진동

Fibration

수학의 한 분야인 위상에서 진동섬유다발 개념을 일반화한 것이다.섬유다발은 하나의 위상학적 공간(섬유라고 함)이 다른 위상학적 공간(기초라고 함)에 의해 "모수화"되고 있다는 생각을 정밀하게 만든다.진동은 섬유 다발과 같다. 단, 섬유들이 같은 공간이나 심지어 동형질일 필요는 없다. 오히려, 그것들은 단지 동형질일 뿐이다.약한 섬유는 더 기술적인 특성에 대한 이 동등성조차도 폐기한다.null

섬유는 더 제한적인 섬유 묶음 케이스를 정의하는 지역 카르테시안 제품 구조를 가지고 있는 것이 아니라 섬유에서 섬유로 "측면" 이동할 수 있는 더 약한 것을 가지고 있다.섬유다발은 특히 단순한 호모토피 이론을 가지고 있어, 이러한 구성 공간 중 하나 또는 둘 다에 대한 정보로부터 번들에 대한 위상학적 정보를 유추할 수 있다.진동은 호모토피 이론의 관점에서 섬유다발처럼 행동할 것을 보장하는 추가적인 조건(호모토피 리프팅 속성)을 만족시킨다.null

섬유는 호모토피 확장 속성에 상응하는 이중 개념으로 코피션에 이중적이다. 이를 Eckmann-Hilton 이중성으로 느슨하게 알려져 있다.null

형식 정의

진동(또는 후레위츠 진동 또는 후레위츠 섬유 공간, Witold Hurewicz의 이름을 딴 것)은 모든 공간에 대한 호모토피 리프팅 특성을 만족하는 연속 p: 이다.Fiber bunds (paracompact base)는 중요한 예를 구성한다.호모토피 이론에서, 모든 지도는 '진동만큼' 좋다. 즉, 어떤 지도도 진동이 뒤따르는 "진동 경로 공간"에 호모토피 동등성으로 간주될 수 있다.null

섬유는 정의상 B 지점의 역 영상인 E의 하위 공간이다.기준 공간 B가 경로로 연결된 경우, B에서 서로 다른 두 b 1 스타일 }와 b {\ 스타일 }}개의 섬유가 호모토피 등가라는 정의의 결과다.그러므로 보통 "섬유" F를 말한다.

세레 섬유

CW 콤플렉스에 대한 호모토피 리프팅 특성(또는 동등하게 큐브 I을 연속적으로 매핑하는 것을 장-피에르 세레의 논문에서 개념에 의해 연주되는 부분을 기리기 위해 세레 진동 또는 약한 진동이라고 한다.이 논문은 대수적 토폴로지에서 스펙트럼 시퀀스의 사용을 확고히 정립하고, 섬유다발과 섬유질의 개념을 쉬프의 개념에서 명확히 구분하였다(두 개념 모두 함께 장 르레이의 개척적 치료에 함축되어 있었다).한 조각(에탈레 공간이라고 생각되는 것)은 지역적 동족상응주의로 간주될 수 있기 때문에, 그 개념들은 당시에 밀접하게 연관되어 있었다.세레진동이 주어지면 일반적으로 F섬유의 코호몰로지에는 B기반의 기본 그룹의 작용이 있다.이 작용이 사소한 경우, Serre 스펙트럼 시퀀스는 베이스와 섬유질의 코호몰로지 측면에서 총 공간 E의 코호몰리를 계산하는 방법을 제공한다.이 작용이 비경쟁적인 경우, 국소 시스템에서 계수를 대신 취하는 유사한 스펙트럼 시퀀스가 있다.null

세레 섬유는 일반적으로 섬유보다 엄격히 약하다는 점에 유의하십시오. 호모토피 리프팅 특성은 큐브(또는 CW 복합체)에만 고정하면 되며, 일반적으로 모든 공간에 고정하면 안 된다.결과적으로, 섬유는 심지어 호모토피 등가물이 아닐 수 있으며, 아래에 명시적인 예가 제시되어 있다.null

다음 예에서는 진동이 표시된다.

FEB,

여기서 첫 번째 지도는 총 공간 E에 "the" 섬유 F를 포함하는 것이고 두 번째 지도는 기초 B에 대한 진동이다.이것을 진동 시퀀스라고도 한다.null

