원자력 운영자

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수학에서 핵연산자는 알렉산더 그로텐디크가 박사학위 논문에서 소개한 중요한 선형연산자이다.원자력 연산자는 두 개의 위상 벡터 공간(TVS)의 투영 텐서 곱에 밀접하게 연결되어 있다.

예비 및 표기법

전체적으로 X, Y 및 Z를 위상 벡터 공간(TVS)으로 하고 L : X → Y를 선형 연산자로 합니다(특별히 명시되지 않는 한 연속성에 대한 가정은 이루어지지 않습니다).

• 2개의 로컬 볼록 TV X와 Y의 투영 텐서 곱은 X${\displaystyle {}_{}}$ Y$(\display style$X\$otimes$ _${\pi }Y)$로 나타내며, 이 공간의 완성은 X ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Y$(\display style$ X${\wide {otimes}}}{\pi }Y$로 나타냅니다.
• L : X ${\displaystyle \to }$ Y는 위상 동형 또는 동형(선형, 연속형인 경우)이며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle L}$ : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ Im$$ L { $displaystyle L$ $: X$ \ $to$ \$operatorname${$Im }$L은 열린$$ 맵이며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ { $displaystyle \operatorname${$Im$} L $\}$은 L의 L$,$
  • 만약 S가 X의 부분 공간이라면, 몫 지도 X → X/S와 정준 주입 S → X는 모두 동형사상이다.
• 연속 선형 지도 X → Z(응답하는 연속 쌍선형 $지도{\displaystyle }$X × ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ X$\times$ Y$\to$Z$))$ 세트는 L(X, Z)(응답)로 표시됩니다.B(X, Y; Z) 여기서 Z가 기본 스칼라 필드일 경우 대신 L(X)(응답)로 쓸 수 있습니다.B(X, Y)
• 모든$$ $선형{\displaystyle }$맵 ${\displaystyle L}$ : ${\displaystyle X}$ $→$ Y {\$displaystyle L$:${\displaystyle X}$ \ $to$ Y ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathrm{any}}$ L ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ L ${\displaystyle \stackrel{}{{0\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle Im\stackrel{}{{}_{}}\to }$ {\$displaystyle X\to$ X$/\ker$ L$\;\xrightarrow {L_0\to$ Y$}$$im$ { { { { follows follows follows follows follows follows follows follows follows follows follows follows follows { { follows follows follows 、 \ follows { follows follows { follows follows follows ${\displaystyle \mathrm{follows}}$ follows 、 \ 、 \ anyL과 관련된 표준 분사라고 불립니다.
• X* $또는{\displaystyle {}^{}}$ X$${\(\$style$ X$')$는 X의 연속된 이중 공간을 나타냅니다.
  • 설명의 명확성을 높이기 위해 기호 뒤에 소수($예{\displaystyle {}^{}}$: x ${\$ {$displaystyle$ x$')$가 붙은 X ${\$ {$displaystyle$ X$'$의 $요소{\displaystyle {}^{}}$ 쓰기 규칙을 사용합니다. 예를 들어 X ${\$ {$displaystyle$ X$'$는 도함수 및 변수 x$및{\displaystyle {}^{}}${$display$x'는 필요하지 않습니다.e는 어떤 식으로든 관련된다).
• ${\displaystyle {}^{}}$X$$#(\$displaystyle$ X$^{\#})$는 X의 대수적 이중 공간(연속 여부에 관계없이 X에 있는 모든 선형 함수의 벡터 공간)을 나타냅니다.
• 힐베르트 공간에서 그 자체로 들어가는 선형 맵 L : H → H는 x$$${\displaystyle h}H$마다${\displaystyle l}$L (${\displaystyle x}$) , ${\displaystyle x0}$0 { $displaystyle$$$\ $scarle$L ($x , x$$$\ $rangle$$$\$$$geq$ 0$$}이면$$ 양의 맵 R → H라고 하는 고유한 맵이 있습니다.
  • L ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {H1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$인 $경우{\displaystyle }$(\$displaystyle$ L$:$$H_{1}\to$ H_${2}}$는 힐버트 공간 사이의 연속 선형 맵이며, $L{\displaystyle {}^{}}$ display${\displaystyle {}^{}L}${\$display L^{*}\circ$L은$$ 항상 양의 값입니다.이제 R : H → H가 양의 제곱근을 나타내며, 이는 L의 절대값이라고 합니다. $정의{\displaystyle }$U : ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$style$ U$:$$H_{1}\to$ H_${2$${\displaystyle \}\}:}$ U$($x${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ $)$을 x${\displaystyle {}_{}=}$ ${\displaystyle R({x\mathrm{}}_{}}$ 1)로 $설정$하여 Im${\displaystyle }$${\displaystyle r}$ R$(\displaystyle$ \$operatorname {Im}$ R$)$에서 첫 번째로 Im ${\displaystyle 1}$ R$displaystyle = L(x)$을 설정합니다$.${\$operatorname {Im$ R$}$을(를) 선택한 다음 x${\displaystyle r}$ ker$$R {\$displaystyle$$$x$\in \ker$ R$}$에 대해 U${\displaystyle (x)}$ $=$(x)을 $설정$하여 ker${\displaystyle }$R$${\$displaystyle$ \$ker$ R$}$의 ${\displaystyle U}$$(x$)를 정의하고 이$$맵을 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1 {\$displaystyle$H_1$}$의 전체로 선형으로 확장합니다$.$U ${\displaystyle {}_r}$R : ${\displaystyle \mathrm{Im}r}$ R ${\displaystyle \to }$ Im${\displaystyle l}$L {\$displaystyle$ U${\big \vert}_{\operatorname {Im} R:\to \operatorname {Im}$ L$}$은 추정 $등각도이고{\displaystyle }$ L ${\displaystyle =}$ $L형$이다${\displaystyle .}$
• 선형 지도${\displaystyle }$$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle \Lambda :X\to$ Y$}$는 X에 원점 근방 ${\displaystyle U}$가 있고, ^[2]δ(U$)$ {$displaystyle \Lambda(U)}$가 Y에 사전 압축되어 있는 경우 콤팩트 또는 완전 연속이라고 한다.

