불변 하위 공간 문제

함수 분석으로 알려진 수학 분야에서 불변 아공간 문제는 복잡한 바나흐 공간의 모든 경계 운영자가 비종교적인 닫힌 아공간을 자신에게 보내는지를 묻는 부분 미해결의 문제다.고려된 경계 연산자의 클래스를 제한하거나 바나흐 공간의 특정 클래스를 지정함으로써 문제의 많은 변형이 해결되었다.문제는 분리 가능한 힐버트 공간에 대해 여전히 열려 있다(다시 말해, 비독점적 불변 서브스페이스가 없는 운영자의 모든 예는 분리 가능한 힐버트 공간이 아닌 바나흐 공간에 작용한다.

역사

문제는 콤팩트한 사업자의 사례에 대해 긍정적인 해결책을 발견(그러나 출판한 적은 없음)^[1]한 벌링과 폰 노이만의 작업을 거쳐 1900년대 중반에 진술된 것으로 보인다.$그{\displaystyle {}^{}}$ 후 Paul Halmos가 T ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}가$$$$ 콤팩트한 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$의 $경우$를 위해 포즈를 취했다.이것은 앨런 R에 의해 보다 일반적인 다항식 컴팩트 연산자($operator{\displaystyle }$ T {\$displaystyle$$$P$(T)}$이(가${\displaystyle )}$ 적절하게 선택된 0이 아닌 $다항식{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$을(를$$) 위한 콤팩트 연산자)$$인 다항식 연산자 T ${\$displaystyty T}에 대해 $긍정적$으로 해결되었다. 1966년 번스타인과 아브라함 로빈슨(증거 요약은 비표준 분석 § Invariant 하위 공간 문제 참조).

Banach 공간의 경우, 불변 하위 공간이 없는 연산자의 첫 번째 예는 Per Enflo에 의해 구성되었다.그는 1976년에 개요를 발표하면서 1975년에 불변적인 서브 스페이스 문제에 대한 예를 제안하였다.엔플로(Enflo)는 1981년 전문을 제출했고, 이 기사의 복잡성과 길이는 1987년^[2] 엔플로(Enflo)의 오랜 "수학자 사이에 세계적인 유통이 있었다"^[1]로 출판을 지연시켰고, 일부 사상은 엔플로(1976년) 이외의 출판물에 기술되었다.^[3]예를 들어, Enflo의 작품은 Enflo의 아이디어를 인정한 Beauzamy에 의해 불변적인 하위 공간이 없는 운영자의 유사한 건설에 영감을 주었다.^[2]

1990년대에 Enflo는 Hilbert 공간의 불변적인 아공간 문제에 대한 "건설적" 접근법을 개발했다.^[4]

정밀한 명세서

형식적으로 치수 > 1의 복잡한$$ 바나흐 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대한 불변성 아공간 문제는 모든 경계 선형 연산자 ${\displaystyle T}$: H${\displaystyle }$→ H ${\displaystyle T:$$H\to H}$ has a non-trivial closed ${\displaystyle T}$-invariant subspace: a closed linear subspace ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle H}$, which is different from ${\displaystyle \{0\}}$ and from ${\displaystyle H}$, such that ${\displaystyle T(W)\subset W}$.

