연속 선형 연산자

수학의 기능 분석과 관련 영역에서 연속 선형 연산자 또는 연속 선형 매핑은 위상학적 벡터 공간 사이의 연속 선형 변환이다.

정규화된 두 공간 사이의 연산자는 연속 선형 연산자인 경우 및 연속 선형 연산자인 경우에만 경계 선형 연산자가 된다.

연속 선형 연산자

연속성의 특성

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$이(가) 두 위상 벡터 공간(TV) 사이의 선형 연산자라고 가정해 보십시오. 다음은 이에 해당한다.

1. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 연속이다.
2. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 특정 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle x\in$ X$.}$에서 연속됨
3. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 원점에서 연속됨$$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 볼록한 경우$$ 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

4. $Y{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$의 모든$$ 연속 세미노름 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $q$$}$에 대해 X ${\displaystyle X}$에 연속 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 존재하므로 $q{\displaystyle }$∘ ${\displaystyle F\le .}$ ${\displaystystyleq.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 공간인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장할 수 있다.

5. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 약하게 연속되며 그 전치 t ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$Y^{\premy}\premy{\premy}}$ 지도는$$ $Y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ Y$^{\premy}}$의 등가 부분 집합 X ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty$ X$^{\premy}}}}}}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 순차적 공간(예: 유사 측정 가능 공간)인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장할 수 있다.

6. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) 도메인의 일부(또는 동등하게 모든) 지점에서 순차적으로 연속된다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 유사 측정 가능 또는 측정 가능(예: 정규화된 공간 또는 Banach 공간)인 경우 다음 목록에 추가하십시오.

7. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은 경계 선형 연산자($즉{\displaystyle }$, X ${\displaystyle X}$의 경계 부분 집합을 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 경계 부분 집합에 매핑함)이다$$.$$^[2]

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 규범 공간(예: 표준 공간)인 경우 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

8. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$은(는) $0$의 일부 근방을 Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle Y.}$의 경계 부분 집합에 매핑한다$$.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) 모두 정규화된 공간이거나 세미노멀된 공간인$$ 경우(두 세미노름 모두 $\Vert {\displaystyle }$ {\$displaystyle \cdot \$}) 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

9. 모든 > ${\displaystyle r>0}$에 대해 다음과 같은 > ${\displaystyle \properties >0}$이(가) 존재한다.
   $${\displaystyle {\text{{}x,y\in X,{\\text{}\\\x-y\,{\delta{\text{}}}}\Fx-Fy\ <r.}$$

   

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$이(가) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 가진 Hausdorff 로컬 볼록 공간인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장할 수 있다.

10. $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 그래프는 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$\time$ Y$.}$로 닫힌다$$.

연속성과 경계성

전체적으로 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$은 위상 벡터 공간 사이의 선형 지도다$$. 위상학적 벡터 공간(TV)에 대한 "경계 집합"의 개념은 폰 노이만 경계 집합의 개념이다. TVS가 또한 정규화된(또는 정규화된) 공간인 경우 서브셋 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은 정규화된 에만 von Neumannan이 경계한다$$. 즉, ‖ < <. ${\displaystyle \sub$_{s$\in S}sup \\s$\s\s.

"경계" 대 "연속"

정의상 위상 벡터 공간(TVs) 사이의 선형 지도를 경계라고 하며, 도메인의 경계 서브셋을 코도메인의 경계 서브셋에 매핑하면 경계 선형 연산자(von Neumann)의 경계 서브셋을 코도메인의 경계 서브셋에 매핑하면 경계 선형 연산자로 불린다. 순차적으로 연속되는 모든 선형 연산자는 경계된다.^[5] 따라서 특히 연속 선형 연산자는 항상 경계 선형 연산자지만^[6] 일반적으로 경계 선형 연산자는 연속적일 필요가 없다.

