분포(차이 지오메트리)

수학 내의 분야인 차등 기하학에서, 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 분포는 특정 특성을 만족하는 벡터 서브스페이스의 $할당$ x$Δ$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x \mapsto \{x}\subseteq T_{x}M$}M$}$이다.가장 일반적인 상황에서 분포는 접선 번들 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$의 벡터 하위 번들로 요청된다$.$

추가적인 통합성 조건을 만족하는 분포는, 즉 다지관의 분할을 더 작은 서브매니폴드로 발생시킨다.이러한 개념은 통합형 시스템, 포아송 기하학, 비전속 기하학, 하위-리만 기하학, 미분위상 등과 같은 수학의 많은 분야에서 여러 가지 응용 분야를 가지고 있다.null

비록 같은 이름을 사용하지만, 이 글에서 제시된 분포는 분석의 의미에서 분포와 아무런 관련이 없다.null

정의

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 매끄러운 다지관으로 두십시오$$. a (매끄러운) 분포 ${\$$displaystyle$ $\Delta }$은(는) 매끄러운 방식으로 임의$$ $지점{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{\Delta }_{}}$ x × ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaysty \Delta _{x}subset T_{x}M}$M$}$M에 할당한다$$.보다 정확히 말하면 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$}은$($는) 벡터 서브스페이스의 집합$$${\displaystyle }${${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle x_{}}$ M ${\$ M$}$에 다음과 같은 속성이 있는 집합으로 구성되어 있다$$.Around any ${\displaystyle x\in M}$ there exist a neighbourhood ${\displaystyle N_{x}\subset M}$ and a collection of vector fields ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ such that, for any point ${\displaystyle y\in N_{x}}$, span${\displaystyle \{X_1(y),\dots ,X_k(y)\}={}_{}}$${\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.$$}$

부드러운 벡터 필드 {${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots, X_{k}\}\}}$의 로컬 기준으로도 불린다$$$.$ 숫자 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는$)$ 인접 지역마다 다를$$ 수 있다는 점에 유의하십시오.The notation ${\displaystyle \Delta }$ is used to denote both the assignment ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}}$ and the subset ${\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}$.

정규 분포

Given an integer ${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$, a smooth distribution ${\displaystyle \Delta }$ on ${\displaystyle M}$ is called regular of rank ${\displaystyle n}$ if all the subspaces ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ have the same dimension.로컬에서 이는 모든 로컬 $기반$이 n ${\displaystyle n}$ 선형 독립 벡터 필드에 의해 제공되도록 요청하는 양이다.null

보다 압축적으로, 정규 분포는 n $순위{\displaystyle }$n {\$displaystyle n}$의 벡터 하위 분절 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$Δ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$이다($$실제로 가장 일반적으로 사용되는 정의).$순위{\displaystyle }$ $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle n$$}$ 분포는$$$$ n {\displaystyle n} $-playstyle$n} -playstyle 분포라고 부르기도 $하며{\displaystyle ,}$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{m}}$ -$$1 {\$displaystyn=m-1$일 때 하이퍼 평면 분포에 대해 이야기한다.null

분포의 특수 클래스

달리 명시되지 않는 한, "분포"에 의해 우리는 부드러운 정규 분포를 의미한다(위에서 설명한 의미에서).null

비자발분포

Given a distribution ${\displaystyle \Delta }$, its sections consist of the vector fields which are tangent to ${\displaystyle \Delta \subset TM}$, and they form a vector subspace ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$ of the space of all vector fieldson ${\displaystyle M}$. A distribution ${\displaystyle \Delta }$ is called involutive if ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ is also a Lie subalgebra: in other words, for any two vector fields ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {$$\mathfrak{X}(M$ Lie bracket${\displaystyle }$[${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [X,Y]}$은(는) ⊆ ($$ ${\displaystyle X\mathfrak{}}$ (${\displaystyle M}$ ) $⊆$ X${\displaystyle }$(M$){\delta )\$dubseteq ${\mathfrak{X$에 속한다.

Locally, this condition means that for every point ${\displaystyle x\in M}$ there exists a local basis ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ of the distribution in a neighbourhood of ${\displaystyle x}$ such that, for all ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, the Lie bracket $$${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ is in the span of ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$, i.e. ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ is a linear combination of ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.$$}$

비자발적 분포는 통합형 시스템 연구의 기본 요소다.해밀턴 역학에서 이와 관련된 아이디어가 발생한다: 두 가지 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$와 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 그들의 포아송 괄호가 사라지면 상호 비자발적이라고 한다.null