  • 힐베르트 공간에서, 양의 콤팩트 선형 연산자, 예를 들어 L : H → H는 프레드홀름과 F에 의해 20세기 초에 발견된 단순한 스펙트럼 분해를 가진다.리에즈:^[3]

    에는 긍정적인 숫자의 연속 감소하는 출산율과 또는 다른 0으로, r1을 수렴하며 2>⋯>r k>⋯{\displaystyle r_{1}>, r_{2}>, \cdots입니다.;r_{k}>, \cdots}과 조금이라도 한정된 치수 subspaces의 H의 iV{\displaystyle V_{나는}시퀀스}(나는 1,2,…{\displaystyle \ldot원 유한한 있다.s})followin과g 속성: (1) $서브스페이스{\displaystyle {}_{}}$ $({$})는$$ 쌍으로 직교하고, (2) 모든 i$($) 및 모든 x $for{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle{\displaystyle }$ x$\in$ V_${i$ L${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ $(x)$= r_{$displaystyle$ L(x$)$ $r_{i$}x}x}, (3)는 스팬 $\underset{}{V}$의 $\underset{}{}$이다$.\underset{}{}$L의 ^[3]nel.

토폴로지 표기법

• '(X, X)'는 X에서 가장 거친 토폴로지를 나타내며 ${\displaystyle X_{}}$의 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 맵을 연속적으로 표시하며 X($X{\displaystyle {}_{,{}^{}}}$X $')$는 X_${\sigma \left(X$$, X'\$right)} 또는 $X$'(\display style $X_{\sigma})$는 이 토폴로지를 가진 X를 나타냅니다.
• '(X, X)'는 X${\displaystyle {*}_{}}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$의 약한* 토폴로지($X$ X$)$를 나타냅니다({\$sigma\left(X$$', X\$right)}). ${\displaystyle {또는}_{}^{}}$ X$'({$ X$'_${\sigma$}})$는 이 토폴로지를 가진 X를 나타냅니다.
  • 각 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle x_{$$0}\in$$$X$)$는${\displaystyle }맵{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \to }$ $(\$$displaystyle X'\$$to$$\mathbb$$${$R})$을 유도합니다$X$는 X입니다$.$
• b(X, X)는 X $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ b$X$ $)$에서의 경계 컨버전스의 토폴로지를 나타냅니다(X, X, X'\$right).$ $또는$ ${\displaystyle X_{}}$ b$($$, X'\$displaystyle $X_{b})$는 이 토폴로지를 가진 X를 나타냅니다.
• b(X', X)는 X'에서의 경계 컨버전스의 토폴로지 또는 X' 및 ${\displaystyle {X\text{'}}_{}}$b$($ $)$의 강력한 듀얼토폴로지를 나타냅니다.{ $display style$ $X'_left$ ($X', X\$right )} ${\displaystyle {또는}_{}^{}}$ X b$'$ {display style X'$_{b}}$는 이 토폴로지를 가진 X'_$'$를 나타냅니다.
  • 통상대로 X*가 토폴로지 벡터 공간으로 간주되지만 어떤 토폴로지가 부여되어 있는지 명확하지 않은 경우 토폴로지는 b(X,, X)로 간주됩니다.

Bi(X, Y)의 쌍대 부분 공간으로서의 표준 텐서 곱

X와 Y를 벡터 공간(토폴로지는 아직 필요 없음)으로 하고$$ Bi($X,$ Y$)$를 X${\displaystyle }$×$$에 $정의$되어 기본 스칼라 $필드$에 들어가는 모든 쌍선형 맵의 공간으로 합니다.

