폴라 세트

극성 집합(잠재 이론)도 참조하십시오.

기능적, 볼록한 분석 및 수학 관련 학문에서 극성 집합 $∘{\$$circle$ $}}$은 이중 $공간{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$에 놓여$$ 있는 벡터 $공간{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ $X}$의 하위 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ A$}$과 연관된 특수 볼록 집합이다$.$$A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$, ${\displaystyle A^{\circle }}$의 극지방이지만 $$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있다($X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\prime }}^{}}$ ${\$ X$^{\prime \premium }).$

정의들

투사 기하학 및 볼록 분석에서 비롯되는 세 가지 이상의 경쟁적 극성 정의가 있다.^{[1][citation needed]}각 경우에 정의는 실제 또는 복잡한 ${\displaystyle \mathrm{숫자}}$(${\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle$ $\langle X,$ Y$\displaystyle$ $Y})$에 대한 벡터 공간 쌍의 특정 하위 집합 사이의 이중성을 설명한다$$.

If ${\displaystyle X}$ is a vector space over the field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ then unless indicated otherwise, ${\displaystyle Y}$ will usually, but not always, be some vector space of linear functionals on ${\displaystyle X}$ and the dual pairing ${\displaystyle \left\lang$$le \cdot ,\cdot \right\rangele$ :$X\time$ Y$\to$\mathb {$K}}}$은(는) 다음에 의해 정의된 양면 평가(점) 지도가 될 것이다$$.

$\displaystyle \left\langle x,f\right\angle :=f(x)}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 벡터 공간인 경우 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$은(는$$) 일반적으로 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 연속 이중 공간이 되며, 이 경우$$ 이중 쌍은 다시 평가 맵이 된다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 기본 스칼라 필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 원점을 중심으로$$ 반지름 ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle r\geq 0}$의 닫힌 볼을 나타냄

${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathb {K} }:=\{s\in \mathb {K} : s \leq r\}}$

기능분석적 정의

절대 극지

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\$이(가) 쌍이라고 가정합시다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 극 또는 절대 극성이 설정됨$$:

${\displaystyle {\reasonedat}{4}A^{\circ}:=&, \left\{y\in Y~:~\sup_{Aa\in}\left a,y\right\rangle\right \leq 1\right\}~~~~& \left\langle, &, \\[0.7ex]=&, \left\{y\in Y~:~\sup \left \left\langle A,y\right\rangle \leq \right 1\right\}~~~~&,&{\text{어디}}:\left\langle A,y\right\rangle \right \left =\left\{\left\left\langle a,y\right\rangle \right:A\right a\in.\와 같이}\\[0.7ex]=&, \left\{y\inY~~:\왼쪽\langle A,y\right\langle \subseteq B_{1}\right\\}~~&{\text{{}여기서 }B_{1}:\s\in \mathb {K} : s \leq 1\}.\\[0.7ex]\end{aignatedat}}}$

where ${\displaystyle \left\langle A,y\right\rangle :=\left\{\left\langle a,y\right\rangle :a\in A\right\}}$ denotes the image of the set ${\displaystyle A}$ under the map ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ defined by ${\displaystyle x\mapsto ⟨x,y⟩.}$${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ If ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denotes the convex balanced hull of ${\displaystyle A,}$ which by definition is the smallest convex and balanced subset of ${\displaystyle X}$ that contains ${\displaystyle A,}$ then ${\displaystyle A^{\circ }={[\mathrm{cobal}}^{}}$${\displaystyle A^{\circle }=\왼쪽[\operatorname {cobal}A\right]^{\circle }}}$

이것은 기하학적 정의의 부속적인 변화로, 단위 공의 기능분석적 극성($X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$\})$이 정확하게 단위 공($Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$})$이라는 유용한 특성을 가지고 있다.$$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$의 전극 또는 절대 전극은 다음과$$ 같이 설정된다.

