아틀라스(토폴로지)

수학, 특히 위상에서는 지도책을 사용하여 다지관을 설명한다. 지도는 대략적으로 다지관의 개별 영역을 설명하는 개별 차트로 구성된다. 만약 다지관이 지구의 표면이라면, 지도책에는 더 일반적인 의미가 있다. 일반적으로, 지도책의 개념은 다지관과 벡터 번들 및 기타 섬유 번들과 같은 관련 구조의 공식적 정의에 기초한다.

차트

지도책의 정의는 도표의 개념에 따라 달라진다. 위상학적 공간 M에 대한 차트(좌표도, 좌표 패치, 좌표도 또는 로컬 프레임이라고도 함)는 M의 열린 부분 집합 U에서 $\varphi$ 유클리드 공간의 열린 부분 집합에 이르는 동형상 $\varphi$ $\varphi$ 이다. 차트는 전통적으로 순서 쌍 $(U,\varphi )$ , $(U,\varphi )$ ) $(U,\varphi )$ 으로 기록된다 $(U,\varphi )$

지도책의 공식 정의

An atlas for a topological space $M$ is an indexed family $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}$ of charts on $M$ which covers $M$ (that is, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{$ $\alpha \in$ I} $U_{\alpha$ }= $M}$ $\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M$ . 각 차트의 코도메인이 n차원 유클리드 공간이라면 $M$ $M$ 은 n차원 다지관이라고 한다 $M$ .

몇몇 작가들은 아틀란트를 사용하지만, 아틀라스의 복수형은 아틀라이다.^[1]^[2]

An atlas $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ on an $n$ -dimensional manifold $M$ is called an adequate atlas if the image of each chart is either $\mathbb {R} ^{n}$ or ${\displaystyle \ma$ $thbb {R} _{+}^{n}}$ , $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ is a locally finite open cover of $M$ , and $M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)$ , where $B_{1}$ is the open ball 반경 $\mathbb {R} _{+}^{n}$ 은 원점을 중심으로 $\mathbb {R} _{+}^{n}$ + n ${\$ { $R} _{+}^{n}}}$ 이 닫힌 반쪽 공간이다 $\mathbb {R} _{+}^{n}$ . 모든 2인용 다지관은 적절한 지도책을 인정한다.^[3] Moreover, if ${\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}$ is an open covering of the second-countable manifold $M$ then there is an adequate atlas $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ on ${\displaysty$ $($ $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ ) $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ {\ $displaystyle \left($ U_ ${i$ }\ $right)_{i\$ in I}}}의 $M$ $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ V {\displaystyle {\ $mathcal {V}$ 의 정교함입니다 ${\mathcal {V}}$ ^[3]

전환 맵

(\displaystyle M}

U_{\alpha }

U_{\beta }

\varphi _{\message }

\varphi _{\message }

\tau _{\pau ,\pair }

\tau _{\pau ,\pair }

\mathbf {R} ^{n}

\mathbf {R} ^{n}

다지관의 차트 2개 및 각 전환 맵

전환 맵은 지도책의 두 차트를 비교하는 방법을 제공한다. 이러한 비교를 위해 한 차트의 구성을 다른 차트의 역순으로 고려한다. 이 구성은 두 차트를 모두 정의 영역의 교차점으로 제한하지 않는 한 잘 정의되지 않는다. (예를 들어, 유럽 차트와 러시아 차트를 가지고 있다면, 이 두 차트의 중복, 즉 러시아의 유럽 부분을 비교할 수 있다.)

To be more precise, suppose that $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ and $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ are two charts for a manifold M such that $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ is non-empty. The transition map $\tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ is the map defined by

\displaystyle \tau _{\pau ,\pair }=\varphi _{\pair }\varphi _{\pair }^{-1}.}

참고로 ${\$ _ ${\alpha }}$ 과 $\varphi _{\beta }$ $,$ β $\displaystyle$ $\tau _{\alpha ,\beta }}}}}$ 은 $\varphi _{\alpha }$ (는) 모두 동형이기 $\varphi _{\beta }$ 때문에 $\tau _{\alpha ,\beta }$ 전환지도 역시 동형이다.

더 많은 구조

사람들은 종종 단순히 위상학적 구조보다 다지관에 더 많은 구조를 원한다. 예를 들어, 다지관의 기능의 분화라는 모호하지 않은 개념을 원한다면, 전환 기능이 서로 다른 지도책을 구축할 필요가 있다. 그런 다지관을 차별성이라고 한다. 서로 다른 다양성을 고려할 때 접선 벡터와 방향 유도체의 개념을 명확하게 정의할 수 있다.

각 전환 기능이 매끄러운 지도라면, 그 지도는 매끄러운 지도라 불리며, 다지관 자체는 매끄러운 지도라 불린다. 또는 전환 맵에 k 연속 파생 모델만 포함하도록 요구할 수 있으며, 이 경우 지도는 $C^{k}$ $C^{k}$ ${\$ C $^{k}$ 라고 한다 $C^{k}$

매우 일반적으로 각 전환 함수가 유클리드 공간의 동형성의 ${\mathcal {G}}$ G ${\$ 에 속한다면, 이 지도책을 ${\mathcal {G}}$ ${\$ -atlas라고 ${\mathcal {G}}$ 부른다. 지도책의 차트들 사이의 전환 지도가 지역적 사소한 것을 보존한다면, 지도책은 섬유 묶음의 구조를 정의한다.

참고 항목

참조

^ Jost, Jürgen (11 November 2013). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Retrieved 16 April 2018 – via Google Books.
^ Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 March 2013). Calculus of Variations II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Retrieved 16 April 2018 – via Google Books.
^ Jump up to: ^a ^b Kosinski, Antoni (2007). Differential manifolds. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933.

Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
Husemoller, D (1994), Fibre bundles, Springer, 5장 "섬유 번들에 대한 로컬 좌표 설명".

외부 링크

토드, 롤랜드별 아틀라스

[1] Jost, Jürgen (11 November 2013). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662223857. Retrieved 16 April 2018 – via Google Books.

[2] Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 March 2013). Calculus of Variations II. Springer Science & Business Media. ISBN 9783662062012. Retrieved 16 April 2018 – via Google Books.

[Kosinski_2007-3] Jump up to: ^a ^b Kosinski, Antoni (2007). Differential manifolds. Mineola, N.Y: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC 853621933.

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