교정

수학에서, 특히 호모토피 이론에서, 위상 공간들 사이의 연속적인 매핑.

i:A\to X

A\to

X

i:A\to X

모든 위상 $공간$ S ${displaystyle$ S $S$ 에 대해 호모토피 확장 속성을 갖는 경우의 보정입니다. 즉, i ${displaystyle$ i $}$ 는 $i$ 각 위상 $공간$ S ${displaystyle$ S $S$ 와 모든 연속 $f,f':A\to S$ f $f,f':A\to S$ $f,f':A\to S$ : $f,f':A\to S$ $S{displaystyle$ f, $f':$ $A\to$ S $}$ $g:X\to S$ g $g:X\to S$ $g:X\to S$ $→$ $g:X\to S$ $g\circ i=f$ ${\$ $displaystyle$ $g$ \ $displaystyle$ g $\displaystyle$ g \ $displayi$ $g:X\to S$ $h:A\times I\to S$ $g\circ i=f$ f $g\circ i=f$ 임의의 $g:X\to S$ $h:A\times I\to S$ 에 $g\circ i=f$ : $h:A\times I\to S$ A × $h:A\times I\to S$ → $h:A\times I\to S$ { $displaystyle$ h $:$ $f$ ${displaystyle$ f}에서 $h:A\times I\to S$ $f$ f $'{$ f $f'$ 까지의 A $\times$ I $\to$ S $,$ $g':X\to S$ 맵 $'$ : X $g':X\to S$ $S$ { $displaystyle$ g $':$ 모든 디스플레이 A에 대해 h'(i), t(a) = h(a) → h(a) = h(a) ( h(a, t)가 표시되도록 g{{displaystyle h': X\times I\to S}와 동형 h(X×I)는 표시 간격을 나타낸다 $le [0,1]}).$

이 정의는 공식적으로 모든 공간에 대한 호모토피 리프팅 특성을 만족시키는 데 필요한 진동의 정의와 이중적입니다. 이것은 위상에서 더 넓은 에크만-힐튼 이중성의 한 예입니다.

교배는 호모토피 이론의 기본 개념입니다.퀼렌은 더 일반적인 범주에서 호모토피 이론을 수행하기 위한 공식 프레임워크로서 모델 범주의 개념을 제안했습니다. 모델 범주는 특정 리프팅 및 인수 분해 공리를 만족시키는 섬유화, 공생 및 약한 동등성이라고 불리는 세 가지 구별된 형태 분류로 부여됩니다.

정의.

호모토피 이론

다음에서 I $=$ [ $I=[0,1]$ $]$ { $displaystyle$ I = [ $0,1]}$ 이 $I=[0,1]$ (가) 단위 간격을 나타낸다고 $I=[0,1]$ .

임의의^[1]^{pg 51} $f:A\to S$ $i\colon A\to X$ f $f:A\to S$ $f:A\to S$ $f:A\to S$ $i\colon A\to X$ $f:A\to S$ → $S$ {\ $displaystyle$ f: A ▁s $i\colon A\to X$ X $i\colon A\to X$ {\ $displaystyle$ f $:$ A $\to$ S는 $f:A\to S$ X $(디스플레이$ 스타일 X $X$ 에 대한 확장이 있음을 의미하며, $f':X\to S$ 는 $f':X\to S$ f $f':X\to S$ : X $f'\circ i=f$ $f':X\to S$ ({ $디스플레이 스타일$ f $': X$ \ $to$ $f':X\to S$ S), $f'\circ i=f$ ∘ $f'\circ i=f$ $H:A\times I\to S$ $f'\circ i=f$ ({ $디스플레이$ $스타일$ f $'\$ $displaystyle$ i= $H:A\times I\to S$ $f'\circ i=f$ $H:A\times I\to S$ 의 호모토피를 확장할 수 있음을 $의미$ 합니다. $A\times$ I $\to$ S $}$ - $H':X\times I\to S$ H $H':X\times I\to S$ : $H':X\times I\to S$ X × $H':X\times I\to S$ $H':X\times I\to S$ ({ $displaystyle$ H $': X\times$ I $\to$ S $H':X\times I\to S$ 여기서

$스타일 표시({{aligned})H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

우리는 이 조건을 다음의 교환 다이어그램에서 인코딩할 수 있습니다.