${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\left \left\langle x,b\right\rangle \right \leq 1\right\}=\left\{x\in X~:~\sup \left \left\langle x,B\right\rangle \right \leq 1\right\}}$

$매우{\displaystyle }$ 자주 Y ${\displaystyle Y}$의 $부분집합{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B$$}$의 전극은 B${\$ B}의 극극 또는 절대 극극이라고도 불리며$$$$$,$ $실제로{\displaystyle {}^{}}$ 이러한 표기법과 $단어$ "$극성$"의 재사용은 어떤 문제(예: 모호성)와 많은 저자를 야기하는 경우가 드물다.s는 "삼극"이라는 단어조차 사용하지 않는다.

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 $부분집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 양극성은 종종$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}{\circ }^{}}$ , ${\displaystyle A^{\$$circle$$}}}}$에 의해 표시되며, 이는 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystystyle$ {}{}\circleft$}\}\cleft$$왼쪽(A^{}\circirc$)이다$.$

${\displaystyle A^{\circle }:={}^{\circle }}\왼쪽(A^{\circle }오른쪽)=\왼쪽(A^{x\in X~:~\sup)\{y\langle \langle x,y\right\leq 1\right}}$

리얼 폴라

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 실제 극성은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle A^{r}=\좌측\{y\in Y~~:\sup _{a\in A}\operatorname {Re}\좌측\langle a,y\right\langeleq 1\우측\}}}}$

$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 부분 집합 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 실제 전극은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {}^{r}B:=\\leq\{x\in X~~:\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \left\langle x,b\right\rangele \leq 1\right\}.}$

절대 prepolar와 마찬가지로, 진짜 prepolar이 보통이며, 또한 Br.{\displaystyle B^{r}에 의해 표시됩니다.}[2]이 몇몇 작가들은(예를 들어[Schaefer1999년])과 기호 A∘{\disp를 사용하여"극성""극지방의 실제"(오히려"극지방의 절대"보다 이 기사에서 행해진다)을 의미할 동작을 정의 중요한 점이 진정한 북극곰이라고 불린다.놓다그것에 대해$$ $스타일 A^{\circle$}}(이 기사와 [Narici 2011]에서 사용되는$$ 표기법 ${\displaystyle A^{}}$ r ${\$ A$^{r}$이 아닌)이다.

The real bipolar of a subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle X,}$ sometimes denoted by ${\displaystyle A^{rr},}$ is the set ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$; it is equal to the ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$-closure of the convex hull of ${\displaystyle A\cup \{0}$${\displaystyle A\cup \{0\}.$$}$^[2]

하위 집합을 위해 X의{A\displaystyle},,, A∘.{\displaystyle A^{\circ}가 포함되어 있습니다. 일반적으로}[2]Ar{\displaystyle A^{r}}이 바로 볼록,σ(Y, X){\displaystyle \sigma(Y,X)}-closed{X\displaystyle,}, A∘ ≠ r(A^{r}}지만 equali 가능하다.ty$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 균형을 이루면 유지됨Furthermore, ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ where ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ denotes the balanced hull of ${\displaystyle A^{r}.$$}$^[2]

경쟁 정의

집합의 "극"의 정의는 보편적으로 합의되지 않았다.이 글은 '절대 극성'을 '절대 극성'을 의미하는 것으로 정의했지만, 어떤 저자는 '극성'을 '진짜 극성'을 의미하는 것으로 정의하고 다른 저자들은 여전히 다른 정의를 사용한다.작가가 "극"을 어떻게 정의하든, $표기법{\displaystyle {}^{}}$ A$∘{\$ A$^{\circle }}$는 거의 항상 자신의 정의 선택을 나타낸다(따라서 $표기법$ A ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$ A$^{\circle }).$특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 극성을 다음과 같이 정의하기도$$ 한다.

${\displaystyle A^{r }=\좌측\{y\in Y~:~\sup_{a\in A}\좌측 \operatorname {Re}\좌측\langle a,y\right\leq 1\우측\right\}}}$

여기서 표기법 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ $displaystyle A^{$r$}}$은(는) 표준 표기법이 아니다.

