투영 값 측정값

수학에서, 특히 기능 분석에서, 투영 값 측정(PVM)은 고정된 집합의 특정 하위 집합에 대해 정의된 함수로서, 그 값은 고정된 힐버트 공간의 자기 적응형 투영이다.투영 값 측정은 값이 실제 숫자가 아닌 자기 적응형 투영이라는 점을 제외하고, 공식적으로 실제 값 측정과 유사하다.통상적인 조치의 경우와 마찬가지로 PVM에 관해서 복잡한 가치 함수를 통합할 수 있다. 그러한 통합의 결과는 주어진 힐버트 공간의 선형 연산자다.

투영 값 측정은 자기 적응 연산자에 대한 중요한 스펙트럼 정리 등 스펙트럼 이론에서 결과를 표현하기 위해 사용된다.자가 적응 연산자를 위한 보렐 함수 미적분은 PVM에 관한 통합을 사용하여 구성된다. 양자역학에서 PVM은 투영적 측정의 수학적 설명이다.^{[clarification needed]}그것들은 혼합 상태 또는 밀도 행렬이 순수 상태의 개념을 일반화한다는 동일한 의미에서 양성 운영자 가치 측정(POVM)에 의해 일반화된다.

형식 정의

A projection-valued measure ${\displaystyle \pi }$ on a measurable space ${\displaystyle (X,M)}$, where ${\displaystyle M}$ is a σ-algebra of subsets of ${\displaystyle X}$, is a mapping from ${\displaystyle M}$ to the set of self-adjoint projections on a Hilbert space ${\displaystyle H}$ (i.e. 직교 투영) 다음과 같은 경우

${\displaystyle \pi(X)=\operatorname {id} _{H}\quad }$

${\displaystyle (}$여기서 ${\displaystyle {\mathrm{ID}}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \_}$${H}$는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \$xi ,\eta $\in H$ 다음 함수 M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ {$C}}}$의 $ID$ ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$임.

$\displaystyle E\mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \angle }$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한 복잡한 측정($$즉, 복잡하게 값진 가산 함수)이다.

우리는 이 조치를 S ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \xi }$ ,$){\displaystyle \operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$로 나타낸다$.$

$S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \xi }$ ,${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle \operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\xi )}$은(는) 실제 값 측정값이며$$, $\xi {\displaystyle }$ ${\displaysty \xi }$의 길이가 1일$$ 때의 확률 측정값입니다.

$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$이(가) 투영 값 측정값인$$ 경우

${\displaystyle E\cap F=\emptyset ,}$

$그러면{\displaystyle }$ $이미지{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle E}$ )$${\$displaystyle \pi (E$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle F)}${\$displaystyle \pi (F)}$이(가) 서로 직교한다.이 다음부터는 일반적으로

${\displaystyle \pi(E)\pi(F)=\pi(E\cap F)=\pi(F)\pi(E),}$

그리고 그들은 통근한다.

예.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,M,\mu )}$이(가) 측정 공간이라고 가정합시다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 모든 측정 가능한 부분 집합 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에 대해 Let$,$ ,

$[\displaystyle \pi(E):L^{2}(\mu )\to L^{2}(\mu ):\psi \mapsto \chi _{E}\psi }$

L²(X)의$$ 표시기 함수 $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$에 의한 곱셈의 연산자다.그러면 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 투영 값 측정값이다$$.

투영 값 측정, 통합 및 스펙트럼 정리의 확장

π이 측정 가능한 공간(X, M)에 대한 투영 값 측정값인 경우, 지도

$\displaystyle \chi _{E}\mapsto \pi(E)}$

X의 단계 함수의 벡터 공간에 있는 선형 지도까지 확장된다.사실 이 지도가 고리동형주의인지 쉽게 확인할 수 있다.이 지도는 X의 모든 경계 복합 값 측정 가능한 함수에 표준적인 방식으로 확장되며, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

정리.X의 모든 경계 M-측정 가능 함수 f에 대해, 고유한 경계 선형 연산자가 존재한다.