$($${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \in }$X × $Y$( $x , y$ ) \ $in$$$X \ $times$$$Y $\}$ $display{\displaystyle {}_{}}$、${\displaystyle {}_{}（}$$x$$$, $y$ $display$ 、 $Bi$( ${\displaystyle x}$ , y )의 표준 선형 형식이 ${\displaystyle \mathrm{되도록}}$ 합니다$.$$이$에 따라 $표준맵{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle X}$ × ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \mathrm{B}i}$ (${\displaystyle }$X ,${\displaystyle {}^{}Y{\mathrm{}}^{}}$)$$# ( \${\displaystyle \mathrm{style}}$ \ chi $: X$ \ $times$Y \ $to$\ $mathrm${$Bi$$$} ($X$ , $Y$${\displaystyle }$) : ${\displaystyle ={}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$,$$y ${\displaystyle )}$ \ $display style \chi$( x ,$$$y$ ) :$=\chi _{(x,$y$)\},$ $여기$서${\displaystyle \mathrm{Bi}}$($X$Y$)$ $#(\displaystyle$ \$mathrm {Bi}(X,$Y$$)^{\#})는 Bi(X,Y)의 대수 쌍수를 나타낸다.만약 우리가 X y Y로 y 범위의 범위를 나타낸다면, X y Y는 forms와 함께 X와 Y의 텐서곱을 형성한다는 것을 알 수 있다(여기서 x y y : = 𝜒 (x, y)).이것은 우리에게 X와 Y의 표준 텐서곱을 준다.

만약 Z가 다른 벡터 공간이라면, u u is 𝜒 𝜒 is by by by by by by by by by by by by by by by by by by li by by li by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by by특히 이것은 공일 차내삽 법 형태의 X×Y.[4]에 공간 또한과 X⊗ Y의 대수 dual을 확인하면 X, Y는 국내에서 볼록 위상 벡터 공간(TVSs)과 만약 X⊗ Y모든 지역적으로 볼록한 터널 비전 시스템 Z의 𝜋-topology이 주어지고, 이 지도가 벡터 공간 A를 B에게(X, Y→ 유질 동상 L(Xπ Y, Z⊗)를 제한하는 수 있 ${\displaystyle ;Z}$ $)($연속 선형 매핑 공간에서 연속 쌍선형 ^[5]매핑 공간으로의 연속 선형 매핑)에서$B(X,Y;$Z)로(\$displaystyle$ L$(X\otimes$ _${\pi }Y;Z)\).$특히, X display Y의 연속 쌍대는 X × Y 위의 연속 쌍선형 형태의 공간 B(X, Y)와 동일하게 식별될 수 있다. 또한, 이 식별에서 B(X, Y$){\displaystyle }$의 등비점 서브셋은 ${\displaystyle {}_{}}$Y의 등비점 ${\displaystyle \mathrm{서브셋}}$과 $동일$하다${\displaystyle {.}^{}}$

바나흐 공간 사이의 원자력 운영자

$표준{\displaystyle }$ 벡터 공간 삽입 I${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle Y\to L}$ ( ${\displaystyle X}$ ;${\displaystyle }$Y$$) ( \ $displaystyle$I : $X$' \$otimes$Y \$to$ L ($$X ; Y ) )는 z : $\underset{}{\overset{}{}}$ i $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}$ $i_{}^{}$ $y_{}$ { $textstyle$ z : = \ $sum _$ { {$n }_iimes }$ { totimes }을 전송함으로써 정의됩니다.

$\displaystyle x\mapsto \sum _{i}^{n}x_{i}'(x)y_{i}.}$

X와 Y가 Banach 공간이라고 가정하면 $맵I{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle \prime {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle L_{}}$b ( ${\displaystyle X}$;$$) { $display$ I $: X$ '$_$ { $b$} \ $times$ _ { \ $pi } Y$ \ $to L$_ { $b （ X$ ;$Y$ ; Y $$） {\ 1 1 {\ {\ {\1$$( X ; Y )는${\displaystyle }$규범 1을 $가집니다$.$text$$y_{i}\right \sum$ _${i=1}^{n}\left\x_{i}'\right\$$right$$\}$를 지정하면$(z)$ ${\displaystyle {}_{}}$‖ \ \ \ $display$ \$left \$\ right \ z \ $right$\ }$$。${\displaystyle {}_{}^{}}$ 맵 I${\displaystyle \stackrel{}{}^}$ : ${\displaystyle X_{}^{}}$ b ${\displaystyle \prime {\stackrel{}{}}_{}}$^ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle L{}_{}{B}_{}}$ (${\displaystyle }$X ;${\displaystyle Y}$) {$displaystyle${$$I } : X$'_{b}{\widehats {$I}}}$_{\$pi $}Y$to L_${b}(X$;Y$)$로 연속적으로 확장됩니다.이 지도의 범위는 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle X}$ ;${\displaystyle Y}$) { $displaystyle$ L$^{1}(X; Y)}$로 표시되며, 그 요소를 핵 ^[7]연산자라고 한다.${\displaystyle {}^{}L{}^{}}$1 ( X${\displaystyle }$;${\displaystyle Y}$) { { $displaystyle$ L$^{1}$ ($X$ ; ${\displaystyle Y_{}}$)${\displaystyle {\stackrel{}{\}}}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{hat<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; L^\{1\}(X;Y)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/779b516cce2a524c71ae9b60e348507bc46319fa"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.234ex;\; height:3.176ex;">}}$ / ker$$ I$^$ $displaystyle \left ( X$ '$_$ { $b$) { \ $wide$hats } } $_${ \ pi $} Y$ \ $hats }$hat $hat$ hat hat $hathathathathat$ hat hat$$ ${\displaystyle {hathathathathathathat}_{}^{}}$ hathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathathat유도된 지도 나는:(Xb′ ⊗ ^ π Y)/ker ⁡ 나는}→ L1(X, Y){\displaystyle{\hat{나는}^:\left(X'_{b}{\widehat{\otimes}}_{\pi}Y\right)/\ker{\hat{나는}}\to L^ᆮ(X, Y)}^,‖ ⋅ ‖ Tr{\displaystyle\와 같이 \cdot\_{\operatorname{Tr}}}. Explicitly,는 경우에는 clarifica에 의해 표시된은 trace-norm라고 불린다.그것을 명시적으로거나 특히?]만약 T이 필요했다 ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle X}$ ${\to }_{}$$$ (\$displaystyle$ T$:X\to$ Y$)$는 원자력 운영자이며, 그 후${}_t$Tr : $=$ $\underset{}{inf}$ z$\underset{}{{\stackrel{}{}}^{}}$ I$\underset{}{{\stackrel{}{}^}^{}}$ -$\underset{}{{}^{}{1}^{}}$ ($\underset{}{T}$ $\underset{}{)\Vert }{}_{}$ $z_{}$ ${\Vert }_{}$π ${}_{}$ \ $textstyle \$\ T $\ right \$ { $Tr$} : $= infz$\ $hat${ $tright$} { tright } { tright } - --------------------------------------- : : : :