우리는 이제 이러한 다양한 정의들이 어떻게 서로 연관되어 있는지 그리고 그것들이 언제 등가인지에 대해 간단히 논한다.

는 것은 언제나 사실이다.

${\displaystyle A^{\circle }\subseteq A^{r}{r}}$

and if ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ is real-valued (or equivalently, if ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are vector spaces over ${\displaystyle \mathbb {R} }$) then ${\displaystyle A^{\circ }=A^{ r }.}$

If ${\displaystyle A}$ is symmetric (i.e. ${\displaystyle -A=A}$ or equivalently, ${\displaystyle -A\subseteq A}$) then ${\displaystyle A^{ r }=A^{r}}$ where if in addition ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ is real-valued then ${\displaystyle A^{\circ }}$${\displaystyle$$}$

If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are vector spaces over ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (so that ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ is complex-valued) and if ${\displaystyle iA\subseteq A}$ (where note that this implies ${\displaystyle -A=A$$}$ 및$$ ${\displaystyle i}$ A =${\displaystyle A}$ ${\displaystyle iA=A})$를 선택한 다음

${\displaystyle A^{\circle }\subseteq A^{{}}{}}\subseteq \left({\frac {1}{\sqrt{2}}A\right)^{\message }}$

여기서 e ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{addition}}$ A ${\displaystyle e^{ir}$가 추가될 경우모든 $실제{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$에 대한 $A\subseteq A}$ 이후$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$. ${\displaystyle$ A$^{\circle }=A^{r}.$$}$

따라서 $이러한{\displaystyle }$ 모든 정의의 A ${\displaystyle A}$이(가) 동의하기 위해서는$$ 모든 스칼라의 길이^{[note 1]} ${\displaystyle sA\$$subseteq A}$에 대해$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ s}이면 충분하다(${\displaystyle \mathrm{여기}}$서는 $s{\displaystyle }$= A ${\displaystystytyle$SA=모든 단위 길이 스칼라 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에 대한$$ $A}$특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 극지방에 대한 모든 정의는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 균형 집합일 때(항상$$ 그렇지는 않지만 항상은 아님) 동의하므로, 이러한 경쟁적 정의 중 어떤 것이 사용되었는지는 중요하지 않다.그러나 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 "극" 정의의 이러한 차이는 $때때로{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A$}이$$(가) 반드시 균형을 이루지는 않을 때 미묘하거나 중요한 기술적 차이를 유발한다$$.

표준 이중성을 위한 전문화

대수 이중공간

If ${\displaystyle X}$ is any vector space then let ${\displaystyle X^{\#}}$ denote the algebraic dual space of ${\displaystyle X,}$ which is the set of all linear functionals on ${\displaystyle X.}$ The vector space ${\displaystyle X^{\#}}$ is always a closed subset of the space ${\displaystyle {\mathbb{K}}^X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ of all ${\displaystyle \mathbb {K} }$-valued functions on ${\displaystyle X}$ under the topology of pointwise convergence so when ${\displaystyle X^{\#}}$ is endowed with the subspace topology, then ${\displaystyle X^{\#}}$ becomes a Hausdorff complete locally convex 위상 벡터 공간(TV).모든 하위 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A\subseteq$ X$,}$의 경우

${\displaystyle {\reasonedat}{4}}A^{\#:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A} f(a) \leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup f(A) \leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }} f(A) :=\{ f(a) :a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} : s \leq 1\}.\\[0.7ex]\end{aignatedat}}}$

If ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ are any subsets then ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ and ${\displaystyle A^{\#}=\left[\operatorname {cobal} A\right]^{\#},}$ where ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ denotes the convex balanced hull of ${\displaystyle A.}$ For any finite-dimensional vector subspace ${\displaystyle Y}$ of ${\displaystyle X,}$ let ${\displaystyle \tau _{Y}}$ denote the Euclidean topology on ${\displaystyle Y,}$ which is the unique topology that makes ${\displaystyle Y}$ into a Hausdorff topological 벡터 공간(TV).If ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ denotes the union of all closures ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ as ${\displaystyle Y}$ varies over all finite dimensional vector subspaces of ${\displaystyle X,}$$[\displaystyle X,}$ $그러면$ A${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\cup }_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{cl}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{Limited}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{\mathrm{}}}$# ${\$ A$^{\#}=\left[]$$A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\오른쪽]^$${\#}($해명은 이 각주^{[note 2]} 참조).$만약{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 흡수 부분 집합이라면$$, Banach-Alaoglu $정리$로는 #${\$ $A$$^{\#}$가 X #${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$. ${\displaysty$ X$^{\#}$의 약* 콤팩트 부분 집합이다$$.$}$

If ${\displaystyle A\subseteq X}$ is any non-empty subset of a vector space ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle Y}$ is any vector space of linear functionals on ${\displaystyle X}$ (that is, a vector subspace of the algebraic dual space of ${\displaystyle X}$) then the real-valued map

${\displaystyle \,\cdot \, _{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$ defined by ${\displaystyle \left x^{\prime }\right _{A}~:=~\sup \left x^{\prime }(A)\right ~:=~\sup _{a\in A}\left x^{\prime }(a)\right }$

is a seminorm on ${\displaystyle Y.}$ If ${\displaystyle A=\varnothing }$ then by definition of the supremum, ${\displaystyle \,\sup \left x^{\prime }(A)\right =-\infty \,}$ so that the map ${\displaystyle \, \,\cdot \, _{\varnothing }=-\infty \,}$ defined위는 실제 가치로 평가되지 않을 것이고 결과적으로 세미노름도 아닐 것이다.

연속 이중공간

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 연속 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle$ X$^{\prime }}$을(를) 갖는 위상학적 벡터 공간(TV)이라고$$ 가정해 $보십시오{\displaystyle }$. Y${\displaystyle }$:= ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}${$${\$displaystyle Y:=X^{\primeprim}}}}$과 괄호가 표준 지도를 나타내는 중요한$$ 경우:

${\displaystyle \left\langle x,x^{\premy }\rigle :=x^{\premy }(x)}$

현재 고려되고 있다.트리플 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ X$,X^{\prime }\right\angle }}$은 X${\displaystyle }$.$${\$displaysty X.}$와 연관된 표준 쌍이라고 불린다.

이 표준 쌍과 관련된$$ 부분 집합 $A{\displaystyle }$polar ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$의 극성은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasonedat}{4}A^{\circ}:=&, \left\{x^{\prime}\in X^{\prime}~:~\sup _{Aa\in}\left x^ᆱ(를)\right(1\right\}~~~~&,&{\text{기 때문에}}\left\langle a,x^{\prime}\right\rangle:=x^ᆴᆪ\\[0.7ex]=&, \left\{x^{\prime}\in X^{\prime}~:~\sup \left x^ᆷ(A)\right(1\right\}~~~~&,&{\text{어디}}\left x^ᆹ(A)\right.:=\left\{\left x^{\prime }(a)\right :a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} : s \leq 1\}.\\[0.7ex]\end{aignatedat}}}$

For any subset ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ where ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ denotes the closure of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle X.}$

The Banach–Alaoglu theorem states that if ${\displaystyle A\subseteq X}$ is a neighborhood of the origin in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ and this polar set is a compact subset of the continuous dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ when ${\disp$$레이스타일 X^{\prime }}$은(는) 약한* 위상(점점 수렴의 위상이라고도 함)을 부여받는다$$.

${\displaystyle A}$이(가) 단위 길이의 $모든$ 스칼라 ${\displaystyle sa}$에 대해 s${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$을(를) 충족하면$$ 절대값 기호를 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaysty \operatorname {Re}($실제 부품 연산자)로)로 대체하여 다음을 수행할 수 있다.