  • 제품 공간의 투영 맵은 매우 쉽게 진동이 되는 것으로 보인다.
  • 섬유다발국소적인 사소한, 즉 카르테시안 제품 구조가 B로컬로 존재하며, 이것은 보통 섬유다발이 진동이라는 것을 보여주기에 충분하다.보다 정확히 말하면, B숫자형 오픈커버 위에 국소적인 사소한 것이 있는 경우, 번들은 진동이다.파라콤팩트 공간의 모든 개방형 커버는 숫자의 정교함을 가지고 있다.예를 들어, 미터법 공간의 모든 개방형 커버는 국소적으로 한정된 정교함을 가지고 있으므로, 그러한 공간에 걸쳐 있는 모든 묶음은 진동이다.국소적인 사소한 것 또한 적어도 B의 각각의 연결된 구성 요소에 잘 정의섬유(동형성까지)의 존재를 내포하고 있다.
  • Hopf 진동 S1 S3 S2 역사적으로 초기 진동의 비견례 중 하나였다.
  • 홉프 섬유는 복잡한 투영 공간에 걸쳐 일반화되며, 진동 S1 → S → CP2n+1n 있다.1 예는 CP가 S2 대해 동형이기 때문에 n=1의 경우 특별한 경우다.
  • 홉프 섬유는 진동이 있는 Sp1 S4n+3HPn Quaternionic 투영 공간을 통한 섬유로 일반화된다.여기 있는 섬유는 단위 쿼터니온즈 Sp1 그룹이다.
  • Serre fibration SO(2) SO(3) S2 2-sphere S2 대한 회전 그룹 SO(3)의 작용에서 비롯된다.참고로 SO(3)는 실제 투영 공간 RP3 동형이며, 따라서3 S는 SO(3)의 이중 커버이며, 따라서 Hopf fibration은 범용 커버라는 점에 유의한다.
  • 앞의 예는 n-sphere에서 특수직교군 SO(n+1)의 작용에서 오는 비음정수 n(n > 1)에 대해 단순한 점이 아닌 섬유만을 가지고 있을 뿐)에 대해서도 진동 SO(n) → SO(n+1) → Sn 일반화할 수 있다.

지도를 진동으로 바꾸는 것

f:XY→{\displaystyle f:X\to Y}어떤 연속 지도가 복합 X↪ Ef↠ Y{\displaystyle X\hookrightarrow E_{f}\twoheadrightarrow Y}[1]이 Ef↠ Y{\displaystyle E_{f}\twoheadrightarrow Y}은 fibration 및 X↪ Ef{\displaystyle X\hookrightarrow E_{f}}은 동위 등가로 반영될 수 있다.. = (, ) Y을(를) 매핑 공간(콤팩트-오픈 토폴로지를 사용하여)으로, 진동 공간은 다음과 같이 구성된다.

지도 : f→ Y 보내기 ,) ( )

호모토피 리프팅 특성을 확인하면 이 지도가 실제로 진동을 형성하는지 확인할 수 있다.null

지도 i: f( ){가 주어져 있으며 여기서 f ( )_{f(는 일정한 경로로 있다.null

호모토피 섬유의 변형 수축이 있음

이 포함에 호모토피 동등성 X을 부여한다

약한 진동 예제

앞의 예들은 모두 호모토피와 동등한 섬유들을 가지고 있다.이것은 일반적으로 섬유화의 경우일 수 있지만, 반드시 약한 섬유화의 경우일 수는 없다.다음 예에서 알 수 있듯이 약한 진동의 개념은 진동보다 엄격히 약하다: 섬유는 심지어 같은 호모토피 타입도 가지고 있지 않을 수 있다.null

다음과 같이 평면R 2 {\{R}}}의 부분 집합을 고려하십시오.

단위 간격 = ={ : 0 ≤ x 에 의해 주어진 기본 공간 1 p( ,) = .{\(가) 세레 진동임을 쉽게 알 수 있다.단, - ( ) p ( - () 의 섬유는 호모토피 등가물이 아니다.공간 - ( 1) I p I은 총 공간 에 분명한 주입을 하고 기본 B 에 명백한 호모토피(상수 함수를 가지고 있지만, 이는 들어올릴 수 없으며, 따라서 일반적으로 진동이 될 수 없다.null

호모토피 그룹의 긴 정확한 순서

Choose a base point Let F refer to the fiber over that is, F = p−1({b0}); and let be the inclusion Choose a base point and let e0 = i(f0).이러한 기준점에 있어서, Puppete 시퀀스는 긴 정확한 시퀀스가 있다는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있다.

F섬유호모토피 그룹, E섬유의 총공간, B기초공간으로 구성된다.동형문자n ((F)((Enn)((Bn)각각 i와 p로부터 유도된 동형문자일 뿐이다.π과0 관련된 지도는 π이0 집단이 아니기 때문에 집단 동형성은 아니지만, 이미지가 커널과 같다는 점에서 정확하다(여기서 "중립요소"는 기저점을 포함하는 연결된 구성요소다).null

이 순서는 비록 두 사건의 증거가 약간 다르지만 양쪽의 섬유와 약한 섬유에 대해 유지된다.null

증명

위의 순서가 잘 정의되어 있고 정확하다는 것을 증명하는 한 가지 가능한 방법은, Puppet 순서와 접촉을 피하면서 다음과 같이 직접 진행하는 것이다.제3세트의 동형상 βn : πn(B) πn−1(F) (뱀 보조마(brema)에 관한 것)는 유도된 동형상(connecting homomorphism)이라 불리며, 다음과 같은 단계로 해당 호모토피 그룹에서 직접 정의된다.null