도메인이 가성측정 가능한 선형 지도는 연속된 경우에만 경계가 지정된다.^[2] 선천적 공간에서 국부적으로 볼록한 공간에 이르는 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[6]

"동네에 묶여 있다" 대 "연속적

If ${\displaystyle U\subseteq X}$ is a set then ${\displaystyle F:X\to Y}$ is said to be bounded on ${\displaystyle U}$ if ${\displaystyle F(U)}$ is a bounded subset of ${\displaystyle Y,}$ and it is said to be unbounded on ${\displaystyle U}$ otherwise. 특히 지도 F:XY→{\displaystyle F:X\to Y}가 되.mw-parser-output .vanchor&gt다고 한다;:점이 있는 지역에)target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}bounded ∈ X{\displaystyle Xx\in}또는{\displaystyle)}이번 poin이 있는 지역 U{U\displaystyle}존재하는 국내 0으로 맞아 튀었다.그런 F{F(U)\displaystyle(U)TX에서{X\displaystyle}.$}$ is a bounded subset of ${\displaystyle Y}$ (in contrast, ${\displaystyle F}$ is call bounded if for every ${\displaystyle B\subseteq X}$ that is a bounded subset of ${\displaystyle X,}$ its image ${\displaystyle F(B)}$ is a bounded subset of ${\displaystyle Y}$). 선형 지도는 자신이 로컬로 경계되는 영역 내에 점이 있는 경우 및 존재하는 경우에만, 또는 "동네에 경계"(일부 지점의 경우)와 다르게 말하면 도메인의 모든 지점에서 국부적으로 경계된다.

지도는 도메인의 모든 지점에서 국부적으로 경계하는 경우 국부적으로 경계라고 부르지만, 일부 기능분석 저자는 '경계된'을 '경계된 선형 연산자'(관련은 있지만 등가 개념은 아님)의 동의어로 정의하기 때문에 이 글은 '경계된 선형 연산자'라는 용어를 피하고 대신 '경계된 각 p마다 경계'라고 말하게 된다.연고" ("점 경계"의 정의에 대해서는 이견이 없다).

이웃(일부/모든 점)에 경계로 되어 있는 선형 지도는 반드시 연속적이다^[2](그 도메인이 정규화된 공간이 아님에도 불구하고). 다음 예는 그 반전이 항상 보장되는 것은 아니라는 것을 보여준다.

예: 어느 동네에서도 경계되지 않는 연속적이고 경계된 선형 지도: If ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$ is the identity map on some locally convex topological vector space then this linear map is always continuous (indeed, even a TVS-isomorphism) and bounded, but ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ is bounded on a neighborhood if and only if there exists a bounded neighborho$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$에서 유래한$$ od는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이($가{\displaystyle }$) 반노머블 공간(X ${\displaystyle X}$이(가) 하우스도르프인 경우 규범 가능한 공간과 동일함). 이것은 선형 지도가 연속적일 수는 있지만 어느 동네에서도 경계하지 않는다는 것을 보여준다. 실제로, 이 예는 모든 지역적으로 볼록한 공간들이 어떤 지점의 어떤 동네에도 경계를 두지 않는 선형 TVS-자율주의를 가지고 있다는 것을 보여준다. 따라서 한 동네에 경계로 되어 있는 모든 선형 지도가 반드시 연속적이기는 하지만 일반적으로 그 역이 보장되지는 않는다.

그러나 TVS에서 표준화된 공간 또는 세미노름된 공간(예: 선형 기능)으로 가는 선형 지도는 일부 이웃에 경계선이 있는 경우에만 연속적이다. 특히 임의의 TVS에서 선형 기능은 일부 이웃에 경계된 경우에만 연속된다. 또한, 표준화된 공간이나 정맥화된 공간에서 TVS로 선형 지도는 이웃에 경계선이 있는 경우에만 연속된다. 따라서 선형 지도의 도메인이나 코도메인이 규범적이거나 규범적일 때, 연속성은 이웃에 경계되어 있는 것과 동등하다.

"동네에 경계" 대 "경계"

"동네에 경계"되는 선형 지도는 "경계"되는 것과 같지 않다. 연속 선형 연산자는 항상 경계 선형 연산자이기 때문에,^[6] 선형 연산자가 "근처에 경계"된 경우, 반드시 (연속적, 따라서도) 경계된다. If ${\displaystyle F:X\to Y}$ is a bounded linear operator from a normed space ${\displaystyle X}$ into some TVS then ${\displaystyle F:X\to Y}$ is necessarily continuous; this is because any open ball ${\displaystyle B}$ centered at the origin in ${\displaystyle X}$ is both a bounded subset (이것은 $F{\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle F}$이(가) $경계{\displaystyle }$ 선형 지도이므로$$ $F{\displaystyle }$ (B$)$ {\displaystyle F}과(와) X$$,${\displaystyle X}$의 원점 부근이 경계됨을 의미하므로$$ $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ $F$$}$은 이 원점$$ $부근{\displaystyle }$ B ${\\}$에 경계로 경계되며, 이 경계는 (위에서 (위에서 언급됨) c가 보장된다.근엄하게