문제에 대한 부정적인 대답은 궤적 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 속성과 밀접하게 관련되어 있다$.$ x ${\displaystyle x}$이(가) Banach 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 요소라면$,$ $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle T}$의 작용에 $따른$ x ${\$$displaystytyle [x]$의 궤도는 하위 항목이다$.$space generated by the sequence ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$. This is also called the ${\displaystyle T}$-cyclic subspace generated by ${\displaystyle x}$. From the definition it follows that ${\displaystyle [x]}$ is a ${\displaystyle T}$-invariant subspace.Moreover, it is the minimal ${\displaystyle T}$-invariant subspace containing ${\displaystyle x}$: if ${\displaystyle W}$ is another invariant subspace containing ${\displaystyle x}$, then necessarily ${\displaystyle T^{n}(x)\in W}$ for all ${\displaystyle n\geq 0}$ (since ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$ is ${\displaystyle T}$-invariant), and so ${\displaystyle [x]\subset W}$. If ${\displaystyle x}$ is non-zero, then ${\displaystyle [x]}$ is not equal to ${\displaystyle \{0\}}$, so its closure is either the whole space ${\displaystyle H}$ (in which case ${\d$$isplaystyle x}$은(는) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$의 순환 벡터 또는 비종교 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ - invariant$$ 하위 공간이라고 한다$$.따라서 불변 아공간 문제에 대한 중요한 예는 Banach 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 및$$ 경계 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ → H $displaystyle T:$$H\to H}$ for which every non-zero vector ${\displaystyle x\in H}$ is a cyclic vector for ${\displaystyle T}$. (Where a "cyclic vector" ${\displaystyle x}$ for an operator ${\displaystyle T}$ on a Banach space ${\displaystyle H}$ means one for which the orbit ${\displaystyle [x]}$ of ${$$\displaystyle x}$은(는) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 조밀도가 있음$$.$$

알려진 특별한 경우

분리 가능한 Hilbert 공간에 대한 불변 하위 공간 문제의 경우는 여전히 열려 있지만, 위상학적 벡터 공간(복잡한 숫자의 영역에 걸쳐)에 대해 몇 가지 다른 사례가 해결되었다.

• 2개보다 큰 차원의 유한차원 복합 벡터 공간에 대해서는 모든 운영자가 고유벡터를 허용하므로 1차원 불변성 서브공간을 가지고 있다.
• 힐베르트 $공간{\displaystyle }$ H$${\$displaystyle H$}을(를) 분리할 수 없는 경우(즉, 계산할 수 없는 정형외과적 기초가 있는 경우)에 대한 추측이 맞다.실제로, $x{\displaystyle }${\$displaystyle x$}이(가) H$${\$displaystyle$$$H}의 0이 아닌 벡터인 경우$,$ 선형 궤도의 표준 폐쇄 [$x]$는 (구성에 의해) 분리할 수 있으며, 따라서 적절한 아공간과 불변성이기도 하다.
• 폰 노이만은 힐버트 공간의 최소 2차원 컴팩트한 연산자는 비독점적 불변성 아공간을 가지고 있다는 것을 보여주었다^[5].
• 스펙트럼 정리는 모든 정상 연산자가 불변 서브스페이스를 인정한다는 것을 보여준다.
• Aronszajn & Smith(1954)는 치수 2 이상의 Banach 공간에 있는 모든 소형 운영자가 불변적인 하위 공간을 가지고 있다는 것을 증명했다.
• 번스타인과 로빈슨(1966)은 비표준 분석을 사용하여 힐버트 공간의$$ $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$이(가) 다항식 $콤팩트{\displaystyle }$(다른 말로 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle T}$) ${\$$displaystyle p$일 $경우{\displaystyle }$ T ${\displaystytle$ T$}$에 불변$$ 하위 공간이 있음을 입증했다.그들의 증거는 무한 차원 힐버트 공간을 하이퍼피니트 차원 힐버트 공간에 내장한다는 독창적인 아이디어를 사용한다(비표준 분석 참조).불변 하위 공간 문제).
• 할모스(1966년)는 로빈슨의 프리프린트를 본 후, 그것으로부터 비표준적인 분석을 없애고 같은 저널의 같은 호에 더 짧은 증거를 제공했다.
• 로모노소프(1973)는 Banach 공간의$$ $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle T}$이(가) 0이 아닌 콤팩트 연산자와 $통근$할$$경우 T {\$displaystytle$ T$}$에 비삼각적 불변성 하위 공간이 있다는$$ Schauder 고정점 정리를 사용하여 매우 짧은 증거를 제시했다.이것은 운영자가 그 자체로 어떤 다항식과도 통근하기 때문에 다항식 콤팩트 연산자의 경우를 포함한다.보다 일반적으로 $그$는 S ${\displaystyle$ S$}$이(가) 0이 아닌 콤팩트 연산자와 통근하는$$ 비스크롤 $연산자{\displaystyle }$ T ${\displaystyle$ T$}$과(와) 통근할$$ $경우{\displaystyle }$ S ${\displaysty$ S$}$에는 불변성 하위 공간이 있음을$$ 보여주었다.^[6]
• 비교불변형 서브스페이스가 없는 Banach 공간의 연산자의 첫 번째 예는 Per Enflo(1976, 1987년)에 의해 발견되었고, 그의 예는 Beauzamy(1985)에 의해 단순화되었다.
• "클래식적인" 바나흐 공간에 대한 첫 번째 표본은 찰스 리드(1984, 1985년)에 의해 발견되었는데, 그는 불변적인 서브스페이스가 없는$$ 고전적인 바나흐 공간 $l{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 연산자를 설명했다.
• Later Charles Read (1988) constructed an operator on ${\displaystyle l_{1}}$ without even a non-trivial closed invariant subset, that is that for every vector ${\displaystyle x}$ the set ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$ is dense, in which case the vector is called hypercyclic (the di주기 벡터의 경우에 대한 추론은 우리가 이 경우$$ 지점${\displaystyle }${${\displaystyle {Tn}^{}}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}}$에 의해 생성된 하위 공간을 차지하지 않는다는 것이다.
• 아츠몬(1983)은 핵 프레셰트 공간에 불변적인 서브스페이스가 없는 운용자의 예를 들었다.
• śliwa(2008)는 비 아르키메데스 필드 위에 카운트할 수 있는 유형의 무한 치수 Banach 공간이 비종교 폐쇄 불변성 하위 공간 없이 경계 선형 연산자를 허용한다는 것을 증명했다.이로써 1992년 판 루이와 시크호프가 제기한 이 문제의 비아키메데스 판은 완전히 해결되었다.
• Argyros & Haydon (2009) harvtxt error: no target: CITREFArgyrosHaydon2009 (도움말)는 모든 연속 연산자가 콤팩트 연산자와 스칼라 연산자의 합이 될 수 있도록 무한 차원 Banach 공간을 제공하였으므로, 특히 모든 연산자는 불변 서브스페이스가 있다.