$S^{I}$ 서 ${$ S $^{I}}$ 는 $S^{I}$ 콤팩트 오픈 토폴로지가 장착된 S ${displaystyle$ S $}$ 의 $S$ 경로 공간입니다.

모형 범주의 교정 개념은 모형 범주를 참조하십시오.

예

위상학적 구조

위상학자들은 오랫동안 "좋은 부분 공간 임베딩"의 개념을 연구해 왔으며, 이 중 많은 것은 지도가 조정이거나 반대이거나 호몰로지와 관련하여 유사한 형식적 특성을 가지고 있음을 암시합니다.1937년, 보르수크는 X가 이항 정규 공간이라면(X{displaystyle X}는 정규이고, X×I의 곱은 정규) X의 모든 닫힌 부분 공간은 절대 이웃 수축에 대해 호모토피 확장 특성을 갖는다는 것을 증명했다.마찬가지로, 만약 A({displaystyle A})가 X({displaystyle X})의 닫힌 부분 공간이고 부분 공간 포함 A×I ∪ X×1 ⊂ X×I({displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I)가 절대 이웃 후퇴라면, X({displaystyle X}에 A}를 포함하는 것은 조정이다.[2][2][3]해처의 입문 교과서 대수 위상은 교정과 관련된 단일 호몰로지에서 동일한 길고 정확한 시퀀스를 갖는 좋은 쌍의 기술적 개념을 사용하지만 동등하지 않습니다.교정의 개념은 호모토피 이론적 정의가 공식 분석 및 일반화에 더 적합하기 때문에 이것들과 구별됩니다.

만약 : $f:X\to Y$ : $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ {\ $displaystyle f:X\to$ Y $f:X\to Y$ }가 위상 공간 사이의 연속 맵이라면 $,$ f {\ $displaystyle$ f $f$ 의 $Mf$ $매핑$ 실린더라고 불리는 관련 위상 $Mf$ 가 있습니다.아래의 교환 다이어그램에서 그림과 같이 i $i:X\to Mf$ $i:X\to Mf$ $r\circ i=f$ $i:X\to Mf$ $\$ $displaystyle$ i $:X\$ $to$ $i:X\to Mf$ Mf}와 $i:X\to Mf$ r $r\circ i=f$ $f$ \ $displaystyle$ r $:Mf\ to$ Y와 $r:Mf\to Y$ $r\circ i=f$ $r\circ i=f$ 투영 $r:Mf\to Y$ 맵 $r:Mf\to Y$ $→$ $r:Mf\to Y$ Y가 $i:X\to Mf$ . $또한$ i ${displaystyle$ i $}$ 는 $i$ 교정이고 ${displaystyle$ r $}$ 는 $r$ 호모토피 등가입니다.이 결과는 "모든 맵은 호모토피 범주에서 교정과 동일하다"고 요약할 수 있습니다.

Arne Strøm은 모든 맵 $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ {\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $}$ 요소가 $f:X\to Y$ 교정의 구성이며 또한 ^[4]교정인 호모토피 등가물이라는 이 결과의 강화를 증명했습니다.

포함 ${x}\to X$ x ${x}\to X$ {{ $displaystyle$ { $x}\to$ X가 조정일 $x$ ${x}\to X$ 경우 구분 기준점 $x$ 가 있는 $위상$ $공간$ X ${\$ $displaystyle$ X $}$ 가 $X$ 잘 조정된다고 합니다.

