사르트의 정리

수학에서 사르드의 보조정리 또는 모르스-사르드 정리라고도 하는 사르드의 정리는 하나의 유클리드 공간이나 다지관에서 다른 곳으로의 매끄러운 함수 f의 임계값 집합(즉 임계점 집합의 이미지)이 무효 집합(null set)이라고 주장하는 수학적 분석의 결과, 즉 르베그 측정값 0을 가지고 있다.이것은 일반적인 속성의 의미에서 임계치 집합을 "작게" 만든다.이 정리는 앤서니 모스와 아서 사르드의 이름을 따서 지어졌다.null

성명서

좀 더 명시적으로 하자.^[1]

${\displaystyle f\colon \mathb {R} ^{n}\오른쪽 화살표 \mathb {R} ^{m}}}$

be ${\displaystyle C^{k}}$, (that is, ${\displaystyle k}$ times continuously differentiable), where ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$. Let ${\displaystyle X}$ denote the critical set of ${\displaystyle f,}$ which is the set of points ${\displaystyle x\i$$n \mathb{R} ^{n}}$에서 f ${\displaystyle f}$의 Jacobian 행렬의순위 < {\$displaystyle <m}$.그러면 ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$ $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(X)}$에 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ m ${\$ {$R} ^{m}}$에서 Lebegue 측정값이 0이 된다$$$.$

직관적으로 말하자면, $이것$은 X ${\displaystyle X}$이(가) 클 수 있지만$$ Lebesgue 측정의 의미에서 그 이미지는 작아야 한다는 것을 의미한다. $반면$에 f ${\displaystyle f}$는 도메인 $Rn{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$n {\$displaystyle$$\$${\displaystyle {}^{}}$${R} ^{n}}}}$에 많은 임계값을 가질$$ 수 있다$.$$yle \mathb{R} ^{m$

보다 일반적으로, 결과는 또한 $각각{\displaystyle }$ 치수 m ${\displaystyle m}$과 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 서로 다른 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle N}$ 사이의 매핑을 위해 유지된다$.$$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 함수의$$ 중요$$ $집합{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$}$

${\displaystyle f:N\오른쪽 화살표 M}$

미분점이 있는 지점으로 구성된다.

${\displaystyle df:TN\오른쪽 화살표 TM}$

선형 변환으로$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$보다 작은 순위를 가진다.If ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$, then Sard's theorem asserts that the image of ${\displaystyle X}$ has measure zero as a subset of ${\displaystyle M}$. This formulation of the result follows from the version for Euclidean spaces by taking a countable set of coordinate patches.측정값 0 집합의 카운트 가능한 결합은 측정값 0의 집합이며, 측정값이 0인 좌표 패치의 하위 집합의 속성은 차이점형성 하에서는 불변하므로 정리의 결론은 국부적 진술이다.null

변형

이 보조정리에는 많은 변종이 있는데, 이는 다른 분야 중에서도 특이성 이론에서 기본적인 역할을 한다.사례 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1$}은$($는) Anthony P에 의해 증명되었다. 1939년 모스,^[2] 1942년 아서 사르드의 일반 사건.^[1]null

무한 차원 바나흐 다지관의 버전은 스테판 스마일(Stephen Smale)^[3]null

그 진술은 상당히 강력하며, 그 증거는 분석을 포함한다.위상에서는 종종 브루워 고정점 정리 및 모스 이론의 일부 적용에서와 같이 "비정규적인 평탄한 지도는 적어도 하나의 정규 값을 가지고 있다"라는 약한 관점을 증명하기 위해 인용된다.null

1965년 사르드는 만약 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle N}$→ M ${\displaystyle f:$$N\rightarrow M}$ is ${\displaystyle C^{k}}$ for ${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$ and if ${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$ is the set of points ${\displaystyle x\in N}$ such that ${\displaystyle df_{x}}$ has rank strictly less than ${\displays$$tyle r}$, $그러면{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( A $){\displaystyle f(A_{r}}})$의 r차원 Hausdorff 측정치가 0이 된다$$.^[4]특히 $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$) ${\displaystyle f(A_{r}})$의 하우스도르프 치수는 최대$$ r이다.주의사항:$f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$) ${\displaystyle f(A_{r}})$의 Hausdorff 치수는 임의로 r에 근접할 수 있다$$.^[5]

참고 항목

• 일반 속성

참조

추가 읽기

• Hirsch, Morris W. (1976), Differential Topology, New York: Springer, pp. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, MR 0193578, Zbl 0129.13102.