메모들

참조

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002), An Invitation to Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, vol. 50, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/050, ISBN 978-0-8218-2146-6, MR 1921782
• Argyros, Spiros A.; Haydon, Richard G. (2011), "A hereditarily indecomposable L_∞-space that solves the scalar-plus-compact problem", Acta Math., 206 (1): 1–54, arXiv:0903.3921, doi:10.1007/s11511-011-0058-y, MR 2784662, S2CID 119532059
• Aronszajn, N.; Smith, K. T. (1954), "Invariant subspaces of completely continuous operators", Annals of Mathematics, Second Series, 60 (2): 345–350, doi:10.2307/1969637, JSTOR 1969637, MR 0065807
• Atzmon, Aharon (1983), "An operator without invariant subspaces on a nuclear Fréchet space", Annals of Mathematics, Second Series, 117 (3): 669–694, doi:10.2307/2007039, JSTOR 2007039, MR 0701260
• Beauzamy, Bernard (1985), "Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l'exemple de P. Enflo" [An operator with no invariant subspace: simplification of the example of P. Enflo], Integral Equations and Operator Theory (in French), 8 (3): 314–384, doi:10.1007/BF01202903, MR 0792905, S2CID 121418247
• Beauzamy, Bernard (1988), Introduction to operator theory and invariant subspaces, North-Holland Mathematical Library, vol. 42, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-70521-1, MR 0967989
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• Enflo, Per (1987), "On the invariant subspace problem for Banach spaces", Acta Mathematica, 158 (3): 213–313, doi:10.1007/BF02392260, MR 0892591
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