적분 곡선

수학에서 적분 곡선은 일반적인 미분 방정식이나 방정식의 시스템에 대한 특정 해답을 나타내는 모수 곡선이다. 미분 방정식이 벡터 필드 또는 경사 필드로 표현되는 경우 해당 적분 곡선이 각 점의 필드에 접선된다.

적분 곡선은 미분 방정식이나 벡터장의 특성 및 해석에 따라 다양한 다른 이름으로 알려져 있다. 물리학에서는 전기장 또는 자기장에 대한 적분 곡선을 자기장 선이라고 하며, 유체의 속도장에 대한 적분 곡선을 유선이라고 한다. 동적 시스템에서 시스템을 지배하는 미분 방정식의 적분 곡선을 궤적 또는 궤도라고 한다.

정의

F가 정적 벡터 필드, 즉 카르테시안 좌표(F₁,F₂,...,F_n)를 갖는 벡터 값 함수이며, x(t)가 카르테시안 좌표(x₁(t),x₂(t), ...,x_n(t)를 갖는 파라메트릭 곡선이라고 가정한다. 그 다음 x(t)는 F의 적분 곡선이다. 만약 그것이 보통의 미분방정식의 자율계통의 해결책이라면,

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {dx_{1}{dt}&=F_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})\\&\vdots \\\frac {dx_{n}}{dt}&=F_{n}(x_{1},\ldots,x_{n}).\end{정렬}}}$

그러한 시스템은 단일 벡터 방정식으로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F}(\mathbf {x}(t)).\!\,}$

이 방정식은 곡선을 따라 임의의 지점 x(t)에서 곡선에 접하는 벡터가 정확하게 벡터 F(x(t)이므로 곡선 x(t)는 벡터 필드 F에 대한 각 점에서 접선된다고 한다.

주어진 벡터장이 립슈비츠 연속이라면 피카르-린델뢰프 정리는 작은 시간 동안 독특한 흐름이 존재한다는 것을 암시한다.

다양성 다지관에 대한 일반화

정의

M을 r ≥ 2의 C 등급의^r 바나흐 다지관으로 한다. TM은 평소와 같이 M의 접선다발과 자연투영 π_M : TM → M이 부여한 자연투영 π을 가리킨다.

${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$

M의 벡터 장은 접선 번들 TM의 단면이다. 즉, 그 지점에서 접선 벡터의 다지관 M의 모든 지점에 대한 할당이다. X를 등급 C의^r−1 M에 벡터장으로 하고 p p M으로 하자. 시간 t에서₀ p를 통과하는 X의 적분 곡선은 t를₀ 포함하는 실선 R의 개방간격 J에 정의된 등급 C의^r−1 곡선 α : J → M이다.

${\displaystyle \property(t_{0}=p;\,}$

$[\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha(t)]{\mbox{{{{}} 전체 }t\in J.}$

일반 미분방정식과의 관계

벡터 필드 X에 대한 적분 곡선 α에 대한 위의 정의는 시간 t에서₀ p를 통과하는 α가 일반적인 미분 방정식/초기 값 문제에 대한 국부적 해결책이라고 말하는 것과 같다.

${\displaystyle \property(t_{0}=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha(t)).\,}$

J의 시간에만 정의되며, 모든 t ≥ t(t ≤ t는₀ 말할 것도 없고)에₀ 대해 반드시 정의되는 것은 아니라는 점에서 국부적이다. 따라서 적분곡선의 존재와 고유성을 입증하는 문제는 일반적인 미분방정식/초기값 문제에 대한 해결책을 찾아내고 그것들이 고유하다는 것을 보여주는 것과 같다.

시간 파생상품에 대한 설명

위의 α′(t)는 시간 t에서 α의 파생물을 나타내고, "방향 α는 시간 t에서 가리키고 있다"는 뜻이다. 좀 더 추상적인 관점에서 볼 때, 이것은 프레셰트 파생상품이다.

$\dapplaystyle(\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha(t)}M.}$

M이 R의ⁿ 일부 개방된 부분집합인 특별한 경우, 이것은 친숙한 파생상품이다.

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \{1}{1}{\mathrm {d} t}, {\frac {d} \n}{\mathrm {d} t}\right),}$

여기서 α₁, ..., α는_n 통상적인 좌표 방향에 관한 α의 좌표다.

유도된 지도라는 측면에서 같은 것을 더욱 추상적으로 표현할 수도 있다. J의 접선다발 TJ는 사소한 묶음 J × R이며, 모든 T ∈ J에 대해 ι(t) = 1(또는 더 정확히 말하면 (t, 1)∈)과 같은 이 묶음의 표준 단면 ι이 있다. 곡선 α는 번들 맵 α_∗ : TJ → TM을 유도하여 다음과 같은 도표가 통용된다.

그렇다면 시간 파생상품 αα은 성분 αα = α_∗ o ι이고, α′(t)은 어느 지점 t t J에서 그 값이다.

참조

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.