볼록콘

볼록콘(연청색)그 안에서 연한 적색 볼록콘은 표시된 x와 y에 대해 α, β > 0의 모든 점 αx + βy로 구성된다.오른쪽 상단의 곡선은 지역이 무한하다는 것을 상징한다.

선형대수학에서 원뿔(다른 종류의 원추와 구별하기 위한 선형 원추라고도 함)은 스칼라 곱셈에 따라 닫히는 벡터 공간의 부분집합이다. $x\in C$ , $c$ 는 $모든$ 스칼라에 대해 $sx\in C$ $sx\in C$ $sx\in C$ $sx\in C$ $sx\in C$ 를 $x\in C$ 내포하는 경우 원추형이다.

스칼라가 실제 숫자이거나 순서가 정해진 필드에 속할 때, 일반적으로 원뿔을 양의 스칼라에 의해 곱셈으로 닫히는 벡터 공간의 부분집합이라고 부른다.이러한 맥락에서 볼록콘은 추가적으로 닫히는 원뿔 또는 동등하게 양의 계수를 갖는 선형 조합으로 닫히는 벡터 공간의 부분집합이다.볼록콘은 볼록한 집합이다.

이 글에서는 순서가 정해진 분야의 스칼라의 경우만을 고려한다.

정의

순서가 지정된 필드 F에 대한 벡터 공간 V의 부분집합 C는 원뿔(또는 선형 원뿔이라고도 함)^[1]이며, 각 x에 대해 C의 양 스칼라 α에 대해 제품 αx가 C에 있는 경우.일부 저자는 (0을 포함하지 않는 모든 양의 스칼라보다) 음이 아닌 모든 스칼라 α의 스칼라 범위를 가진 원뿔을 정의한다는 점에 유의한다.^[2]

콘 C는 αx + βy가 C에 속할 경우 볼록한 원뿔이며, 모든 양의 스칼라 α, β 및 C의 x, y이다.^[3]^[4]원뿔 C는 C + C ⊆ C인 경우에만 볼록하다.

이 개념은 "양" 스칼라의 개념을 허용하는 벡터 공간에는 어떤 의미가 있으며, 예를 들어, 이성적, 대수적, 또는 (더 일반적으로) 실수에 걸친 공간에는 의미가 있다.또한 정의의 스칼라는 기원이 C에 속할 필요가 없다는 긍정적인 의미라는 점에 유의한다.일부 저자는 출처가 C에 속함을 보장하는 정의를 사용한다.^[5]스케일링 파라미터 α와 β 때문에 원뿔은 범위가 무한하고 경계가 없다.

If C is a convex cone, then for any positive scalar α and any x in C the vector $\alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.$ It follows that a convex cone C is a special case of a linear cone.

볼록콘은 또한 볼록 결합이나 추가의 바로 아래에 닫히는 선형 콘으로 정의될 수 있다는 것이 위의 속성에서 따온 것이다.보다 간결하게 말하면, 설정된 C는 어떤 양의 스칼라 α에 대해 αC = C와 C + C = C인 경우에만 볼록한 원뿔이다.

예

미세하게 많은 발전기의 원뿔 조합이 아닌 볼록콘.

세 개의 검은색 벡터의 원뿔 조합에 의해 생성된 볼록 콘.

볼록콘이 아닌 원뿔(두 개의 광선의 결합)