특성화

X와 Y가 Banach 공간이고 N${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle N:X\to$ Y$)$가 연속 선형 연산자라고 가정합니다.

• 다음은 동등합니다.
  1. ${\displaystyle N}$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ $(style N:X$\to Y$)$는 핵입니다.
  2. X의 $닫힌{\displaystyle {}^{}}$ 단위 볼에 시퀀스${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {x_{}}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {)}_{}^{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$ ( \ $displaystyle \$ left ( $x$_ { $i$} \$right$ )$_{$ i = 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ \ $displaystyle \$left ( x _ { i } \ infty })_$$${$ i $= 1$∞ { displaysty $stylefty$ \ ${\displaystyle {\mathrm{lefault}}_{}^{}}$ } { i } { $i$$$}_right }$$= 1 $=$ 1 $=$ 1 } = 1 }}$1$= 1 }} }} }} }} }} }}1 }}Ce 나는 1∞{\displaystyle \left(c_{나는}\right)_{i=1}^{\infty}원}(c나는)이 ∑ 나는 나는 < 1∞ c;∞{\textstyle \sum_{i=1}^{\infty}c_{나는}<>\infty}와 N{N\displaystyle}지도로 같다:[8]N()))∑ 정도 나는 나는())y 나는{\textstyle N())=\sum_{i= ′ 1∞ c나는 x 정도.1}^{\inft$y$$$$c_{i}x'_{i}(x)y_{i}$는 모든 $x{\displaystyle }$ $text$ X $\{\backslash {\displaystyle }$$displaystyle$ x$\$$in$ X$\}$에 대해 사용됩니다.또한 트레이스 노름 $text$ Tr $\ {\operatorname {Tr}}$은$\underset{=}{\overset{}{\mathrm{}}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}$ \$textstyle$i의 $최소값$과 같습니다.$$ 그런 ^[8]시리즈로요.
• Y가 반사적인 경우 N${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$}$는 ${\displaystyle {}^{}}$N : ${\displaystyle Y_{}^{}}$ b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ b$$ {\$displaystyle {}^{t}N:$$Y'_{b}\to$ X$'_{b}$는 핵입니다.이 경우 $\Vert {}_{}$ ${{}^{}}_{}$ N${}_{\mathrm{tr}}$ Tr$$ N$$ Tr { \ $textstyle \$left \ { } N \$right$ \ { \ $operatorname${ $Tr$} = \$left$ \ N \ right \ { \$operatorname { Tr$ } }$$} } } $}$ 。

특성.

X와 Y를 바나치 공간이라고 하고${\displaystyle }$N : ${\displaystyle X}$ $→$ Y(\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$)$를 연속 선형 연산자로 $합니다{\displaystyle }$.

• N${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$}$가 핵지도인 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$N : ${\displaystyle Y_{}^{}}$ b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ b$$ {\$display {}^{t}N:$$Y'_{b}\to$ X$'_{b}$는 연속 핵 맵이며(듀얼 스페이스가 강력한 이중 토폴로지를 운반하는 경우),${{}^{}}_{}$ ${{}^{}}_{}$ N${}_{\mathrm{tr}}$ Tr$n_{}$ N${}_{\mathrm{tr}}$ $Tr$ \ textyle \$\$ {$} N \ right$ \ { \ $operatorname {Tr }$ \$left$ \ } N \ q N \ q \ $leq$\ 、 \ $oper$ n \ at \ 、 right \ $light$ \ at y y y y y y y \ y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

힐베르트 공간 사이의 핵 연산자

힐베르트 공간의 핵자기동형은 트레이스 클래스 연산자라고 불립니다.