중요한 것은 임의의 위상 벡터 공간 사이에 있는 선형 연산자의 가장 일반적인 설정에서 선형 연산자는 "경계"(경계된 선형 연산자라는 의미)가 되지만 연속되지 않는 것이 가능하다. 도메인이 규범된 공간인 경우와 같이 메트리즈블 또는 선천적으로 코도메인이 국소적으로 볼록한 경우, 선형 연산자가 "경계"되는 것은 연속적인 것과 같다.^[6] 그러나 선형 지도나 그것의 도메인 또는 코도메인에 대한 추가 정보가 없다면, "경계"된 지도는 "동네에 경계"된 지도와 같지 않다.

요약하면, 어떤 선형 지도에 대해서, 만약 그것이 이웃에 경계되어 있다면 그것은 연속이고, 그것이 연속되어 있다면 그것은 경계된다. 역문은 일반적으로 사실이 아니지만 선형 지도의 영역이 정규화된 공간인 경우 둘 다 사실이다.

연속 선형 연산자의 특성

국소적으로 볼록한 메트리즈 가능 위상 벡터 공간은 그것의 모든 선형 기능이 연속적인 경우에만 규범할 수 있다.

연속 선형 연산자는 경계된 집합을 경계된 집합으로 매핑한다.

그 증거는 선형 위상학 공간에서 열린 집합의 번역이 다시 열린 집합이라는 사실을 사용하며, 평등은 다시 열린 집합이라는 사실을 이용한다.

$Y{\displaystyle }$${\displaystyle Y}$의 모든 부분 집합 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$${\displaystyle \}}$ 및 $F{\displaystyle }$ . ${\displaystyle x\$$in X}$의 추가성으로 인해 참인 ${\displaystyle \mathrm{경우}.}$$}$

연속 선형 함수

위상학적 벡터 공간(TV)의 모든 선형 기능은 선형 연산자여서 연속 선형 연산자에 대해 위에서 설명한 모든 특성이 그것들에 적용된다. 그러나, 그들의 특화된 특성 때문에, 우리는 더 일반적인 연속 선형 연산자에 대해 말할 수 있는 것보다 연속 선형 함수에 대해 더 많이 말할 수 있다.

연속 선형 함수 특성화

Let ${\displaystyle X}$ be a topological vector space (TVS) over the field ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (${\displaystyle X}$ need not be Hausdorff or locally convex) and let ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ be a linear functional on ${\displaystyle X.}$ The following are equivalent:^[1]