벡터 공간 V의 경우, 빈 세트, 공간 V 및 V의 선형 하위 공간은 볼록한 원뿔이다.
$\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 에 있는 유한하거나 무한 벡터 집합의 원뿔형 조합은 $\mathbb {R} ^{n}$ 볼록한 원뿔형 원뿔형이다.
볼록한 세트의 접선 원뿔은 볼록한 원뿔이다.
세트
$\left\{x\in \mathb {R}^{2}\mid x_{2}\geq 0,x_{1}=right\}\cup \{x\in \mathb {R}^{2}\mid x_{1}\geq 0,x_{2}=0\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
원뿔이지만 볼록한 원뿔은 아니다.
노름 원뿔
$\left\{(x,r)\in \mathb {R}^{d+1}\mid \x\\leq r\right\}}$
볼록한 원뿔이다.
같은 벡터 공간에서 두 볼록콘의 교차점은 다시 볼록콘이지만 이들의 결합은 하나가 되지 못할 수도 있다.
볼록콘의 등급도 임의의 선형 지도에 의해 폐쇄된다.특히, C가 볼록콘이라면, 그 반대도 마찬가지 - $-C$ $-C$ 과 $-C$ $C\cap -C$ $C\cap -C$ - $C\cap -C$ ${\displaystyle$ C\ $cap -C}$ 은 C에 포함된 가장 큰 선형 아공간이다 $C\cap -C$ .
양수 세미데마인 행렬 집합.
음이 아닌 연속함수의 집합은 볼록콘이다.

특별한 예

아핀 볼록콘

아핀 볼록콘은 볼록 콘에 아핀 변환을 적용함으로써 생기는 세트다.^[6]일반적인 예는 볼록콘을 점 p: p + C로 번역하는 것이다.기술적으로 그러한 변환은 비원형을 생성할 수 있다.예를 들어 p = 0이 아닌 한 p + C는 선형 원뿔이 아니다.그러나, 그것은 여전히 아핀 볼록콘이라고 불린다.

하프 스페이스

(선형) 하이퍼 평면은 { $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ x $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ V plane $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ ( x ) $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ = $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ $\{x\in V\mid f(x)=c\$ 형식의 집합이며 여기서 $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ f는 벡터 공간 V에서 선형 기능이다.A closed half-space is a set in the form $\{x\in V\mid f(x)\leq c\}$ or $\{x\in V\mid f(x)\geq c\},$ and likewise an open half-space uses strict inequality.^[7]^[8]

반공간(개방 또는 폐쇄)은 아핀 볼록콘이다.더욱이 (유한 치수에서) 전체 공간 V가 아닌 볼록콘 C는 V의 닫힌 반공간 H에 포함되어야 한다. 이것은 파르카스의 보조정리법의 특별한 경우다.

다면체 및 미세하게 생성된 원추

다면체 원뿔은 다음과 같은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있는 특수한 종류의 원뿔이다.^[9]^{: 256–257}

원추 C는 미세하게 많은 벡터의 원추 조합이라면 다면체(dolyheadral)^[10]^[11]이다(이 속성을 정밀하게 생성하기도 한다).I.e., there is a set of vectors $\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ so that $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\}$ .
원뿔은 경계에 0이 있는 한정된 수의 반공간의 교차점이라면 다면체(多面體)이다(이것은 1935년 Weyl에 의해 증명되었다).
원뿔 C는 $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ $행렬$ A $A$ 이 $A$ (가) 있는 경우 다면체(다면체)로, C $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ = { x $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ n ∣ $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$ } ${\displaystyle$ C $=\{x\in \mathb {R} ^{n}\mid Ax\geq$ 0 $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$
원뿔은 균일한 선형 불평등의 시스템의 해법 집합이라면 다면체다.대수적으로, 각각의 불평등은 행렬 A의 한 줄로 정의된다.기하학적으로, 각각의 불평등은 기원을 통과하는 반공간을 정의한다.

모든 미세하게 생성된 원뿔은 다면 원뿔이고, 모든 다면 원뿔은 미세하게 생성된 원뿔이다.^[10]모든 다면 원추형 원추형 원추형에는 극한 생성기의 원추형 선체로서의 고유한 표현이 있으며, 반면체와 연관된 각 선형 형태를 고려할 때 반면체의 교차점에 대한 고유한 표현도 면의 지지 하이퍼 평면을 정의한다.^[12]

