커버(토폴로지)

수학, 특히 위상학에서 $X$ 의 커버는 집합 X $({$ $displaystyle$ X})가 $X$ 집합 X({ $displaystyle$ X})를 $X$ 포함하는 집합의 집합입니다.형식적으로 C $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ { $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ : α $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ A $}$ { $displaystyle$ C = \ $lbrace U_{\$ alpha } : $\alpha$ \ $in$ $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ A\ $rbrace$ } $가$ $U_{\alpha },$ $U_{\alpha },$ 집합의 색인 계열인 $C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace$ $,$ $C$ {\ $displaystyle$ C $}$ 는 X $C$ $표시$ 의 $X$ 커버입니다 $.$

X\subseteq\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}

토폴로지의 커버

커버는 일반적으로 토폴로지 컨텍스트에서 사용됩니다. $집합 X가$ 토폴로지 공간인 $경우$ $X의 커버$ C는 $X$ 의 전체 $공간$ 인 하위 $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ 집합 { $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ { $U_{\alpha$ } $_{\$ $displaystyle$ X의 $X$ $전체$ 공간인 {\ $alpha$ $\in$ A $}$ C $(\displaystyle$ C $)$ 가 $C$ X $(\displaystyle$ X $X$ 를 커버하는 $경우$ 또는 $(\$ 세트가 $U_{\alpha }$ X $(\displaystyle$ X $X$ 를 $X$ 하는 경우.

또한 $Y$ 가 $Y$ $X$ 의 ( $토폴로지$ 부분 공간인 $경우$ $Y$ 의 $Y$ $Y$ 는 $X$ 의 (토폴로지) 부분 $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ C $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ { $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ A $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ { $display style$ C = \ { U $_$ { \ alpha } \ } $_$ { \ $alpha }$ $X$ 의 $C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ (\displaystyle $)$ 부분 집합입니다. $splaystyle$ C는 $C$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 의 $Y$ 커버입니다.

Y\subseteq\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}

즉, Y $\displaystyle$ Y 자체의 $Y$ $오픈$ 세트로 Y\displaystyleY를 $Y$ $Y$ 하거나 상위 $공간$ X $displaystyle$ X의 오픈 세트로 Y $\displaystyle$ Y를 $Y$ $Y$ 할 수 있습니다.

C를 위상 공간 X의 덮개로 하자.C의 서브커버는 여전히 X를 커버하는 C의 서브셋입니다.

각 멤버가 오픈세트일 경우 C는 오픈커버라고 합니다(즉_α, 각 U는 T에 포함되어 있습니다).여기서 T는 X의 토폴로지입니다).

X의 커버는 X의 모든 점이 커버 내의 최종적인 다수의 집합만을 교차하는 근방을 갖는 경우 국소적으로 유한하다고 한다.형식적으로 C = {U_α}는 x $x\in X,$ X $x\in X,$ , { $displaystyle$ x $\in$ X $}$ 에 $x\in X,$ 대해 다음과 같은 x 근방 N(x)이 존재할 경우 로컬로 유한합니다.

A:\displaystyle\left\{\alpha:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}

한정되어 있습니다.X의 커버는 X의 모든 점이 커버 내의 최종 다수 세트에만 포함되는 경우 점 유한이라고 한다.커버는 국소적으로 유한한 경우 점 유한이지만, 그 반대가 반드시 참인 것은 아닙니다.

세련

$토폴로지$ 공간 $C$ 의 $커버$ C $(\$ $displaystyle$ X $)$ 를 $C$ $X$ 개량한 $것이$ $D$ 의새로운 커버 D(\ $displaystyle$ D $)$ 이며 $D$ , D $(\displaystyle$ D $)$ 의 $D$ 모든 세트가 C $(\displaystyle$ C $C$ 의 일부 세트에 포함되어 있습니다. 정식으로,

D

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

{

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

β

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

B

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

b B

\beta \in B

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

B

D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

\ { \

veta

} \ } _ { \

in

B } a A

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

{ \

display style

C = \ {

U

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

{ \

alpha }

\

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

_ { \ }

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

A { display style C = \ { U _ { U _ { \ { \ alpha } \

alpha

} \ } \ } \ } } } for

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

A

C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

\beta \in B

A a A a a

\beta \in B

a A a a a a for for

\beta \in B

a}\subseteq U_{\alpha}.}.

$V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ , β $\beta \in B.$ $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ U $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ ( $)$ {\ $displaystyle$ V_{\ $beta$ }\ $displayeq U_{\phi (\$ $displaystyle\displaystyle\phi)}}$ 를 $V_{{\beta }}\subseteq U_{{\phi (\beta )}}$ $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ 하는 $\phi :B\to A$ 정제맵 $\phi :B\to A$ : B $\beta \in B.$ $V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}$ $A$ 가 있다 $.$ $\beta \in B.$ 이 맵은 예를 들어 $X$ 의 체흐 코호몰로지( $Chech$ cohomology $X$ ^[1]에서 사용됩니다.