  1. 첫째, 작은 용어n: Δn : S → Dn+1 경계 n-sphere를 (n+1)-ball에 포함하는 것으로 한다.γn : Dn Sn Dn Δn−1 이미지를 한 점으로 축소하는 지도로 한다.
  2. φ : Sn Bπn(B) 원소의 대표 지도가 되게 한다.
  3. Dn n차원 입방체에 동형이기 때문에 호모토피 리프팅 특성을 적용하여 초기 조건 f0 withn 리프트n → : D → E (, p = = ∘ γ γn)를 구성할 수 있다.
  4. γn Δn−1 포인트 맵(이하 "pt"라 한다)이기 때문에 pt = φ γn δ Δn−1 = p δ δn−1n−1 Δ이미지가 F에 있음을 암시한다.따라서 지도 ∘ : S → Fn−1 존재하여 i ∘ = δn−1 Δ가 있다.
  5. βn [φ] = [ψ]를 정의한다.

위 내용은 다음과 같은 역행도에 요약되어 있다.

Fibration homotopy groups LES connecting morphism diagram.svg

호모토피 리프팅 특성의 반복적인 적용은 βn 잘 정의되어 있고(특정 리프트에 의존하지 않으며), 논거의 호모토피 등급에만 의존하며, 동형상이며, 긴 시퀀스가 정확하다는 것을 증명하기 위해 사용된다.null

반면 fibration의 homotopy에 쌍 F⊆ E{F\subseteq E\displaystyle}의 친척 homotopy[2]에 있는 긴 정확한 시퀀스에서 긴 정확한 시퀀스를 가져옵니다. 상대적인 동위 그룹 사용할 수 있는 하나는 E의 n-th 동위 그룹{E\displaystyle}F{F\displaystyle}에 비례를 사용하여 동형에 t.그base 의 n번째 호모토피 그룹

또한 역방향으로 진행될 수도 있다.진동이 매핑 파이버(맵핑 콘에 대한 이중, 공동진동)인 경우, 정확한 Puppete 시퀀스를 얻는다.본질적으로, 호모토피 집단의 긴 정확한 순서는 호모토피 집단을 정지공간, 즉 몇달에 걸쳐 루프공간으로 얻을 수 있다는 사실에서 따온 것이다.null

오일러 특성

오일러 특성 χ은 특정 조건을 가진 섬유에 대해 곱하기 때문이다.null

: E→ B 은(는) F 섬유로 된 진동이며, B 베이스는 경로로 연결되어 있고, 진동은 필드 K에 걸쳐 방향을 잡을 수 있으며, 그러면 필드 K에 계수가 있는 오일러 특성은 제품 특성을 만족한다.[3]

χ(E) = χ(F) · χ(B).

여기에는 제품 공간과 덮개 공간이 특수 사례로 포함되며, 진동 동질학에 대한 Serre 스펙트럼 시퀀스로 증명될 수 있다.null

섬유 묶음의 경우, 전송: ( B) ( ) : 이것은 리프팅이고 "잘못된 방법"이라는 점에 유의하십시오—투영 지도 p : H(E) H(B)는 섬유질의 오일러 특성에 의한 곱셈입니다:[4] p ∘ = χ(F) · 1.

폐쇄된 모델 범주의 섬유

위상학적 공간의 섬유는 보다 일반적인 프레임워크, 즉, 순환 모델 정리에 따른 소위 폐쇄 모델 범주에 적합하다.그러한 범주에서는 형태론, 이른바 섬유화, 공동화약한 동등성의 구별되는 부류가 있다.구성과 풀백에 따른 섬유화의 안정성, 모든 형태론을 반복적인 교정의 구성으로 인수하는 것과 같은 특정 공리, 즉 교정 또는 교정에 따른 교정의 구성으로 인수하는 것, 여기서 "교정"이라는 단어는 해당 화살표가 또한 약한 등가성이라는 것을 나타내며, 기타 요구 사항도 있다.s는 호모토피 이론의 추상적 처리를 허용하도록 설정된다.(원래 대니얼 퀼렌 때문에 '아시클릭(acyclic)' 대신 '티비얼(trivial)'이라는 단어를 사용했다.)

위상학적 공간의 범주가 사실 모델 범주임을 알 수 있는데, 여기서 (추상적) 섬유는 위에서 소개된 세레 섬유일 뿐이며 약한 동등성은 약한 호모토피 동등성이다.[5]null

참고 항목

참조

  1. ^ Hatcher, Allen. Introduction to algebraic topology. p. 407.
  2. ^ Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology (PDF)
  3. ^ Spanier, Edwin Henry (1982), Algebraic Topology, Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, 호몰로지 스펙트럼 시퀀스의 적용, 페이지 481
  4. ^ Gottlieb, Daniel Henry (1975), "Fibre bundles and the Euler characteristic" (PDF), Journal of Differential Geometry, 10 (1): 39–48, doi:10.4310/jdg/1214432674
  5. ^ Dwyer, William G.; Spaliński, J. (1995), "Homotopy theories and model categories", Handbook of algebraic topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 73–126, doi:10.1016/B978-044481779-2/50003-1, ISBN 9780444817792, MR 1361887