X와 Y를 힐버트 공간이라고 하고 N : X → Y를 연속 선형 지도라고 하자.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Ur}$R { \ $displaystyle$ N$$$=$U \ $circ$ R$$$$} 。여기서 R : X → X는 N$$ $N$의 제곱근이고 U : ${\displaystyle X}$ → $Y$는 U ${\displaystyle {\mathrm{Im}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle \to }$ Im ${\displaystyle \to }$ R 입니다.${\displaystyle N}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \circ }$ {\$displaystyle$ N$=U\circ$R$\}.$ 그렇다면 N은 R이 핵 지도인 경우에만 핵 지도이다. 따라서 힐버트 공간 사이의 핵 지도를 연구하려면 양의 선형 ^[10]연산자에 대한 주의를 제한하기에 충분하다.

특성화

X와 Y를 힐버트 공간이라고 하고 N : X → Y를 절대값이 R : X → X인 연속 선형 지도라고 하자.다음은 동등합니다.

1. N : X → Y는 핵이다.
2. R : X → X는 ^[11]핵이다.
3. R : X → X는 콤팩트하고 ${\displaystyle \mathrm{Tr}r}$R {{$displaystyle \operatorname {Tr}$ R$}$은 유한합니다.${\displaystyle 이}$ 경우 Tr${\displaystyle r}$ R ${\displaystyle {}_{}n}$ Tr$$ Tr $tr$ Tr \ $displaystyle \operatorname {Tr}$ R →$N\ {\operatorname${Tr}} $}$^[11]} } 。
   • 여기서 Tr$$R \$display$ \$operatorname {Tr}$은 R의 트레이스로 다음과 같이 정의됩니다.이후 R은 연속된 컴팩트한 긍정적인 연산자,( 어쩌면 유한한)순서 λ 1>λ 2>⋯{\displaystyle \lambda_{1}>, \lambda _{2}>, 긍정적인 숫자의 해당은이고 서로 직교 유한 차원의. 벡터로 \cdots}, V2,…{\displaystyle V_{1},V_{2},\l V1spaces 존재한다.점}suspan${\displaystyle }$display ( ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$display$$의 직교($단위$: H)가 ker${\displaystyle \mathrm{display}}$ R$($$즉$, ker$$${\displaystyle \mathrm{display}}$ \ $display$$$style $\$$cup$$V_{2}$ \ $cdots$ $$$\$ right $)$과 ${\displaystyle \mathrm{같다는}}$ 것$.$$l{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V_{}}$ k$$\ $displaystyle$x \ $in$ V _ {$k$ }$$。트레이스는 $\mathrm{Tr}$R : $=\underset{}{}$k $\mathrm{kk}$ ${}_{}$ $$ V$$ \ $textstyle$ \$operatorname${ $Tr$} R : = \ $sum _$ { $k$} \ $dim V$_ {$k$ $\}$ 로 정의됩니다.
4. $displaystyle$$Y'_{b}\to$ X$'_{b}$는 핵입니다.이 경우 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{\mathrm{tr}}}$ Tr$$ N ${\displaystyle {\mathrm{tr}}_{}}$ Tr { $displaystyle$\ { }^{$t }$ N \ $_${ \ $operatorname {Tr$} = \$N$ \ { \ { \ $operatorname$ {Tr $}$ } }$$} 。
5. X에는 2개의 직교 시퀀스$({\displaystyle {x_{}}_{}^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ 1$$µ {$i=1}^{\infty})$가 있고$,{\displaystyle {}_{}^{}}$ Y와 시퀀스${\displaystyle {}_{}^{}}$1에는 (${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {{}_{}}_{=}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$µ {$displaystyle \left(y_{i}\infty$})$_{i=$${\displaystyle 1_{}^{}}$}^{\infty$}$가 있습니다.$\displaystyle$ l$^{1}:$ 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle$x$\backslash$$in$X$\},$$N$ ($x_{}$ $=$ x$\underset{}{}$ $x_{}$ ${}_{}{}_{}$y$$ ( \ $textstyle$ N $($x )= \ $sum$_ { $i$ \ $sum$ _ { i } \ $samda$ _ { $i$} \ $rangle x _$ { $i$}$$^[11]} .$$。
6. N : X → Y는 적분 ^[12]맵입니다.