통합 가능한 분포 및 이중화

An integrable manifold for a rank ${\displaystyle n}$ distribution ${\displaystyle \Delta }$ is a submanifold ${\displaystyle N\subset M}$ of dimension ${\displaystyle n}$ such that ${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$ for every ${\displaystyle x\in N}$. A distribution is cal어떤 지점 $x{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in$ M$}$에 통합$$ 가능한 다지관이 있는 경우, 통합 가능한 리드.즉, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$은(는) 잎이라고도 하는 최대 연결 통합형 다지관의 분리 결합이며, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$은 따라서 다음과 같은 관계를 정의한다$$.null

Locally, integrability means that for every point ${\displaystyle x\in M}$ there exists a local chart ${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$ such that, for every ${\displaystyle y\in U}$, the space ${\displaystyle \Delta _{y}}$ is spanned by the coordinatevectors ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$. In other words, every point admits a foliation chart, i.e. the distribution ${\displaystyle \Delta }$ is tangent to the leaves of a foliation.Moreover, this local characterisation coincides with the definition of integrability for a ${\displaystyle G}$-structures, when ${\displaystyle G}$ is the group of real invertible upper-triangular block matrices (with ${\displaystyle (n\times n)}$ and ${\displaystyle (m-n,m-n)}$-blocks).null

모든 통합 가능한 분포는 자동으로 비자발적이라는 것을 쉽게 알 수 있다.그 역은 덜 사소한 것이지만 프로베니우스 정리가 쥐고 있다.null

약 정규 분포

분포 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ Δ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ M ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$을(를) 고려할 때$,$ 관련 Li 플래그를 고려하십시오(일부 저자는 마이너스 감소 등급을 대신 사용함).

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \subseteq \delta ^{(i+1)}\subseteq \dots }}$

where ${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$, ${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ and ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{(i+1)}:=⟨[{\mathrm{\Delta }}^{(i)},{\mathrm{\Delta }}^{(0)}]{⟩}_{{\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}(M}}$${\$$=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$. In other words, ${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ denotes the set of vector fields spanned by the ${\displaystyle i}$-iterated Lie brackets of elements in ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$.

Then ${\displaystyle \Delta }$ is called weakly regular (or just regular by some authors) if there exists a sequence ${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$ of nested vector subbundles such that ${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$ (hence ${\displaystyle T^{0}M=\mathrm{\Delta }}$${\displaystyle$ T$^{0}M=\Delta }.$^[1]Note that, in such case, the associated Lie flag stabilises at a certain point ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, since the ranks of ${\displaystyle T^{i}M}$ are bounded from above by ${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$. The string of integers ${\displaystyle (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}}$${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$ is then called the grow vector of ${\displaystyle \Delta }$.

약하게 정규 분포에 관련 등급이 지정된 벡터 번들이 있음

Moreover, the Lie bracket of vector fields descends, for any ${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$, to a ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$-linear bundle morphism ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr$$} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+$${\displaystyle j}$$+1}(TM)}$을$($를) 호출하여 (${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$) ${\displaystyle(i,j)}$ -curvature$$.특히${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$ -커버쳐는$$ 분포가 비자발적인 경우에만 동일하게 사라진다.null

Patching together the curvatures, one obtains a morphism ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$, also called the Levi bracket, which makes ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$ into a bundle of nilpotent Lie algebras; 이러한 ${\displaystyle 이유}$로${\displaystyle }$( g ${\displaystyle \mathrm{r}}$( ${\displaystyle T}$ M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, L${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\$$mathcal {L}}}$의 nilpotentation이라고도$$한다$.$^[1]

The bundle ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$, however, is in general not locally trivial, since the Lie algebras ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$ are not isomorphic when varying the point ${\displaysty$l $x\in M$ 이렇게 되면 약하게$$정규 $분포{\displaystyle \mathrm{}}$ Δ {\displaystyle $\Delta }$을(를) 정규 분포(또는 일부 저자에 의해 강하게 정규 분포)라고도 한다.여기서 사용되는 이름(강력하고 약하게)은 위에서 논의한 규칙성 개념(항상 가정), 즉 ${\displaystyle {공간}_{}}$의 치수$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x {\$displaystyle$ \Delta $_{x}$과(와) 전혀 무관하다는 점에 유의하십시오.null

브라켓생성분포

A distribution ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ is called bracket-generating (or non-holonomic, or it is said to satisfy the Hörmander condition) if taking a finite number of Lie brackets of elements in ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$ is enough to generate the entire space of vector fields on ${\displaysty$$le M}$. With the notation introduced above, such condition can be written as ${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$ for certain ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$; then one says also that ${\displaystyle \Delta }$ is bracket-generating in ${\displaystyle m+1}$ steps, or깊이 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m+1$}이$($가) 있음$.$

분명히, 브래킷 생성 분포의 관련 Li 플래그는 $지점{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$에서 안정화된다$.$ 약하게 규칙적이고 브래킷 생성되는 것이 두 개의 독립적인 속성(아래 예 참조)임에도 불구하고 분포가 두 가지 정의 중 정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을 모두 만족하면 두 정의에서 정수$$ m {\displaystystym}을 사용한다.물론 똑같다.null