다면체 원뿔은 다면체의 표현 이론에서 중심적인 역할을 한다.예를 들어, 다면체의 분해 정리는 모든 다면체는 볼록한 폴리토프와 다면 원뿔의 민코스키 합으로 쓰여질 수 있다고 명시한다.^[13]^[14]또한 다면체 원뿔은 모든 다면체는 다면체이고 모든 경계 다면체는 다면체임을 보여주는 다면체의 관련 유한근거 정리를 증명하는데 중요한 역할을 한다.^[13]^[15]^[16]

다면 원뿔의 두 가지 표현은 - 불평등과 벡터에 의한 - 매우 다른 크기를 가질 수 있다.예를 들어, 모든 음수가 아닌 n-by-n 행렬의 원뿔을 행과 열 합계가 같은 것으로 간주한다.불평등 표현에는 n개의² 불평등과 2개의 방정식이 필요하지만 벡터 표현에는 n! 벡터가 필요하다(버크호프-본 노이만 정리 참조).반대도 일어날 수 있다 - 벡터의 수는 다항식일 수 있지만 불평등의 수는 기하급수적이다.^[9]^{: 256}

두 가지 표현은 함께 주어진 벡터가 원뿔 안에 있는지 여부를 결정하는 효율적인 방법을 제공한다: 원뿔 안에 있다는 것을 보여주기 위해서는, 그것이 정의 벡터의 원뿔적 조합임을 나타내기에 충분하다; 원뿔 안에 있지 않다는 것을 보여주기 위해서는, 원뿔에 위반되는 단일 정의 불평등을 나타내기에 충분하다.이 사실은 파르카스의 보조정리라고 알려져 있다.

벡터에 의한 표현에서 미묘한 점은 벡터의 수가 차원에서는 기하급수적일 수 있기 때문에 벡터가 원뿔 안에 있다는 증거는 기하급수적으로 길 수도 있다는 것이다.다행히도 캐러테오도리의 정리는 원뿔의 모든 벡터가 최대 d 정의 벡터로 표현될 수 있음을 보장하는데, 여기서 d는 공간의 차원이다.

무뚝뚝하고, 뾰족하고, 평평하고, 두드러지고, 적절한 원추

위의 정의에 따르면 C가 볼록콘이라면 C ∪ {0}도 볼록콘이다.볼록콘은 0이 C에 있으면 뾰족하고, 0이 C에 없으면 뭉툭하다고 한다.^[1]^[17]뭉툭한 원뿔은 α, β의 조건에서 "양"을 "양"으로 대체함으로써 볼록콘의 정의에서 제외될 수 있다.

원뿔이 0이 아닌 벡터 x와 그 반대인 -x를 포함하면 평평하다고 하는데, 이는 C가 적어도 하나 이상의 치수의 선형 아공간을 포함하며 그렇지 않으면 두드러진다는 것을 의미한다.^[18]^[19]뭉툭한 볼록콘은 반드시 두드러지지만, 그 반대가 반드시 사실인 것은 아니다.볼록콘 C는 C ∩ -C ⊆ {0}인 경우에만 두드러진다.원뿔 C는 C - C가 전체 벡터 공간과 같으면 생성된다고 한다.^[20]

일부 저자들은 지적해야 할 중요한 원뿔을 요구한다.^[21]또한 "점"이라는 용어는 완전한 선이 없는 닫힌 원뿔(즉, 주변 벡터 공간 V의 비종속적인 하위 공간이나 또는 근위 원뿔이라고 하는 것을 의미하지 않는다)을 가리키는 말로도 자주 사용된다.^[22]^[23]^[24]적절한 (콘벡스)콘이라는 용어는 문맥과 저자에 따라 다양하게 정의된다.그것은 종종 볼록하고, 닫히고, 뾰족하고, 두드러지고, 그리고 완전한 차원 같은 다른 성질을 만족시키는 원뿔을 의미한다.^[25]^[26]^[27]이러한 다양한 정의 때문에, 문맥이나 출처는 이러한 용어의 정의에 대해 참조되어야 한다.