솔리드 디스크 경계 구의 포함 $S^{n-1}\to D^{n}$ $S^{n-1}\to D^{n}$ $S^{n-1}\to D^{n}$ $S^{n-1}\to D^{n}$ $S^{n-1}\to D^{n}$ $S^{n-1}\to D^{n}$ ${{$ S $^{n-1}\to$ D $^{n}}$ 은 $S^{n-1}\to D^{n}$ 모든 $n$ { $displaystyle$ n $n$ 에 대한 교정입니다.

흔히 사용되는 사실은 세포 포함이 교정이라는 것입니다. (예를 $(X,A)$ , $(X,A)$ ( $,$ A $)$ {\ $displaystyle$ $(X$ $,$ A $(X,A)$ 이 CW 쌍이면 $A\to X$ → X{\ $to$ X $}$ 는 $A\to X$ 교정입니다.)이것은 이전의 사실과 푸시아웃 하에서 $n-1$ 조정이 안정적이라는 사실을 따른 것입니다. 푸시아웃은 $n-1 디스플레이$ 스타일의 $n-1$ 골격에 대한 접착 맵이기 때문입니다.

연쇄 복합체

A ${$ }}를 ${\mathcal {A}}$ 충분한 투영을 가진 아벨 범주로 ${\mathcal {A}}$ .

만약 우리가 C + (A) {\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})를 q << 0 {{\displaystyle q<<0}의 0인 체인 복합체의 범주로 둔다면, 약한 등가물은 준동형이고, 섬유는 에피모픽이며, 조화는 맵인 모델 범주 구조가 있다

$i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }$

이들은 정도적으로 모닉이고 코커널 ${\text{Coker}}(i)_{\bullet }$ 코커 ${\text{Coker}}(i)_{\bullet }$ (i) $∙$ {{ $text{$ 코커 $}}(i)_$ {\ $bullet$ $}$ 은 ${\text{Coker}}(i)_{\bullet }$ A ${\mathcal {A}}$ {{displaystyle ${{mathcal$ {A ${\mathcal {A}}$ 에 있는 투영 객체의 복합체입니다.

단순 집합

단순^[5]^{pg 1.3} 집합의 ${\textbf {SSet}}$ SSet $({displaystyle}{textbf{SSET$ }})에는 ${\textbf {SSet}}$ 진동이 정확하게 Kan 진동이고, 공진동은 모두 주입 맵이며, 약한 등가물은 기하학적 실현 함수를 적용한 후 호모토피 등가물이 되는 단순 맵인 모델 범주 구조가 있습니다.

특성.

하우스도르프 공간의 경우, 모든 교정은 닫힌 포함(닫힌 이미지가 있는 주입)이며, 결과는 약한 하우스도르프 공간으로 일반화됩니다.
보정의 푸시아웃은 보정입니다.즉, g $g\colon A\to B$ $g\colon A\to B$ $i\colon A\to X$ $g\colon A\to B$ {\ $displaystyle$ $g\colon A\to B$ g \ $displaystyle$ A $\to$ B $}$ 가 $g\colon A\to B$ (콤팩트하게 생성된 공간 사이의) 임의의 (연속적인) $i\colon A\to X$ 이고 i $i\colon A\to X$ $i\colon A\to X$ $B\to B\cup _{g}X$ $i\colon A\to X$ {\ $displaystyle$ i $\display$ A $\to X$ $}$ 가 $i\colon A\to X$ 조정이라면 유도 맵 $B\to B\cup _{g}X$ → $B\to B\cup _{g}X$ $B\to B\cup _{g}X$ $B\to B\cup _{g}X$ { $g}$ 는 $B\to B\cup _{g}X$ 조정입니다.
매핑 실린더는 i: A → X \ displaystyle i\ to X 및 임베딩(단위 간격의 한쪽 끝에서) i 0 : A → A × I \ displaystyle i_{0}\ display A\ to A \ times I. 즉, 매핑 실린더는 I = X （ A × I ）에 의해 \ displaystyle= Mi x \ timesters I로 정의될 수 있다푸시아웃의 ${displaystyle$ i $}$ 는 $i$ 모든 공간 X에 대해 매핑 실린더를 생성할 수 있는 정확한 조정입니다.
X $X\times I$ × $X\times I$ (\ $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ X $\times$ I) $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ ( $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ × $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ { $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ ) $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ \displaystyle $(A\times$ I $)\cup (X\times \{$ 0 $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ 으로 후퇴하는 경우에만 보정(A, X)이 있으며, 이는 그림의 모든 타당한 공간에 지도를 유도하기 때문입니다.
변형-수축 쌍과 인접 변형-수축 쌍에 대해서도 유사한 동등성이 명시될 수 있습니다.