Chow-Rashevski 정리 덕분에 연결된 매니폴드에서$$ 브래킷 생성 분배 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ Δ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$을(를) 부여하면, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 어떤 두 지점도 분포에 접하는 경로로 결합할 수 있다$$.^[2][3]null

정규 분포 예제

통합 가능한 제품

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 임의 벡터 $필드{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle$ X$}$은 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ x ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Delta _{x}$을 설정하여 순위 1 분포를 정의한다$$.$=\langle X_{x}\angle \subseteq T_{x}M}$ 자동 통합 가능$:$ 모든 적분 곡선 이미지${\displaystyle :}$ ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma$:$I\to M}$은(는) 일체형 다지관이다.
• The trivial distribution of rank ${\displaystyle k}$ on ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ is generated by the first ${\displaystyle k}$ coordinate vector fields ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$. It${\displaystyle {}_{}}$으로 통합할 수 있으며${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{통합}}_{}}$ ${\displaystyle {다지관}_{}}$은 ${\displaystyle {\mathrm{모든}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{상수}}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ $\{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1$$,\ldots,n$$}$ 등식으로 정의된다$.$
• $일반적$으로 모든 비자발적/통합적 분포는 약하게 규칙적이지만$($$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle i^{}}$$$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ( ${\displaystyle \mathrm{\Delta })}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\$$Delta$ $)}).$$$ $그러나$ 결코 괄호를 생성하지 않는다.

비통합형

• The Martinet distribution on ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ is given by ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ , for ${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalently, it is generated by the vector fields ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$. It is bracket-generating since ${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$, but it is not weakly regular: ${\$$displaystyle \Delta$ ^{(1$)$${\displaystyle \mathrm{표면}}$ z${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ z$=0}$을(를) 제외한 모든 곳에서 3위를 차지하고$$ 있다$.$
• The contact distribution on ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$ is given by ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ , for ${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalently, itis generated by the vector fields ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$, for ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. It is weakly regular, with grow vector${\displaystyle (2n,2n+1)}$, and bracket-generating, with ${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$. One can also define an abstract contact structures on a manifold ${\displaystyle M^{2n+1}}$ as a hyperplane distribution which is maximally non-integrable, i.e. it가능한 한 비자발적인 것과는 거리가 멀다.Darboux 정리의 아날로그는 그러한 구조가 위에서 설명한 독특한 국부 모델을 가지고 있음을 보여준다.
• The Engel distribution on ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ is given by ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$, for ${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$ and ${\displaystyle {\omega }_2=d}$${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$; equivalently, it is generated by the vector fields ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$ and ${\displaystyle {\frac {\pa$$rtial }{\partial w$ 성장 벡터$({\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle(2,3,4$ 괄호를 생성하는 약하게 규칙적이다.One can also define an abstract Engel structure on a manifold ${\displaystyle M^{4}}$ as a weakly regular rank 2 distribution ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ such that ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ has rank 3 and ${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$has rank 4; Engel proved that such 구조물은 위에서 설명한 독특한 지역 모델을 가지고 있다.^[4]
• 일반적으로 다지관 ${\displaystyle M^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$$k+$$2}}$의 구르사트 구조는 약하게 규칙적이고 괄호를 생성하는 순위 2 분포로$, 성장$ 벡터$, 3$,${\displaystyle }$,${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$k${\displaystyle }$+ 2)가$있다$$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$및 ${\displaystyle \mathrm{k<img\; alt="k=1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6c035ffa69b5bca8bf2d16c3da3aaad79a8bcbfa"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.472ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="417">}}$= 2 ${\displaystyle k=2$}이$($가) 각각 회복되는 경우, 3차원 다지관과 엥겔 분포에 대한 접촉 분포.구르사트 구조는 제트 번들 J ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaystyle J^{k}(\mathb {R},\mathb {R} )}$의 카르탄 분포와 국소적으로 다른 형태다$.$

단수 분포

단수 분포, 일반화된 분포 또는 Stefan-Susmann 분포는 정규 분포가 아닌 부드러운 분포다.즉, 하위 공간 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$∆ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$의 치수가 다를 수 있으며$$, 따라서 부분집합 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ T ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$은 더 이상 부드러운 하위 분열이 아니다.null

특히 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에 걸친 로컬 기준의 요소 수는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$과(와$)$ 함께 변경되며$$, 이러한 벡터 필드는 더 이상 모든 곳에서 선형적으로 독립되지 않을 것이다.$\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 치수가 세미콘틴이 낮아서$$ 특수 지점에서는 치수가 인근 지점보다 낮다는 것을 어렵지 않게 알 수 있다.null

