d: M × M → [0, ∞]은 대각선의 일부 펑크난 근방에서 매끈하다.
그런 다음 핀슬러 함수 F: TM → [0, ∞]을 정의할 수 있다.
여기서 γ은 M에서 )(0) = x 및 ''(0) = v. 이러한 방법으로 얻은 핀슬러 함수 F는 M의 각 접선 공간에 비대칭(일반적으로 밍코프스키가 아닌) 규범으로 제한된다. 유도 내인성 측정법L d: M × M → [0, ]] 원 quasimetric을 회복할 수 있다.
그리고 실제로 모든 핀슬러 함수 F: TM → [0, ∞)은 이 공식에 의해 M에 대한 내적 quasimetric d를L 정의한다.
지리학
F의 동질성 때문에 길이
상이한 곡선 γ: [a, b] → M의 M은 양의 방향의 재포장치에 따라 불변한다. 일정한 속도 곡선 γ은 핀들러 다지관의 짧은 세그먼트 γ이 ((c)에서 ((d)까지의 M에서 길이 최소화되는 경우 지오데틱이다. 동등하게, γ은 에너지 기능을 위해 정지해 있는 경우 지오데틱이다.
기능적 파생상품은 고정된 엔드포인트를 가진 with: [a, b] → M 사이에서 소멸된다는 점에서 γ(a) = x, γ(b) = y.
핀슬러 다지관의 표준 스프레이 구조
에너지 기능 E[γ]에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 TM의 로컬 좌표(x1, ..., xn, v1, ..., v)를n 다음과 같이 읽는다.
여기서 k = 1, ..., n 및 g는ij 다음과 같이 정의된 기본 텐서의 좌표 표현이다.
v ∈ TM에x 관해서 F2(x, v)의 강한 볼록도를 가정하면, matrix g(x, v)는ij 변위가 가능하고 그 역은 gij(x, v)로 표시된다. 그 다음 γ: [a, b] → M은 접선 곡선 γ'이 로컬로 정의된 TM){0}의 매끄러운 벡터 필드 H의 적분 곡선인 경우에만 (M, F)의 지오데틱이다.
여기서 국부 스프레이 계수 G는i 다음과 같이 지정된다.
TM∖{0}의 벡터 필드 H는 JH = V와 [V, H] = H를 만족시키며, 여기서 J와 V는 TM∖{0}의 표준적 내형성 및 표준 벡터장이다. 따라서, 정의상 H는 M에 대한 분무다. 스프레이 H는 수직투영을 통한 섬유다발 TM∖{0} → M에 대한 비선형 연결을 정의한다.
리만니아 사건과 유사하게, 버전이 있다.
에레즈만 곡률 및 비선형 공변량 파생물의 관점에서 일반 스프레이 구조(M, H)에 대한 자코비 방정식.
지오디컬의 고유성 및 최소화
홉프-리노우 정리에는 (M, F) 위에 곡선 최소화가 항상 존재한다. 곡선 최소화는 항상 지오디컬로 긍정적으로 재표현할 수 있으며, 모든 지오디컬은 E[15]에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시켜야 한다. F의2 강한 볼록도를 가정하면 적분 곡선의 고유성에 의해 γ(0) = x 및 γ'(0) = v를 갖는 고유한 최대 지오데틱 γ이 존재한다.
F가2 강하게 볼록한 경우 지질학 γ: [0, b] → M은 첫 번째 지점 γ이 γ을 따라 γ(0)에 결합될 때까지 인근 곡선들 사이에서 길이 축소되며, t > s의 경우 γ(0)에서 γ(t)까지의 짧은 곡선은 리만 사례처럼 항상 존재한다.
메모들
- ^ Randers, G. (1941). "On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity". Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz/134230.
참조
- Antonelli, Peter L., ed. (2003), Handbook of Finsler geometry. Vol. 1, 2, Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR 2067663
- Bao, David; Chern, Shiing-Shen; Shen, Zhongmin (2000). An introduction to Riemann–Finsler geometry. Graduate Texts in Mathematics. 200. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1268-3. ISBN 0-387-98948-X. MR 1747675.
- Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", C. R. Acad. Sci. Paris, 196: 582–586, Zbl 0006.22501
- Chern, Shiing-Shen (1996), "Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 43 (9): 959–63, MR 1400859
- Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen, Dissertation, Göttingen, JFM 46.1131.02 (Birkhauser(1951)에 의해 재인쇄됨
- Rund, Hanno (1959). The differential geometry of Finsler spaces. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101. Berlin–Göttingen–Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-51610-8. ISBN 978-3-642-51612-2. MR 0105726.
- Shen, Zhongmin (2001). Lectures on Finsler geometry. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/4619. ISBN 981-02-4531-9. MR 1845637.
외부 링크
- "Finsler space, generalized", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- 핀슬러 뉴스레터