${\displaystyle \mathrm {T} _{\pi }(f):H\to H}$

그런

${\displaystyle \langle \operatorname {T} _{\pi }(f)\xi \angle =\int_{X}f\d\\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$

대체적으로 $\displaystyle \xi,\eta \in H,}$ 어디에 ${\displaystyle \operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )}$ 복잡한 수단을 나타내다.

$\displaystyle E\mapsto \langle \pi(E)\xi \mid \eta \angle }$

$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 정의로부터$.$

지도

${\displaystyle {\mathcal {BM}(X,M)\to {\mathcal {L}(H):f\mapsto \operatorname {T} _{\pi }(f)}$

반지의 동형상이다.

${\displaystyle T_{}}$ notation ${\displaystyle }$ (${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)}$에 통합 표기법이 흔히 사용된다$.$

${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)=\int _{X}f(x)\,d\pi=\int _{X}f\,d\pi .}$

이 정리는 무한의 측정 가능한 함수 f에 대해서도 정확하지만, 그 $다음{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ T ${\displaystyle {\pi }_{}(}$ (${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \operatorname {T} _{\pi }(f)}$은 힐버트 공간 H에서 무한의 선형 연산자가 될 것이다$$.

스펙트럼 정리는 모든 자가 적응 연산자 ${\displaystyle A}$: H${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle A:$$H\to H}$은(는) 실제$$ 축에 정의된 관련 투영 값 측정$${\$displaystyle \pi$_{$A}$을(를) 가지고$$ 있다.

${\displaystyle A=\int _{\mathb {R} }x\,d\pi _{A}(x).}$

$이$를 통해 이러한 연산자에 대해 보렐 함수(g :${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ $\mathb$ {$C})$를 정의할 수 있다$.$

$(\displaystyle g(A):=\int _{\mathb {R} }g(x)\,d\pi _{A}(x).}$

투영 값 측정의 구조

먼저 직접 통합에 기초한 투영 값 측정의 일반적인 예를 제공한다.(X, M, μ)이 측정 공간이며 {H_x}_{x ∈ X} 을(를) 분리 가능한 힐버트 공간의 μ 측정 가능한 가족이 되게 한다고 가정하십시오.모든 E ∈ M에 대해 bert(E)를 힐버트 공간에서 1만큼_E 곱셈의 연산자가 되게 한다.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\d\mu (x)}$

그 다음 π은 (X, M)에 대한 투영 값 측정값이다.

π, ρ은 (X, M)에 대한 투영 값 측정값이며, H, K의 투영 값이라고 가정하고, ρ은 다음과 같은 단일 연산자 U:H → K가 있는 경우에만 단위당 동등하다.

$[\displaystyle \pi(E)=U^{*}\rho (E)U\quad }$

모든 E ∈ M에 대해.

정리.(X, M)이 표준 보렐 공간인 경우, 분리 가능한 힐버트 공간의 투영에서 값을 취하는 모든 투영 값 측정 on on (X, M)에 대해, 힐버트 공간에서는 1의 곱셈과 단위적으로 같은_E 힐버트 공간 {H_x}_{x ∈ X} 의 μ 측정 가능한 계열과 μ 측정 가능한 힐버트 공간이 있다.

${\displaystyle \int _{X}^{\oplus }H_{x}\d\mu (x)}$

μ의 측정 등급과^{[clarification needed]} 다중성 함수의 측정 동등성 등급 x → dim H는_x 단일성 등가까지 투영 값 측정을 완전히 특성화한다.

투영 값 측정값 π은 다중성 함수가 일정한 값 n을 갖는 경우에만 다중성 n의 동질이다.분명히,

정리.분리 가능한 Hilbert 공간의 투영에서 값을 취하는 모든 투영 값 측정치는 동종 투영 값 측정치의 직교 직계 합이다.

