엄격히 볼록한 공간

가운데 그림의 단위 공은 엄격히 볼록한 반면 나머지 두 공은 볼록하지 않다(경계의 일부로 선 세그먼트를 포함한다).

수학에서 엄격히 볼록한 공간은 규범화된 벡터 공간(X, )으로, 닫힌 단위 공은 엄격히 볼록한 집합이다.다른 방법으로, 엄격히 볼록한 공간은 단위 구 sphereB(X의 단위 공 B의 경계)에 있는 두 개의 구별되는 x와 y를 볼 때, x와 y를 결합하는 세그먼트는 x와 y에서만 bB를 만나는 공간이다.엄격한 볼록도는 내부 제품 공간(모든 내부 제품 공간은 엄격히 볼록함)과 구조 면에서 일반적인 규범 공간 사이의 어딘가에 있다.또한 그러한 근사치가 존재한다면 볼록한 아공간 Y에서 X(강력한 볼록)의 원소에 대한 최상의 근사치의 고유성을 보장한다.

만일 규범된 공간 X가 완성되어 일률적으로 볼록한(엄격한 볼록한 볼록함을 암시함)이라는 약간 더 강한 성질을 만족시킨다면, 그것은 또한 밀만-페티스 정리에 의해 반사된다.

특성.

다음 성질은 엄격한 볼록도에 해당한다.

• 표준 벡터 공간(X, )은 x ≠ y와 x = y = 1이 함께 x + y < 2를 암시하는 경우에만 엄격히 볼록하다.
• 표준 벡터 공간(X, )은 x x y와 x = y = 1을 합쳐서 0 < αx + (1 - α)y < 1을 모두 합쳐서 암시하는 경우에만 엄격히 볼록하다.
• 표준 벡터 공간(X, )은 x ≠ 0과 y ≠ 0과 x + y = x + y가 함께 어떤 상수 c > 0에 대해 x = cy를 암시하는 경우에만 엄격히 볼록하다.
• 표준 벡터 공간(X, )은 (X, )에 대한 볼록도 Δ가 Δ(2) = 1을 만족하는 경우에만 엄격히 볼록하다.

참고 항목

• 균일 볼록한 공간
• 수율과 볼록특성

참조

• Goebel, Kazimierz (1970). "Convexity of balls and fixed-point theorems for mappings with nonexpansive square". Compositio Mathematica. 22 (3): 269–274.