${\displaystyle {\reasonedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{aignatedat}}}$

$Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaystyle B}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ B ${\$$displaystyle Y=X^{\prime }$의 전극은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {}^{\circle }B:=\좌측\{x\in X~~~\sup_{b^{\prime }\우측 b^{b^{preme }}}\우측 \leq\=\좌측 \x\우측 \좌측 B(x)1\우측 \우측 \우측 \c)\우측 \우측 \우측 \우측 \우측 \우측 \우측.$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) 단위 길이의 $모든$ 스칼라 ${\displaystyle s}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle sB\subseteq B}$을(를) 충족하면 절대값 기호를 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaysty \operatorname {Re}($으)로 교체하여 다음을$$ 수행할 수 있다.

${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\left\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\right\}}$

여기서 $B{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle b{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{b}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle B(x):$$=\\left\{b^{\premy }(x)~:~b^{\premy }\in B\right\}.$$}$

양극성 정리는 위상 벡터 공간의 부분집합의 양극성을 특징으로 한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 정규 공간이고 $$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(또는 개방형 유닛 볼을 포함하는 닫힌 유닛 볼의 하위 집합) X ${\$$displaystyle$ $X$$}$의 열린 또는 닫힌 유닛 볼이라면 S $then{\displaystyle {}^{}}$ $displaystyle$ S$^{\circ}}$은 연속$$ $이중{\displaystyle {}^{}}$ 공간 X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$′ ${\$의 닫힌 유닛 볼이다.$e{\displaystyle {}^{}}$ $X^{\prime }}$$$X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$prime {\$displaystyle X^{\prime }}$이(가) 표준적인 이중 규범을 부여받았을$$$$ 때.

원뿔의 기하학적 정의

볼록콘 $A{\displaystyle }$ X {\$displaystyle$ A$\subseteq X}$의 폴라콘이 세트다$$.

${\displaystyle A^{\circle }=\왼쪽\{y\in Y~:~\sup_{x\in A}\langle x,y\rangele \leq 0\right\}}}}$

이 정의는 점과 하이퍼플레인에 이중성을 부여하며, 후자를 반대 방향의 두 반공간 교차점으로 쓴다.지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$의 극지 하이퍼플레인은 위치$$${\displaystyle }${${\displaystyle y}$ :${\displaystyle }$⟨${\displaystyle y}$ y ,${\displaystyle }$x${\displaystyle 0}$ = 0$}$ {\$displaystyle \{y$~:~\$langle y,x$\^{[3][citation needed]}$angle$=0$\backslash \}\}\}\}\};$ 하이퍼플레인의 이중 관계가 하이퍼플레인의 극지점을 산출한다.

일부 저자들은 이중 원뿔을 폴라 원뿔이라고 부른다; 우리는 이 글에서 그 관례를 따르지 않을 것이다.^[4]

특성.

${\displaystyle \mathrm{달리}}$ 명시되지 않는 한 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle }$Y ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle X,Y\angle }$은(는) 쌍으로 구성된다$$.The topology ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ is the weak-* topology on ${\displaystyle Y}$ while ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ is the weak topology on ${\displaystyle X.}$ For any set ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ denotes the real polar of ${\disp$$레이스타일 A}$ 및$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$ A$^{\circle }}$은(는) $A{\displaystyle }$.${\displaystyle$ A$.}$의 절대 극성을 의미한다.$$ 극이라는 용어는 절대 극성을 가리킬 것이다.

