힐버트 다지관

Hilbert manifold

수학에서 힐버트 다지관힐버트 공간을 모델로 한 다지관이다.그러므로 그것은 분리 가능하우스도르프 공간이며, 각각의 점들이 무한히 차원 높은 힐버트 공간인접 동형체를 가지고 있다.힐버트 다지관의 개념은 다지관의 이론을 무한 차원 설정으로 확장할 수 있는 가능성을 제공한다.유한차원 상황과 유사하게, 전이 지도가 다른 최대 지도책을 고려함으로써 서로 다른 힐버트 다지관을 정의할 수 있다.

특성.

다지관 이론의 접선 공간같은 다지관 이론의 많은 기본적인 구성들은 거의 변화 없이 유한 치수 상황으로부터 힐버트 설정으로 이월한다.그러나, 다지관들 사이의 지도를 포함하는 진술에서, 사람들은 종종 프레드홀름 지도, 즉 매 지점에서 다른 점이 프레드홀름인 지도에 대한 고려를 제한해야 한다.그 이유는 사르드의 보조정리기가 프레드홀름 지도를 받치고 있지만, 일반적으로는 그렇지 않기 때문이다.이런 차이에도 불구하고 힐버트 다지관은 몇 가지 아주 좋은 성질을 가지고 있다.

  • 쿠이퍼의 정리: 이(가) 콤팩트 위상학적 공간이거나 CW 복합체호모토피 타입이라면 위에 있는 모든 (실제 또는 복합) 힐버트 공간 번들은 사소한 것이다.특히 모든 힐버트 다지관은 평행할 수 있다.
  • 모든 부드러운 힐버트 다지관은 모델 힐버트 공간의 열린 부분집합에 부드럽게 내장될 수 있다.
  • 두 힐버트 다지관 사이의 모든 호모토피 균등성차이점형성에 동모양적이다.특히 힐버트 다지관은 2개의 호모토피 등가물마다 이미 차이점형이다.이는 렌즈 공간이나 이국적인 구체와는 대조적인 것으로서, 유한한 차원 상황에서 호모토피 동등성, 동형성, 다지관의 차이성 등이 구별되는 특성임을 증명한다.
  • 사드의 정리는 일반적으로 유지되지 않지만, 힐버트 다지관의 모든 연속 지도 :X → ^n}{은(는) 임계점이 없는 평활 g : n {^{n}}}}}}}에 의해 임의적으로 근접하게 추정될 수 있다.

  • Any Hilbert space is a Hilbert manifold with a single global chart given by the identity function on Moreover, since is a vector space, the tangent space to at any point (는) 으로 H {\ 그 자체에 이형성이 있으며, 따라서 자연적인 내부 제품인 "동일한"을 H 있는 것과 같은 "동일한"을 가지고 있기 에 H dismanna 다지수의 구조를 얻을 수 있다.
    여기서 ,, H \,\_{는 내부 제품을 . H 나타낸다.
  • 마찬가지로, 힐버트 공간의 어떤 열린 부분집합은 힐버트 다지관과 전체 공간과 동일한 구조 아래 있는 리만 다지관이다.
  • 다지관 사이에는 적절한 소볼레프 등급의 지도만을 고려하여 힐버트 공간으로 볼 수 있는 여러 개의 지도 공간이 있다.For example we can consider the space of all maps from the unit circle into a manifold This can be topologized via the compact open topology as a subspace of the space of all cont원으로부터 까지의 연속적인 매핑, 즉 M 자유 루프 L 자유 루프 공간과 동등한 호모토피다.이는 특히 문자열 위상 분야에서 자유 루프 공간의 대수적 위상 연구에 적합하게 한다.루프 공간에 대해 유사한 Sobolev 을 수행할 수 있으며 힐버트 하위 manifold가 된다 여기서 {\(는 . M의 차원이다.

참고 항목

참조

  • Klingenberg, Wilhelm (1982), Riemannian Geometry, Berlin: W. de Gruyter, ISBN 978-3-11-008673-7. Hilbert 다지관에 대한 일반적인 소개와 자유 루프 공간에 대한 많은 세부 사항을 포함한다.
  • Lang, Serge (1995), Differential and Riemannian Manifolds, New York: Springer, ISBN 978-0387943381. 차등 위상이 더 많은 또 다른 소개.
  • N. Kuiper, Hilbert 공간의 단일 군집단의 호모토피 유형", 토폴로지 3, 19-30
  • J. Eells, K. D.Elworth, "Hilbert 다지관의 미분위상", Global 분석.순수 수학에서의 심포비아의 진행, 제 XV 1970권, 41-44.
  • J. Eells, K. D.Elworth, "특정 바나흐 다지관의 개방된 임베딩", 수학 연보 91 (1970), 465-485
  • D. Chataur, "현악 토폴로지에 대한 보르디즘 접근법", 사전 인쇄 https://arxiv.org/abs/math.at/0306080

외부 링크