모든 서브커버도 개량품이지만, 그 반대가 항상 맞는 것은 아닙니다.서브커버는 커버에 있는 세트로부터 작성되지만, 그 중 일부는 생략되어 있습니다.한편, 커버에 있는 세트의 서브셋으로부터 미세화가 이루어집니다.

미세 조정 관계는 X $(\displaystyle$ X $X$ $커버$ 세트의 사전 주문입니다.

일반적으로 말하면, 주어진 구조의 미세화는 어떤 의미에서는 그것을 포함하고 있는 또 다른 것이다.예를 들을 때 간격 0의(한 세련됨;1<>⋯<>오빠{\displaystyle a_{0}<, a_{1}< 분할이 발견될 것;\cdots <, a_{n}}는 0<>b0<>1을<>2<>⋯<>오빠 − 1<>b1<>오빠{\displaystyle a_{0}<, b_{0}<, a_{1}<, a_{2}<, \cdots <, a_{n 있다.1}<>b_{1}<, a_{n}}), 기술을 고려하고 자세한 내용은 서 있다.유클리드 공간의 ard 위상은 사소한 위상의 정제이다.)단순 복합체를 세분화할 때(단순 복합체의 첫 번째 중심 세분화는 정제) 상황은 약간 다르다. 즉, 미세한 복합체의 모든 단순체는 거친 복합체의 단순체의 면이며, 둘 다 동일한 기초 다면체를 가진다.

그러나 또 다른 정제 개념은 스타 정제이다.

서브커버

서브커버를 입수하는 간단한 방법은 커버의 다른 세트에 포함된 세트를 생략하는 것입니다.구체적으로 오픈 커버를 검토해 주십시오. $(\displaystyle {B$ 를 X $(\$ $displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 토폴로지 기반, ${\mathcal {O}}$ { $O$ $})$ 를 ${\mathcal {O}}$ X $displaystyle$ X $)$ 의 $X.$ 오픈 커버로 합니다 $.$ 먼저 ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ { ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ ${\mathcal {O}}$ B ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ : } ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ U $(\displaystyle)$ 가 ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ 하도록 합니다 ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.$ $xt{존재 }U가 있습니다.{\text{이렇게 }A\subseteq U\}}.}$ ${\mathcal {A}}$ { $A}}$ 은 ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {O}}$ 는) O ${displaystyle$ { $O}$ 를 $A\in {\mathcal {A}},$ 개량한 것입니다. $A\in {\mathcal {A}},$ 으로, 각 $,$ $DISPLA$ , A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A $,$ A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A, A $A($ 선택 공리 필요) ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ 후 C ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ { ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ A ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ O : ${\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}$ A $}$ { $displaystyle$ \ $mathcal$ { C} = \ { $U$ _ { $A\in {mathcal {O}:$ $A는$ 의 ${\mathcal {O}}.$ 서브커버이므로 오픈커버의 $카디널리티$ 는 토폴로지적인 기준만큼 작을 수 $있습니다$ $.$ 따라서 특히 두 번째 계수성은 공간이 린델뢰프임을 의미한다.

콤팩트함

커버 언어는 콤팩트성과 관련된 몇 가지 토폴로지 특성을 정의하는 데 자주 사용됩니다.위상 공간 X는 다음과 같다.

작은: 모든 오픈 커버가 유한한 서브 커버를 가지고 있는 경우(또는 모든 오픈 커버가 유한한 정교함을 가지고 있는 경우)
린델뢰프: 모든 오픈 커버에 계수 가능한 서브 커버가 있는 경우(또는 모든 오픈 커버에 계수 가능한 정교함이 있는 경우)
메타콤팩트: 모든 오픈 커버에 포인트 리페인이 있는 경우
파라콤팩트: 모든 오픈 커버가 국소적으로 유한한 오픈 미세화를 허용하는 경우.

더 많은 변형에 대해서는 위의 문서를 참조하십시오.

피복치수

위상공간 X는 X의 각 오픈커버가 포인트-한 오픈정제를 가지며, 정제에서 X의 포인트가 n+1세트 이상 포함되지 않고 n이 이것이 ^[2]참인 최소값일 경우 피복치수 n이라고 한다.이러한 최소 n이 존재하지 않는 경우, 공간은 무한 피복 차원이라고 한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Bott, Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. p. 111.
^ Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

레퍼런스

토폴로지 소개, 제2판, Theodore W. Gamelin 및 Robert Everist Green.도버 출판사 1999.ISBN 0-486-40680-6
일반 토폴로지, 존 L. 켈리.D. 반 노스트랜드 컴퍼니, 프린스턴, 뉴저지 1955

외부 링크

"Covering (of a set)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Bott, Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. p. 111.

[2] Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[1]

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