• 한 세트의 (절대) 극은 볼록하고 균형이 잡힌다.^[5]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 실제 $극성{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ r ${\$$r}$은(는) 볼록하지만$$ 반드시 균형을 이루지는 않는다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle A}$이(가) 균형을$$ 이루면 ${\displaystyle {균형}^{}}$을 이룬다.^[6]
• 단위 길이의$$ 모든 $스칼라{\displaystyle }$ s$${\$displaystyle s$}에$$ 대해 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq$ A$}$인 경우 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$A ${\displaystyle r^{}}$ .${\displaystyle$ A$^{\circle }=A^{r}.$$}$
• ${\displaystyle {\{}^{}}$$${\$displaystyle$A^{\$circle }$은$($는$)$ Y {\displaystyle Y$}$의 약한-*-토폴로지 $아래$ Y ${\$$displaystyle Y}$에서 닫힌다$.$^[3]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$은($예{\displaystyle }$: ${\displaystyle \sigma }$( X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ -bound$$) S ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\displaysty S$$^{\circ}$가 Y$}$에서 흡수되는 경우에만 약하게 된다$$$.$^[2]
• For a dual pair ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ where ${\displaystyle X}$ is a TVS and ${\displaystyle X^{\prime }}$ is its continuous dual space, if ${\displaystyle B\subseteq X}$ is bounded then ${\displaystyle B^{\circ }}$ is absorbing in ${\d$Isplaystyle X^{\prime}.}[5]만약 X{X\displaystyle}은 지역적으로 수막새와 B({\displaystyle B^{\circ}}X′{\displaystyle X^{\prime}에}그 다음에 B{B\displaystyle}X에 의해 주목된다.{X\displaystyle}게다가, X{X\displaystyle}의 부분 집합 S{S\displaystyle} 약하다.사행$S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$ S$^{\circle }}$이(가) X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$에서 흡수되는 경우에만$$ 제한됨${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ X$^{\preme }}$
• The bipolar ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ of a set ${\displaystyle A}$ is the ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$-closed convex hull of ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ that is the smallest ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$-closed and convex set containing both ${\displ$$aystyle A}$ 및 $0$. ${\displaystyle$ 0$.}$
  • 마찬가지로 원뿔 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 입찰 원뿔은 $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle$A}의 $closed{\displaystyle }$ ${\displaystyle (X}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ - 닫힌$$ 원뿔 선체가 된다$$$.$$}$^[7]
• If ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a base at the origin for a TVS ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).$$}$^[8]
• If ${\displaystyle X}$ is a locally convex TVS then the polars (taken with respect to ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$) of any 0-neighborhood base forms a fundamental family of equicontinuous subsets of ${\displaystyle X^{\prime }}$ (i.e. given any bounded subset ${\di$$X$ ${\displaystyle {\sigma }_{\mathrm{}}^{}}$의$splaystyle$ H$}$$$, {\$displaystyle$X_{\$sigma$}^{\$premy$}}}}}$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$}에 원본의$$ $S{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle S$$}$이(가) 있으며$$, $H$ ⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\subseteq$ S$^{\c }}}}}}}}}}}).$^[6]
  • Conversely, if ${\displaystyle X}$ is a locally convex TVS then the polars (taken with respect to ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$) of any fundamental family of equicontinuous subsets of ${\displaystyle X^{\prime }}$ form a neighborhood base of the origin in ${\displaystyle X.}$^[6]
• $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X}$을(를$)$ 토폴로지가 $있는{\displaystyle }$ TVS로$$ $두십시오$. {\displaystyle$$$\$$tau$} $그러면$ display {\$displaystyle$\tau$$}이${\displaystyle {}^{}}$가) X $display$ . {\$displaysty$ X$^{\}$의 등거리 부분 집합에 대한 균일한 수렴 토폴로지인 경우에만 $로컬{\displaystyle }$ 볼록 TVS 위상이다$$.

마지막 두 결과는 연속적인 이중 공간의 등가 부분 집합이 왜 기능 분석의 현대 이론에서 그렇게 두드러진 역할을 하는지 설명한다. 등가 부분 집합은 국소 볼록 $공간{\displaystyle }$ X의$$원래 위상에 대한 모든 $정보를 캡슐화$하기$$때문이다.