${\displaystyle \pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \leq \omega}(\pi \mid H_{n})}$

어디에

${\displaystyle H_{n}=\int _{X_{n}^{\oplus }H_{x}\(\mu \mid X_{n})(x)}$

그리고

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.}$

양자역학의 응용

양자역학에서는 힐버트 공간 H에 대한 연속적 내형성 공간에 대한 측정 가능한 공간 X의 투영 값 측정치를 부여한다.

• Hilbert 우주 H의 단위 구는 양자 시스템의 가능한 상태 Ⅱ의 집합으로 해석된다.
• 측정 가능한 공간 X는 시스템의 일부 양자 특성에 대한 값 공간이다("관측 가능한").
• 투영 값 측정값 π은 관측 가능한 값이 다양한 값을 가질 확률을 나타낸다.

X에 대한 공통적인 선택은 실선이지만, 실선일 수도 있다.

• R³(3차원의 위치 또는 운동량용)
• 이산형 집합(각운동량, 바운드 상태의 에너지 등)
• φ에 관한 임의적 명제의 진실 가치에 대한 2 포인트 세트 "true"와 "false".

E는 측정 가능한 공간 X와 meas의 측정 가능한 부분집합이 되어 H에서 정상화된 벡터 상태를 유지하도록 하여 Hilbert 규범이 φ = 1이 되도록 한다.관측 가능한 시스템이 상태 Ⅱ에서 주어진 부분집합 E에서 그 값을 취할 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\pi }(\varphi )}(E)=\langle \varphi \mid \pi(E)(\varphi )\angle =\langle \varphi \pi(E) \varphi \rangele ,}$

물리학에서 후자의 표기법이 선호되는 경우.

우리는 이것을 두 가지 방법으로 구문 분석할 수 있다.

첫째, 각 고정 E에 대해, 투영 ((E)은 H에 대한 자체 적응 연산자로, 1-Eigenspace는 관측 가능성의 값이 항상 E에 있는 상태 φ이고, 0-Eigenspace는 관측 가능성의 값이 E에 결코 있지 않은 상태 φ이다.

둘째, 고정된 각 정규화된 벡터 상태 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$에 대해$$연결

${\displaystyle P_{\pi }(\psi }):E\mapsto \langle \psi \mid \pi (E)\psi \angle }$

관측 가능한 값을 랜덤 변수로 만드는 X에 대한 확률 측정값이다.

투영 값 측정값 π으로 수행할 수 있는 측정을 투영 측정이라고 한다.

X가 실제 숫자 선인 경우, π과 관련하여 H에 의해 정의된 은둔자 연산자 A가 존재한다.

${\displaystyle A(\varphi )=\int _{\mathbf {R}}}\lambda \,d\pi(\lambda )(\varphi ),}$

좀 더 읽기 쉬운 형태를 취하고 있는

${\displaystyle A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi({\lambda _{i})(\varphi )}}$

π의 지원이 R의 이산 하위 집합인 경우.

위의 연산자 A를 스펙트럼 측정과 관련된 관측 가능이라고 한다.

그렇게 얻은 연산자를 양자역학에서는 관측 가능한 연산자라고 부른다.

일반화

투영 값 측정의 개념은 투영 사업자가 내포한 직교성의 필요성이 통일의^{[clarification needed]} 비직교적 분할인 연산자 집합의 개념으로 대체되는, 양성 연산자 가치 측정(POVM)에 의해 일반화된다.이러한 일반화는 양자정보이론에 대한 응용에 의해 동기부여가 된다.

참고 항목

• 스펙트럼 정리
• 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론
• 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론

참조

• Moretti, V. (2018), Spectral Theory and Quantum Mechanics Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation, vol. 110, Springer, ISBN 978-3-319-70705-1
• Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• 맥키, G. W., 시카고 대학 출판부의 유니터리 그룹 대표 이론, 1976
• M. 리드와 B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I-IV, Academic Press 1972.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• G. Teschl, Schrödinger Operators에 응용한 Quantum Mechanics의 수학적 방법, https://www.mat.univie.ac.at/~message/book-schro/, American Mathemical Society, 2009.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• V.S. 바라다라잔, 양자 이론의 기하학 V2, 스프링거 베라크, 1970.