국소 볼록 공간 사이의 원자력 운영자

U가 X에서 원점의 볼록 균형 닫힌 근방이고 B가 X와 Y의 국소 볼록 공간을 가진 Y에서 볼록 균형 경계 바나흐 디스크라고 가정합니다. U(x ) r> , \ $textstyle$ p$_$ { $U$（ x ） → \ $inf _ { r$>$0$, x \ $in rU$ }r$$ $let{\displaystyle }$ let let let ${\displaystyle \mathrm{let}}$ let let ${\displaystyle 、}$ X${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X{}_{}^{}}$ / p${\displaystyle {}_U^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{1}_{}^{}}$ (${\displaystyle 0}$) { $display$style \$p$ : X \ x \ $to X$ / $p$_ { U （ 0 - { 0 - { 0$$}^$1$}^{ 0 - { 0 }^{ 0 - { 0 }^{ 0 }^{ 0 } } } }$보조{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 바나흐 $공간{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ X${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$${U}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}U}$ : X ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^$$ {\$display style {\pi$}}$_{$⁡ B{\displaystyle F_{B}=\operatorname{ 걸치다}B}pB(y)에 의해 기준)inf r을 U}:X\to{\hat{X}}_{U}}의 사진, X/p U− 1(0){\displaystyle X/p_{U}(0)}, X^ U{\displaystyle{\hat{X}}_{U}}뿐만 아니라 보조 공간 FB)시간에;0, y∈ rBr{\textstyle p. dense은_{B$}(y$)=\$inf _{r>0,y\in rB}$r} 및 ${\displaystyle {}_{}}$ $맵{\displaystyle }$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle F_{}}$ B${\displaystyle {}_{}}$$→$ $F \displaystyle$ \iota $:$$F_{B}\to$ F$}$는 (연속) 표준 주입입니다.임의의 연속 선형 $지도{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$: ${\displaystyle X_{}}$ ^ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ B$({\hat$ {$X}}_{U}\to$ Y_${B})$가 주어졌을 때, 구도를 통해 연속 선형 $지도{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ^ ${\displaystyle U_{}t}$ T${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ \ $display {hat }$\ $cir$를 얻을 수 있다$.$$(\textstyle$$Y_{B}\right)\to$ L$($$X$${\stackrel{}{;}}_{}$$Y)}$에 이 맵을 사용하여 L(X$$ ^ $U_{}{Y}_{}$B$)\$ L$\left({\hat {X}}_{U})$을 $식별$합니다.$Y_{B}\오른쪽)$는 L${\displaystyle (X}$;${\displaystyle Y}$)의 부분공간({$displaystyle$ L$(X;Y$^[7]입니다.

정의:X와 Y를 하우스도르프 국소 볼록 공간이라고 하자.$모든{}^{}$ $X$^ $U_{}$ ${}_{}$ $)$의 합집합$(\textstyle L^{$1}\$left$({\hat {X}}$_{U});$$Y_{B}\right)$는 Y의 모든 경계 Banach 디스크에 걸친 X 및 B 범위의 원점 모든 닫힌 볼록 균형 근방에 걸쳐 U 범위를 나타내며, L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle X}$;${\displaystyle Y}$) \ $displaystyle$ L$^{1}$ ($X;Y)$ }로 나타내며, 그 요소는 X에서 ^[7]Y로의 콜 핵 매핑이다.

X와 Y가 바나흐 공간인 경우, 이 새로운 핵 매핑 정의는 X와 Y가 바나흐 공간인 특수한 경우에 주어진 원래 정의와 일치한다.

핵을 위한 충분한 조건

• W, X, Y 및 Z를 하우스도르프 국소 볼록 공간,${\displaystyle }N{\displaystyle }$ :$$ ${\displaystyle \to }$ Y (\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$)$를 핵 지도,${\displaystyle }$M : ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle$ M$:$$W\to$ X$}$ $및$ P : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$P :$Y\to$Z는$$ 연속 선형 맵입니다.$그{\displaystyle }$ 다음 N${\displaystyle m}$M : ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \to }$ \ $displaystyle$N \ $circ$M :$W\to$Y$\},$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ N}$ : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ P$\circ$ N$:$${\displaystyle X}$$\to$Z$\}$ 및 $P{\displaystyle n}$ N${\displaystyle m}$ M${\displaystyle }$: W ${\displaystyle \to }$ {$displaystyle$ P$\circ$ N$\circ$M :$W\to$Z는$$ 핵이며 W, X, Y 및 Z가 모두 Banach 공간일 경우$P_{}{n}_{}$ N${}_{\mathrm{tr}}$ M${}_{}{\mathrm{tr}}_{}$ Tr${}_{}p$ M$\mathrm{tr}$ M$、$ \ $textstyle \$ left \$P$ \ $circ$ N \ c\$cir$M \$oper$ _\ oper _ 。
• N${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$}$가 두 하우스도르프 국소 볼록 공간 사이의 핵 지도일 $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ : Y ${\displaystyle b_{}^{}}$′ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\$ {\$display {}^{t}N:$$Y'_{b}\to$ X$'_{b}$는 연속 핵 지도이다(이중 공간이 강력한 이중 ^[2]위상을 가지고 있을 때).
  • X와 Y가 바나치 공간인 ${{}^{}}_{}$ t N${{}^{}}_{\mathrm{Tr}}{n}_{}$ N${}_{\mathrm{tr}}$ Tr$text Tr$ \ t 、 $Tr$ \ t $} N$\ $right$ \ { \$operatorname${ $Tr } \$ leq \$left$\$$N \ right \ { \$operatorname$ { Tr$}$^[9]} } 。
• ${\displaystyle N}$: X ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ N$:X\to$ Y$}$가 2개의 Hausdorff 국소 볼록 공간 사이의 핵 지도이고${\displaystyle \stackrel{}{}}$X$$^ ${\displaystyle {X}$이 X의 완결인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$, 고유 $연속{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 확장${\displaystyle \stackrel{}{}N\stackrel{}{}}$^${\displaystyle \stackrel{}{}}$: ${\displaystyle X}$ $→$ Y {\$displaystyle {N}$ {\$hat$} {\to} {$X}$은 Y } } } 。