관계 설정

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{ r }=X^{r}=\{0\}}$^[6] and ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{ r }=\varnothing ^{r}=Y.$$}$
• For all scalars ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\frac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$ and for all real ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{ r }={\frac {1}{t}}\left(A^{ r }\right)}$$$ ${\displaystyle {및}^{}}{\displaystyle }$( ${\displaystyle t{}^{}}$) r${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$( ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (tA)^{r}={\frac {1}{t}\왼쪽(A^{r}\오른쪽).$$}$
• ${\displaystyle A^{}}$= ${\displaystyle {\circ }^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{\circle \circle }}=A^{\circle }}그러나$ 실제 극지방의 경우 ${\displaystyle A^{}}$ r ${\displaystyle r^{}}$ r ${\displaystyle r^{}}$ ⊆ ${\displaystyle {}^{}{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle A^{r}\subseteq$ A$^{r}.$$}$^[6]
• $집합{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle A_{}}$, ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$의 모든 유한 집합에 대해

${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\오른쪽)^{\circle }=\좌(A_{1}^{\circle }\우)\컵 \cdots \cup \좌(A_{n}^{\circircle }\우)\컵 \codots \좌(A_{n}^{}우)}$

• If ${\displaystyle A\subseteq B}$ then ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ and ${\displaystyle B^{ r }\subseteq A^{ r }.}$
  • 즉, $\bigcup {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ (${\displaystyle A_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ )${\displaystyle {}_{}^{}\subseteq }$ ${\displaystyle {(\bigcap \underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{i}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\in }}^{}}$ I ${\displaystyle {\underset{}{A}}^{}}$ ${\displaystyle {I_{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ I$}\left (A_{i}^{circle }\right)\subseteq \left(\bigcap$ \{i}{i_{i_{i_{i_{i_{$i_{i_in$ I})$$\$i_{$i_${i_${i_{i_in I$})\in$ I})\i$^{\circle$ $\}\};$ 평등은 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 유한할$$ 때 반드시 유지되며, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 무한할$$ 경우 유지되지 않을 수 있다.
• $= {\$$^{\circle$ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{Ⅰ<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash bigcap\; \_\{i\backslash in\; I\}\backslash left(A\_\{i\}^\{\backslash circ\; \}\backslash right)=\backslash left(\backslash bigcup\; \_\{i\backslash in\; I\}A\_\{i\}\backslash right)^\{\backslash circ\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/32b4e280a8cae792d099a92cfd10c7fd34662e19"\; style="vertical-align:\; -3.171ex;\; width:21.241ex;\; height:7.509ex;"\; papago-attr-id="676">}}{}_{}^{}}$ r${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle {\bigcup \underset{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{i}}^{}}$∈ I ${\displaystyle {A_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{}{}_{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \bigcap_{i\in$ I$}\왼쪽($A_${i$}^{$r}\ri}\right$)=\$좌측(\빅컵 _${i\in I}A_${$i}\ri$}\$ri}\$오른쪽$)^{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
• If ${\displaystyle C}$ is a cone in ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.$$}$^[5]
• If ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ is a family of ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$-closed subsets of ${\displaystyle X}$ containing ${\displaystyle 0\in X,}$ then the real polar of ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$ is the closed convex hu$\cup {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$( ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle r_{}^{}}$)의 ll$.$ {\$displaystyle \cup _{i$\in I$}\left(S_{$i}^{$r}\right)$$}$^[6]
• If ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ then ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).$$}$^[9]
• 실제 벡터 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$에서 닫힌 볼록콘 C ${\displaystyle C}$의 경우 폴라콘은 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 극성이 된다$.$ 즉,

${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\right\},}$ where ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle ..$$}$^[1]

참고 항목

• Banach-Alaoglu 정리 – 표준 벡터 공간의 이중에서 닫힌 단위 공은 약한 위상*에서 콤팩트하다.
• 양극 정리 – 볼록 분석에서의 정리
• 폴라콘
• 극지 위상 – 경계 하위 집합의 일부 하위 집합에서 균일한 수렴의 이중 공간 위상
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.