이성적 원추

순수한 수학자들이 특히 관심을 갖는 원뿔의 한 종류는 부분적으로 순서가 정해진 이성 원뿔의 집합이다."합리적인 원뿔은 토릭 대수 기하학, 콤비네이터 조합 대수학,^[28] 정수 프로그래밍에서 중요한 물체다." $\mathbb {R} ^{d}$ 물체는 격자 $\mathbb {Z} ^{d}$ $\mathbb {Z} ^{d}$ ${\$ $daystyle$ $\mathb{R} ^{d}}$ 와 함께 $\mathbb {R} ^{d}$ R d ${\$ $d$ }의 원뿔을 연구할 때 발생한다 $\mathbb {Z} ^{d}$ 원뿔은 모든 생성자가 정수 좌표를 가질 때마다 합리적(여기서는 위에서 정의한 대로 "지점"으로 가정함). 즉, $C$ ${\displaystystyle$ C $}$ 이 합리적이라면 $C$ 원뿔이라고 부른다.one, then $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+},v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}\}$ .

듀얼 콘

내부 제품이 장착된 실제 벡터 공간 V에서 C set V를 볼록한 세트로 하고 볼록한 세트로 한다.C에 대한 (연속 또는 위상학) 이중 원뿔이 설정됨

C^{*}=\{v\in V\mid \forall w\in C,\langle w,v\angle \geq 0\}

항상 볼록한 원추형 원추형이야여기서 $\langle w,v\rangle$ $\langle w,v\rangle$ , $\langle w,v\rangle$ $\langle w,v\rangle$ $\langle w,v\rangele$ 은 $\langle w,v\rangle$ (는) C와 V 사이의 이중성 쌍이다. 즉, $\langle w,v\rangle =v(w)$ $\langle w,v\rangle =v(w)$ $\langle w,v\rangle =v(w)$ $\langle w,v\rangle =v(w)$ = $\langle w,v\rangle =v(w)$ ( $\langle w,v\rangle =v(w)$ ${\displaystyle \langle w,v\rangele =v(w$

보다 일반적으로 선형 공간 V에서 C ⊂ V에 대한 (알지브라틱) 듀얼 콘은 다음과 같이 정의된 이중 공간 V*의 하위 집합이다.

C^{*}=\좌측\{v\in V^{*}\mid \forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.

즉, V*가 V의 대수적 이중 공간이라면, 원시 원뿔 C에서 음이 아닌 선형 함수 집합이다.만약 우리가 V*를 연속적인 이중공간으로 본다면, 그것은 C에서 음이 아닌 연속적인 선형함수의 집합이다.^[29]이 개념은 V의 내부 제품의 사양을 필요로 하지 않는다.

유한 차원에서 이중 원뿔의 두 개념은 본질적으로 동일하기 때문에 모든 유한차원 선형 기능적이다 continuous,[30]고 모든 연속 선형 기능에 있는 내적 공간을 유발하는 선형 동형 이성(정칙 선형 사상)에서 V*에 V, 이 동형 이성을 받아들이는 이중 콘에 의해서 두번째 definit.이온,V*에서 첫 번째 정의에 의해 주어진 정의 위에, Riesz 표현 정리를 참조하십시오.^[29]

만약 C가 그것의 이중 원뿔과 같다면, C는 자기 이중이라고 불린다.원뿔은 첫 번째 정의에 의해 그것의 이중과 동일한 내부 제품이 있는 경우, 주어진 내부 제품에 대한 참조 없이 자체 이중이라고 말할 수 있다.

시공

Hilbert spaceV의 닫힌 볼록한 부분집합 K에 의해 K의 x 지점에서 세트 K에 대한 바깥쪽 일반 원뿔은 다음과 같이 주어진다.
$N_{K}=\왼쪽\{p\in V\colon \forall x^{*}\colon K,\left\langle p,x^{*-x\right\langele \leq 0\right\}.$
V의 닫힌 볼록한 부분 집합 K가 주어지면 x 지점에서 설정된 K에 대한 접선 원뿔(또는 우발 원뿔)은 다음과 같이 주어진다.
$T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {K-x}{h}}}}}.$
힐버트 공간 V의 닫힌 볼록한 부분집합 K가 주어진 경우, K의 x 지점에서 세트 K에 대한 접선 원뿔은 정상 원뿔 N $N_{K}(x)$ ( $N_{K}(x)$ ) ${\displaystyle N_{K}(x$
$T_{K}(x)=N_{K}^{*(x)\\\\overset {\underset {\mathrm {def}{}}{}}}}{{}}}}{{K}(x):\langle y,\xi \langeleqslant 0\}}}}}}}}}$

정상 원뿔과 접선 원뿔 모두 닫히고 볼록한 성질을 가지고 있다.