통합성과 단수분포

위에 제시된 적분 다지관의 정의와 통합성은 단일한 경우에도 적용된다(고정 치수의 요구사항 제거).그러나 프로베니우스 정리는 이러한 맥락에서 유지되지 않으며, 비자발성은 일반적으로 통합성에 충분하지 않다(저차원의 카운트렉샘플이 존재한다).null

몇 번의 부분적인 결과 후에,^[5] 단수 분포에 대한 통합성 문제는 스테판과^[6][7] 서스만이 독자적으로 입증한 정리에 의해 완전히 해결되었다.^[8][9]단수 분포 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 다음 두 속성이 유지되는 경우에만 통합할 수 있다고$$ 명시되어 있다.

• ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta}$은(는) 벡터 필드의$$ F${\displaystyle }family{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$( M${\displaystyle }$) ${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}(M)}$ 패밀리에 의해 생성되며$$,
• ${\displaystyle \Delta }$ is invariant with respect to every ${\displaystyle X\in F}$, i.e. ${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$, where ${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$ is the flow of ${\dis$$Playstyle X$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$${\displaystyle R\},}$ $y$ ${\displaystyle \in }$ d ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle do\mathrm{}}$ m${\displaystyle }$($$X ) {\$displaystyle y\$in \$mathrm$ {$dom}$ ($X$

일반 사례와 유사하게, 통합 가능한 단수 분포는 단수 분포를 정의하는데, 이는 다른 차원의 $서브매니폴드{\displaystyle \mathrm{}}$(Δ$$ ${\displaystyle \Delta$ $\})$로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 분할에 직관적으로 구성된다.null

단수 엽의 정의는 몇 가지 동등한 방법으로 정밀하게 만들어질 수 있다.실제로 문헌에는 스테판-수스만 정리(Stefan-Susman orgency)의 변형, 개혁 및 일반화가 다수 존재하며, 예를 들어 푸아송 기하학이나^[10][11] 비확장 기하학처럼 응용을 염두에 둔 단일분열의 다른 개념을 사용한다.^[12][13]null

예

• 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 있는 Lie 그룹의 Lie 그룹 동작이 주어질 때$,$ 그것의 최소 생성기는 항상 통합 가능한 단수분포를 포괄한다. 관련된 단수분포의 잎은 정확하게 그룹 동작의 궤도를 이룬다.분배/분배는 행위가 자유로운 경우에만 정기적으로 이루어진다.
• 포아송 다지관$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \pi }$) ${\displaystyle (M,\pi )}$이$($가) 주어진 경우, $\pi {\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\\pi }:$$T^{*}M\to TM}$은(는) 항상 통합 가능한 단수 분포로$$, 연관된 단수 엽의 잎은 정확히 $({\displaystyle M}$, $){\displaystyle (M,\pi )}$의 공통적인 잎이다$.$분포/분포는 포아송 다지관이 정규적인 경우에만 정규 분포를 따른다.
• 보다 일반적으로 앵커맵의 이미지 $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho$:모든 리알헤브로이드 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\to M}$의 $A\to TM}$은 자동 통합 가능한 단수 분포를 정의하며$$, 관련된 단수 엽의 잎은 정확히 리알헤브로이드의 잎이다.분포/분포는 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$이(가) 일정한 순위를 갖는$$ 경우에만 정규적이다. 즉, 리알헤브로이드가 정규적인 경우.각각 Lie $Algebroid{\displaystyle M\mathfrak{}}$ ×$$g {\$displaystyle M$\times {\$mathfrak{g}$와 cotangent Lie Algebroid $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystytle$ T$^{*}M}$을 수행하면 위의 두 예가 복구된다$.$
• 동적 시스템에서 단수 분포는 주어진 벡터 장과 함께 통근하는 벡터 장 집합에서 발생한다.
• 또한 관리 이론에는 사례와 적용이 있는데, 여기서 일반화된 분포는 시스템의 극소수의 제약조건을 나타낸다.

참조

책, 강의 노트 및 외부 링크

• 윌리엄 M.부스비섹션 IV. 8: 2003, 캘리포니아 샌디에이고의 학술지 리만 지오메트리와 리만 지오메트리에 대한 소개
• John M. Lee, 제19장 Smooth Multiples 소개, 2003년 Springer-Verlag, 수학 대학원 본문.
• 리차드 몽고메리, 2장, 4장, 6장, 서브리어니안 기하학, 그들의 지질학 및 응용분야.수학 조사와 모노그래프 91.아머. 수학.사회, 프로비던스, 2002년.
• 알바로 델 피노, 접선 분포 연구의 위상학적 측면.테르모스 데 마테마티카 세리 B, 48세우니베르시다데 드 코임브라, 2019년

• "Involutive distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

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