다르부스의 정리

다르부스의 정리는 프로베니우스 통합 정리를 부분적으로 일반화하면서 미분 기하학 및 보다 구체적으로 미분형 형태의 수학 분야에서의 정리다.그것은 여러 분야에서 기초적인 결과인데, 그 중에서 족장은 동정적 기하학이다.이 정리는 파프 문제의 해결책으로 정립한 장 가스통 다르부스의^[1] 이름을 따서 명명되었다.^[2]

정리의 많은 결과들 중 하나는 같은 차원의 어떤 두 개의 공통적인 다지관이 서로 국소적으로 일치한다는 것이다.즉, 모든 2n차원 동시적 다지관은 표준적 동시적 형태와 함께 선형 동시적 공간 C와ⁿ 국소적으로 보이도록 만들 수 있다.접촉 기하학에도 적용되는 정리의 유사한 결과도 있다.

진술 및 첫 번째 결과

정확한 진술은 다음과 같다.^[3]$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$이(가) $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta}$이(가) 일정한 순위 p를 갖는$$ n차원 다지관의 차등 1 형태라고$$ 가정합시다.만약

${\displaystyle \theta {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta$\theta $\reft(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0},$ 어디서나$$,

그리고 좌표 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_n}$ -${\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , y p , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 로컬 시스템이 있다.

${\displaystyle \theta }$= ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$+${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ d ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ {$d} y_{$p$\}\}\}\}.$

반면에 만약

${\displaystyle \theta {}^{}}$(${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$) ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 0 ${\displaystyle \theta \deta \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq$ 0$}$ 도처에$$,

그리고 좌표 '${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- p${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$y p , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이 있는 로컬 시스템이 있다.

${\displaystyle \theta }$= x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}\mathrm{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$+${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle p{}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle x\mathrm{}}$ ${\displaystyle p_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ {$d}$x_${p$$1}.$

$\theta {\displaystyle {}^{}({d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $\theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq$ 0$}$ $도처$에서 n${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2p}}$+ 1 ${\displaystyle$n=$2p$$+$1}이 연락처인 경우$\theta$가 된다$$.

특히 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) n=2m 치수 다지관 M에 있는 복합형 2-폼이라고 가정한다.In a neighborhood of each point p of M, by the Poincaré lemma, there is a 1-form ${\displaystyle \theta }$ with ${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$. Moreover, ${\displaystyle \theta }$ satisfies the first set of hypotheses in Darboux's theorem, and so locally there is a coordinate chart U near p in which

${\displaystyle \theta }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y{}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle }$+${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle d{}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$

외부 파생 모델을 지금 구입하는 것은

${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d}x_{1}\mathrm {d}+\ldots +\mathrm {d}x_{m}\mathrm {d}\mathrm {d} y_{m}}}}}}}}\m}}}\m}}\m}}\m}}\m}\m}}\m}}\m}\m}}}$

U차트는 p 주위에 다부스차트라고 한다.^[4]다지관 M은 그러한 차트로 커버할 수 있다.

To state this differently, identify ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ with ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ by letting ${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$. If ${\displaystyle \varphi \colon U\to \mathbb {C} ^{n}}$is a Darboux chart, 그러면 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는) ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$에 있는 표준 컴플렉틱 형식 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$의 풀백이다$.$

$\displaystyle \omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,}$

리만 기하학과 비교

이 결과는 동일성 기하학에는 국부적 불변자가 없다는 것을 암시한다. 즉, Darboux의 기초는 항상 취해질 수 있으며, 주어진 지점 근처에서 유효하다.이는 리만 기하학에서 곡면성이 국소 불변성인 상황에서 측량계에 대한 방해는 국소적으로 좌표 차이의 제곱합이 되는 상황과 현저한 대조를 이룬다.

차이점은 다르부스의 정리에는 p를 전후해 전체 동네에서 Ω이 표준 형태를 취하도록 만들 수 있다고 명시돼 있다는 점이다.리만 기하학에서, 메트릭스는 항상 주어진 지점에서 표준 형태를 취하도록 만들어질 수 있지만, 항상 그 지점 주변의 이웃에서 만들어지는 것은 아니다.

참고 항목

• 카라테오도리-자코비-리 정리, 이 정리의 일반화.
• 심플렉틱 베이시스

메모들

참조

• Darboux, Gaston (1882). "Sur le problème de Pfaff". Bull. Sci. Math. 6: 14–36, 49–68.
• Pfaff, Johann Friedrich (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin: 76–136.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall.
• McDuff, D.; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9.

외부 링크

• "Proof of Darboux's Theorem". PlanetMath.
• G. Darboux, "On the Paff Problem" by D.H. 델페니치
• G. Darboux, "On the Pafe Problem (content.)" 번역본 D.H. 델페니치