특성화

X와 Y를 국소 볼록공간으로 하고${\displaystyle ,}$ N : ${\displaystyle X}$ $→$ Y {\$style$ N$:X\to$ Y$}$를 연속선형 연산자로 $한다{\displaystyle }$.

• 다음은 동등합니다.
  1. ${\displaystyle N}$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ $(style N:X$\to Y$)$는 핵입니다.
  2. (정의)N(${\displaystyle U)b}$ B$(\displaystyle$ N$(U)\subseteq$B$$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$및 ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$N ${\displaystyle u_{}}$ 0 : ${\displaystyle {}_{}}$ $^$ ${\displaystyle U_{}}$ $→$ Y B(\displaystyle {$N}}_0)$로 이루어진 X 원점 볼록 균형 근방 U와 Y(\$display$style {$N}}$_0}:{\$hat {X}_{U}_to$ Y_${B}}$는 핵이며, $여기$서 N${\displaystyle {\stackrel{}{}0}_{\mathrm{}}}$0 ${\display$ $style$ {$N}_$${0}$은 ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$0 : ${\displaystyle X_{}}$ U ${\displaystyle {}_{}}$ $B$의 $고유$한 연속 확장입니다.$X_{U}\to$ Y_${B$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{u}_{}}$ U$${ $displaystyle$ N =\$operatorname {In$} $_ {B}$ \$circ \pi _{U$} ${\displaystyle {in}_{}}$B : ${\displaystyle Y}$style ${\displaystyle {}_{}}${U} 를 $만족$시키는 고유 ${\displaystyle {맵}_{}}$입니다.$Y_{B}\to$ Y$}$는 자연$$ 포함이며, ${\displaystyle u_{}}$U : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to X}$ / ${\displaystyle p_{}^{}}$U -${\displaystyle {}_{}^{}1}$ ( 0${\displaystyle }$)$${ $displaystyle \pi$_ {U$:$$X/to$ X$/p_{U}^{-1}(0)$은 정규 ^[6]투영법이다.
  3. Banach $공간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1$({$과 ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2$({$$displaystyle$ $B_{2})$와 $연속$ 선형 $지도{\displaystyle }$ f$:X$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ $1({$ $n{\displaystyle :}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $({$n:})가 있습니다.$B_{1}\to$ B_${2$ $및{\displaystyle }$ g${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ $(\displaystyle$ g$:$$B_{2}\to$ Y${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$ n$:$$B_{1}\to$ B_${2}}$는 $핵$이며 N $=$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}${$display style$ N=g\$circ$ n$\circ f$^[8] 입니다.
  4. X ${\$ { \ $displaystyle$ X$$} $a{\displaystyle {}^{}}$ Y$$ \ $displaystyle$ $B$$$\ $subseteq$${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}^{}}$ $、{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{sequence}_{}}_{\mathrm{}}^{}}$1 ( ( ( = 1$$ \ $displaystyle$ \ left ( $x _$ { $i$${\displaystyle {{}_{}}_{=}^{}}$ $1$}^{ \ infty$$}}에$$ 등비슷한 시퀀스$({\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$$)$가 존재합니다.서열(c나는)나는 갈1∞{\displaystyle \left(c_{나는}\right)_{i=1}^{\infty}}가 ∑ 나는 갈1∞ c나는 <, ∞{\textstyle \sum_{i=1}^{\infty}c_{나는}<>\infty}와 N{N\displaystyle}은 마음으로 도식화:[8]N()))∑ 나는 갈1∞ c나는 x 나는 ′())y 나는{\textstyle N())=\su.m_{i=1}$^{\infty }c_{i}x'_{i}(x)y_{$i$$}}: 모든 $x{\displaystyle x}$X {\$displaystyle x\in$ X$\}$에 대해 지정합니다.
• 만약 X가 통풍되고 Y가 준완전이라면, N이 N$$($x$ $)$ $\underset{}{\overset{}{}}$ $\underset{}{\overset{}{i}}$ $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{1}}{}_{}$ c ${}_{}{}_{}^{}$ $x_{}^{}$ $($ ($x$ ) $y_{}$ i$$_ { $textstyle$N ( x ) = \$sum$_ { i$$=$1$）^{\$infty }_i$ {$x }_y$ {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} {x} 의 $형태$로 표현되는 경우에만 N은 핵이다.$({displaystyle$ X$\text{'}\},$${\displaystyle {}_{}^{}}$($y$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ 1 $∞$ \ $displaystyle \$ left ( y$_$ { $i }$ $\ infty$} )_$$${$i i <$style$ \$textstyle$ \$sum$ _ { i= 1 }^{ \ infty } < \ $infty$^[8] )로 묶음

특성.