1. ${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$은(는) 연속적이다$$.
2. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에서 균일하게 연속됨$$
3. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle$ $f$$}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 특정 지점에서 연속됨
4. ${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$은(는) 원점에서 연속적이다$$.
   • 정의에 의해, f{\displaystyle f} 반지름 r의 모든 열린(또는 닫힘)공 Br{\displaystyle B_{r}}가 기원에서의 끊임 없는;0{\displaystyle r>0}0{0\displaystyle}에서 변역 F,{\displaystyle \mathbb{F},}. 거기에는 이웃 U{\displays 존재하는 중심으로 말했다.Utyle$}$ of the origin in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$ If ${\displaystyle B_{r}}$ is a closed ball then the condition ${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$ holds if and only if ${\displaystyle \sup _{u\$$U} f(u) \leq r.}에$
     • 그러나 Br{\displaystyle B_{r}}에 열린 공을 가정해;f(U)을 r{\displaystyle \sup_{u\in U}f(u)<>r}은 있지만 필요 충분 조건 ⊆ Br{\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}} 때 f(예를 들어)Id{\displayst을 고려할 수 있도록 ∈ Uf(u)<>저녁으로 먹는다.yle f=$\operatorname {Id} }$ is the identity map on ${\displaystyle X=\mathbb {F} }$ and ${\displaystyle U=B_{r}}$), whereas the non-strict inequality ${\displaystyle \sup _{u\in U} f(u) \leq r}$ is instead a necessary but not sufficient condition for ${\displa$$ystyle f(U)\subseteq B_{r}$가 참이어야$$ 함($예{\displaystyle }$: X${\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{},}$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle \mathrm{Id},}$ ${\displaystyle$ X$=\mathb {R},$ f$=\operatorname {Id},$ 그리고$$ 닫힌 $이웃{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle U=[-r,r]}).$ 이것은 예를 들어, 폴라 세트와 같은 선형 함수들을 포함하는 많은 정의들이 폐쇄적인 (개방형보다는) 이웃과 엄격하지 않은${\displaystyle }${ ${\$엄격한< ${\$ 불평등을 수반하는 몇 가지 이유 중 하나이다.
5. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(어느 정도는) 이웃에 경계선이다. 다르게 말하면, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 도메인의 특정 지점에서 로컬로 경계한다.
   • 명시적으로, 이 ∈ X이 fF의(U){\displaystyle f(U)}은 한정적 부분 집합;{\displaystyle \mathbb{F};}[2]과 같다는sup 너 ∈ Uf(u)<>그런, ∞{\textstyle\displaystyle \sup{\displaystyle Xx\in}은 몇몇의 지점의 일부 동네 U{U\displaystyle})존재한다는 것을 의미한다. _{u\in$U} f(u) <\infully }$
   • 중요한 것은 (위에서 설명한 바와 같이) 선형 지도가 경계되지만 연속되지 않는 것이 가능하기 때문에 "경계 선형 기능"이 되는 것과 일반적으로 동등하지 않는 선형 기능이다. 그러나 연속성과 경계성은 도메인이 정규화된 공간이거나 정합화된 공간인 경우 동등하다. 즉, 정규화된 공간의 선형 기능인 경우 "경계"는 "근린에 경계된 공간"과 같다.
6. $[\displaystyle f}$는 원산지 부근에 경계를 두고 있다$$. 다르게 말하면, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$}는 원점에서 국부적으로 경계한다.
   • The equality ${\displaystyle \sup _{x\in sU} f(x) = s \sup _{u\in U} f(u) }$ holds for all scalars ${\displaystyle s}$ and when ${\displaystyle s\neq 0}$ then ${\displaystyle sU}$ will be neighborhood of the origin. 따라서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{적절한<img\; alt="U"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.783ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="416">}}$ r U${\displaystyle }$, ${\displaystyle rU,}$ 여기서$$ > ${\displaystyle r>0,$${\displaystyle \underset{}{supp}}$ $style \sup _{u\in u}의$값을 원하는 대로 조정할 수도$$ 있다(이 $0$이 $아닌$ 경우$).$
7. ${\displaystyle \underset{}{Supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{u}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle U\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{f}}$ (${\displaystyle u}$ )${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sup _{u\in U} f(u) \leq$ 1$}$과 $같은$ 근린 U ${\displaystyle U}$이(가) 일부 존재한다.
   • , 만약sup)∈r Uf())≤ r{\displaystyle \sup_{x\in rU}f())\leq r}모든 진짜 r>에도 이 폭격조 이웃의 긍정적인 스칼라 배수({\displaystyle\와 같이{rU:r>, 0\}}U{U\displaystyle}을 보여 주{\displaystyle r>0,}0, sa 것이다 이 불평등을 보유하고 있다.그 드 tisfy상기 (4)에 제시된 원점에서 연속성의 마무리.
   • By definition of the set ${\displaystyle U^{\circ },}$ which is called the (absolute) polar of ${\displaystyle U,}$ the inequality ${\displaystyle \sup _{u\in U} f(u) \leq 1}$ holds if and only if ${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$ Polar sets, and thus also this p관절 불평등, 이중성 이론에서 중요한 역할을 한다.
8. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 도메인의 모든 지점에서 로컬로 경계한다.
   • Moreover, ${\displaystyle f}$ is bounded on a set ${\displaystyle U}$ if and only if ${\displaystyle f}$ is bounded on ${\displaystyle x+U}$ for every ${\displaystyle x\in X}$ (because ${\displaystyle f(x+U)=f(x)+f(U)}$).
9. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 커널이 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에서 닫힘$$
10. $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=0}$ 또는$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 커널이 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에서 조밀하지 않음
11. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$에는 ${\displaystyle f}$semin p. {\$displaystyle$ f \leq p$.}$과 같은$$ 연속적인 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle p$$}$이(가) 있다.
    • 특히 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=f}$ $displaystyle p:=f }$이(가) 연속인$$ 경우에만 연속적이다$$.
12. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 그래프가 닫혔다$$.^[7]
13. ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$은(는) 연속이며, 여기서 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re}은$$($는$)$ $f{\displaystyle }$. ${\displaystyle f$의 실제 부분을 나타낸다.$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$이(가) 복잡한 벡터 공간인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

14. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 가상 부분은 연속적이다$$.