교배가 있는 구조물

협심증 치환술

모델 ${\mathcal {M}}$ M ${$ 에서 ${\mathcal {M}}$ i $i:*\to X$ ∗ $i:*\to X$ ${{displaystyle$ i $:*\to$ X $}$ 가 $i:*\to X$ 교정이 아닌 경우 매핑 $실린더$ $({displaystyle$ Mi $)$ 가 $Mi$ 공생 대체를 형성합니다.사실, 우리가 단지 위상 공간의 범주에서만 작업을 한다면, 한 지점에서 한 공간까지의 지도에 대한 공선 치환은 공선 치환을 형성합니다.

코파이버

$A\to X$ A $A\to X$ $f:X\to Y$ $A\to X$ {\ $displaystyle$ A $\to$ X $}$ 의 $A\to X$ 경우, 우리는 코파이버를 유도 계수 $X/A$ X / $A$ {\ $displaystyle$ X/ $A$ 로 정의합니다. 일반적으로 $f:X\to Y$ f : $f:X\to Y$ → $f:X\to Y$ {\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $f:X\to Y$ 의 경우, 코파이버는^[1]^{pg 59} 계수 공간으로 정의됩니다.

$C_{f}=M_{f}/(A\times \{0\})$

이는 f ${displaystyle$ f $f$ 의 매핑 원뿔이다. 호모토피적으로, 코파이버는 $f:X\to Y$ f $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ { $displaystyle$ f $: X\to$ Y $f:X\to Y$ 의 호모토피적 코커널 역할을 한다. 사실, 점이 있는 위상 공간의 경우, 의 호모토피적 코커널

$표시{style{\to}{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&Y\\\downarrow &&\end{matrix}\right)=C_{f}}$

실제로 $X\to Y\to C_{f}$ X $X\to Y\to C_{f}$ $X\to Y\to C_{f}$ → $X\to Y\to C_{f}$ f \ $displaystyle$ X $\to$ Y $\to$ C_ ${f}$ 의 $X\to Y\to C_{f}$ 순서는 삼각형 범주에서 구분 삼각형처럼 작용하는 코파이버 시퀀스와 함께 제공됩니다.

참고 항목

레퍼런스

^ ^a ^b May, J. Peter. (1999). A concise course in algebraic topology. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC 41266205.
^ Edwin Spanier, 대수 위상학, 1966, 57페이지
^ Garth Warner, 위상과 호모토피 이론의 주제, 섹션 6.
^ Arne Strøm, 호모토피 범주는 호모토피 범주입니다.
^ ^a ^b Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC 294862881.

피터 메이, "대수 위상학의 간결한 과정": 제6장은 조화를 정의하고 논의하며, 그것들은 전체적으로 사용됩니다.
Brown, Ronald. "7. Cofibrations". Topology and Groupoids. ISBN 978-1-4196-2722-4. 7장에는 다른 곳에서는 찾을 수 없는 많은 결과가 있습니다.

[:0-1] May, J. Peter. (1999). A concise course in algebraic topology. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC 41266205.

[2] Edwin Spanier, 대수 위상학, 1966, 57페이지

[3] Garth Warner, 위상과 호모토피 이론의 주제, 섹션 6.

[4] Arne Strøm, 호모토피 범주는 호모토피 범주입니다.

[:1-5] Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC 294862881.

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