다음은 핵 지도를 확장하기 위한 한-바나흐 정리 유형이다.

• E${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle$ E$:X\to$ Z$)$가 TV 삽입형이고${\displaystyle }$N : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle$$$N$:X\to$Y)가$$ 핵 $지도$인 $경우{\displaystyle }$, $N{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle }$~ : ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle {\tildeN})는$$$N ~to N ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$$to$${\displaystyle }$N ~tyle이다$.$$>{\displaystyle }$ >(\$displaystyle \epsilon$> $0$에 대해 ${\displaystyle N\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle \{\backslash {}_{\mathrm{displaystyle}}}$ ${N$${\displaystyle {}_{}}$displaystyle \tilde${N})$ ${\displaystyle \mathrm{Tr}{}_{}}$+$（\displaystyle \\tilde${Tr$}\leQ)$을 선택할 수 있습니다$.$
• E${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ E$:X\to$ Z$}$가 Z 단위로 이미지가 닫힌 TV 삽입형이라고 가정하고${\displaystyle \mathrm{let}}$ : Z ${\displaystyle \to Z}$ / ${\displaystyle \mathrm{Im}e}$E {\$displaystyle \pi : Z\to$ Z$/operatorname {Im}$E를$$ 표준 투영으로 합니다.Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{Im}e}$E \ $display style$ Z / \$operatorname${ $Im$} $E$ の 모든 콤팩트디스크가 Z의 경계된 Banach디스크의 ${\$ \ pi $of$ （ \ $displaystyle$\ $pi$）아래 이미지라고 가정합니다(예를 들어 X와 Z가 모두 Fréchet 스페이스의 ${\displaystyle \mathrm{강력}}$한 듀얼 디스크인 경우${\displaystyle ).}$약하게 닫힙니다(Z).모든 $핵지도{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to Z}$ / ${\displaystyle \mathrm{Im}e}$E \ $displaystyle$N :$Y$${\displaystyle \stackrel{}{/\backslash }}$$operatorname {Im} E$에 핵 $지도{\displaystyle \stackrel{}{}}$ N${\displaystyle }$~ : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ (\$displaystyle {N}):$${\displaystyle \pi \stackrel{}{}}$$N$ ~ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle \pi \$ spi \ $spi$ \ tilde { N} = N$\}$ $n$$$。
  • 그래서‖ N일‖ Tr ≤‖ N‖ Tr+ϵ{\textstyle \left\{\tilde{N}}\right\ _{\operatorname{Tr}}\leq\left\ N\right\ _{\operatorname{Tr}게다가, X와 Z은 바나흐 공간과 어떤ϵ 을에 E는 등고;0{\displaystyle \epsilon>0}, N일{\displaystyle{\tilde{N}}}}선택할 수 있다.+\epsi[ $LON$ $\}$^[15] 。

X와 Y를 국소 볼록공간으로 하고${\displaystyle ,}$ N : ${\displaystyle X}$ $→$ Y {\$style$ N$:X\to$ Y$}$를 연속선형 연산자로 $한다{\displaystyle }$.

• 어떤 핵지도도 ^[2]콤팩트하다.
• $핵지도$는 $(X$Y)의 균일한 수렴 토폴로지(\$displaystyle$ L$(X;Y$에 대해 X${\displaystyle (X}$${\displaystyle )-}$$Y(X$)-Y(\$displaystyle$ X$'\$$otimes$ Y)의 닫힘에 포함된다(${\displaystyle X}$${\displaystyle )-Y}$$($${\displaystyle X}$(\$displaystyle$ X$'\otimes$ Y$)$가${\displaystyle }$X의 하위공간으로 $간주$되는 경우$).$

「 」를 참조해 주세요.

• 보조 규범 공간
• 초기 토폴로지 – 특정 기능을 연속적으로 하는 가장 거친 토폴로지
• 유도 텐서 곱
• 주입 텐서적
• 국소 볼록 위상 벡터 공간 – 볼록 열린 집합으로 정의된 위상을 가진 벡터 공간
• 바나흐 공간 사이의 원자력 운영자
• 핵 공간 – 힐베르트 공간과 다른 유한 차원 유클리드 공간의 일반화
• 투영 텐서 곱
• 힐버트 공간의 텐서 곱 – 특별한 내부 곱이 부여된 텐서 곱 공간
• 위상 텐서 곱 – 위상 벡터 공간에 대한 텐서 곱 구조
• 트레이스 클래스
• 위상 벡터 공간 – 근접 개념의 벡터 공간

레퍼런스

참고 문헌

• Diestel, Joe (2008). The metric theory of tensor products : Grothendieck's résumé revisited. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
• Dubinsky, Ed (1979). The structure of nuclear Fréchet spaces. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156.
• Grothendieck, Alexander (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (in French). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
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외부 링크

• ncatlab의 핵공간