도메인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 순차적 공간인 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

15. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 도메인의 일부(또는 동등하게 모든) 지점에서 순차적으로 연속된다.^[2]

도메인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 메트리즈블 또는 유사 측정 가능(예: 프레셰트 공간 또는 표준 공간)인$$ 경우 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

16. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은 경계 선형 연산자(즉, 경계된 하위 집합을 경계된 하위 집합에 매핑)이다$$.^[2]

도메인 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 선천적 공간(예: 가성계측 가능 TVS)이고$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 볼록한 경우, 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

17. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 경계 선형 연산자다.^[2]
18. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) 도메인의 일부(또는 동등하게 모든) 지점에서 순차적으로 연속된다.^[8]
19. ${\displaystyle f}$ $[\displaystyle f}$은(는) 출발지에서 순차적으로 연속된다$$.

$또한{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 숫자에 대한 벡터 공간인 경우(특히 f$${\$displaystyle f}$이(가) 실제 값임을 의미함) 이 목록은 다음을 포함하도록 확장될 수 있다.

20. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 $f{\displaystyle }$semin p. ${\displaystyle$ f\$leq$ p.}과 같은 연속적인$$ 세미노름 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$$}$이(가) 존재한다$.$
21. 일부 실제 $r{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ r$,}$ 반공간$$${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$: ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ r${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq$ r$\}$은(는) 닫힌다$$.
22. 위의 문장이지만 "some"이라는 단어가 "anything"^[9]으로 대체되었다.

따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 복합적인 경우$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{F<img\; alt="f,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.925ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="571">}}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle f$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re,}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaysty \operatorname {Im}$의 세 개 모두 연속(resp.bounded)이거나$$ 모두 불연속된 것이다. 한이 없는

연속 선형 함수를 위한 충분한 조건

• 유한 차원 하우스도르프 위상 벡터 공간(TV)의 모든 선형 함수는 연속적이다. 유한차원 TVS가 하우스도르프가 아니라면 이는 사실이 아니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) TVS인$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 경계 부분 집합이 유한 차원 벡터 하위 공간에 포함되는$$ 경우에만 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 경계 선형 기능이 연속적이다$$.^[10]

연속 선형 함수의 속성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $복잡한{\displaystyle }$ 표준 공간이고 f ${\displaystyle$ X}에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$f}이$($가) 선형 ${\displaystyle \mathrm{기능인<img\; alt="f"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.279ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="586">}}$ 경우$$, ${\displaystyle \Vert }$ f${\displaystyle }$= ${\displaystyle =}$ $Re \$ $\ =\ \operatorname {Re}($^[11]특히 다른 쪽이 무한정한 경우에만)이(가) 무한하다.

TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 비교가 되지 않는 모든 연속 선형 기능은 개방형 맵이다.^[1] Note that if ${\displaystyle X}$ is a real vector space, ${\displaystyle f}$ is a linear functional on ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle p}$ is a seminorm on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle f \leq p}$ if and only if ${\displaystyle f\leq p.}$^[1]

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle F\mathbb{}}$ ${\$가) 선형 함수이고$$ U ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle U\subseteq X}$이(가) 비어 있지 않은 부분 집합인 경우 세트를 정의하여

supremum ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle \underset{}{u}\underset{}{u}}$ (${\displaystyle u}$) $displaystyle \,\sup _{u\in$U$}f(u) \,}$은(는) supp ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (U}$) {\$displaystyle$\,\$sup$f(U)$\,}$로 보다 간결하게 쓸 수 있다$$. $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$이(가) 스칼라인 경우 r > {\$displaystyle$ r$>0}$이(가) 실제 ${\displaystyle \stackrel{}{{숫자}_{}}}$와 B${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$r의 :${\displaystyle }${ ${\displaystyle c}$f${\displaystyle F\mathbb{}}$ : ${\displaystyle cr}$ r ${\displaystyle \}}$ $}$ {\$displaystyle {\b_{r}}:$$=\\{c\in \mathb {F}$ : $c \leq$ r$\}}$은(는) $반지름{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$의 닫힌 공입니다$$.

참고 항목

• 경계 선형 연산자
• 불연속 선형 지도
• 가장 미세한 국소 볼록 위상
• 선형 함수
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 양의 선형 함수
• 선형 지도 공간의 토폴로지
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
• 언바운드 연산자

참조

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