그것들은 볼록 최적화, 변동 불평등 및 예측된 동적 시스템의 분야에서 중요한 개념이다.

특성.

C가 X에서 비어 있지 않은 볼록 콘인 경우, C의 선형 스팬은 C - C와 같고 C에 포함된 X의 가장 큰 벡터 서브공간은 C ∩(-C)와 같다.^[31]

볼록콘에 의해 정의된 부분 순서

뾰족하고 두드러진 볼록콘 C는 $x\leq y$ 에 부분 순서 " ""를 유도하며, $y-x\in C.$ y $y-x\in C.$ - x $x\leq y$ y ${\displaystyle x\leq$ y $}$ 이 $x\leq y$ (가) y - $y-x\in C.$ ∈ $y-x\in C.$ $.$ {\ $displaysty y-x\in.$ (콘이 평평하다면, 동일한 정의는 단지 사전 순서만 제공한다) $y-x\in C.$ 이 질서에 관한 유효 불평등의 합계 및 양의 스칼라 배수는 유효 불평등으로 남아 있다.그런 순서가 있는 벡터 공간을 순서형 벡터공간이라고 한다.예로는 실제 값 벡터의 제품 순서, $\mathbb {R} ^{n},$ n $\mathbb {R} ^{n},$ , ${\displaystyle \mathb {R} ^{n},$ 양수 $\mathbb {R} ^{n},$ 세미더파인 행렬의 Loewener 순서를 들 수 있다.그러한 순서는 일반적으로 양성 반피니트 프로그래밍에서 찾을 수 있다.

참고 항목

메모들

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v t 위상 벡터 공간(TV)
기본개념	바나흐 공간 연속 선형 연산자 함수 힐베르트 공간 선형 연산자 국소 볼록한 공간 동형성 위상 벡터 공간 벡터 공간
주요 결과	앤더슨-케이덱 정리 바나흐-알라오글루 정리 닫힌 그래프 정리 F. 리에스의 정리 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 벡터 값 한-바나흐) 개방형 매핑(Banach-Schauder)(경계 반전) 균일 경계(Banach-Steinhaus)
지도	거의 열려 있음 이린린(형식) 연산자) 및 Sesquilinar 형식 닫힌 콤팩트 연산자 연속 및 불연속 선형 지도 조밀하게 정의됨 동형성 함수 규범 연산자 세미놈 하위선형 전치하다
세트 종류	절대 볼록/디스크 흡수/방사선 아핀 균형/순환 디스크 배너치 경계점 경계 보완된 하위 공간 볼록스 볼록콘(하위 세트) 선형 원뿔(하위 세트) 극한점 사전 계산/완전 경계 퍼머드/샤이 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭
작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 볼록 선체 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
TV의 종류	아스플룬드 B-완전/P탁 바나흐 (카운트) 바렐라 (울트라-) 태생학 브레이너 완성하다 편리한 (DF)-공간 특출신 F-공간 프레셰트 (테메 프레셰트) 그로텐디크 힐베르트 엽기적인 보간공간 K-공간 LB-공간 LF-공간 국소 볼록한 공간 맥키 (사이비도)메트리저블 몬텔 콰시바라드 준완전 콰시노르메드 (폴리노멀리) 반)반사성 리에츠 슈워츠 반완전 스미스 고정관념 (B) 엄밀히 균일볼록스 (Quasi-) 초음파상 균일하게 매끈매끈함 웹베드 근사 특성 포함

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