휘트니 임베딩 정리

Whitney embedding theorem

수학에서 특히 미분위상에서는 하슬러 휘트니의 이름을 딴 휘트니 내장 이론이 두 가지 있다.

  • 강한 휘트니 임베딩 정리에는 어떤 매끄러운 실제 m-차원 다지관(Hausdorff2차 카운트 가능)도 m > 0일 경우 실제 2m 공간(R2m)에 매끄럽게 임베딩할 수 있다고 명시되어 있다.이것은 치수 m실제 투영 공간은 m이 2의 힘(특징 클래스 주장에서도 볼 수 있듯이 휘트니 때문에)인 경우 실제(2m - 1) 공간에 삽입될 수 없기 때문에 모든 m차원 다지관이 내재하는 최소차원 유클리드 공간에 대한 최상의 선형 결합이다.
  • 약한 휘트니 임베딩 정리에서는 n차원 다지관에서 m차원 다지관에 이르는 모든 연속적인 기능은 m > 2n을 제공하는 매끄러운 임베딩에 의해 근사치가 될 수 있다고 기술하고 있다.휘트니는 이와 비슷하게 그러한 지도가 m > 2n - 1을 제공하는 몰입에 의해 근사치 될 수 있다는 것을 증명했다.이 마지막 결과를 휘트니 몰입 정리라고 부르기도 한다.

그 증거에 대해서 조금.

증명서의 일반적인 개요는 가로 자기 절연으로 몰입 f : M → R2m 시작하는 것이다.이것들은 휘트니의 약한 몰입 정리에 관한 초기 연구들에서 존재하는 것으로 알려져 있다.이중 점의 횡단성은 일반적인 위치의 논거에서 나타난다.그 아이디어는 어떻게 해서든 모든 자기 교차점을 제거하는 것이다.M에 경계가 있는 경우, 더블포인트가 포함되지 않은 M의 서브매니폴드에 M 그 자체(f의 영역에 있는 동위원소)로 동위원소화하기만 하면 자기 절편을 제거할 수 있다.따라서 우리는 M이 경계가 없는 경우로 빠르게 인도된다.때때로 동위원소를 통해 이중 포인트를 제거하는 것은 불가능하다. 예를 들어 평면 내 원의 그림-8 침투를 고려한다.이 경우 현지 더블포인트를 도입할 필요가 있다.null

더블포인트를 도입하다.

한 사람이 두 개의 반대되는 이중점을 갖게 되면, 한 사람은 둘을 연결하는 닫힌 루프를 구성하여 R에서2m 닫힌 경로를 제공한다.R2m 단순히 연결되어 있기 때문에 이 경로가 디스크의 경계를 가정할 수 있으며, 2m > 4를 제공하면 디스크가 R2m 내장되어 그 경계에서만 M이미지를 교차하는 이라고 가정할 수 있다.그런 다음 휘트니는 디스크를 사용하여 1-모수 몰입형 패밀리를 생성하는데, 실제로 M을 디스크 전체로 밀어내면서 그 과정에서 두 개의 이중 포인트를 제거한다.도입된 더블포인트를 이용한 그림-8 몰입의 경우, 푸시 가로 이동은 상당히 간단하다(사진).

반대쪽 더블 포인트 취소.

디스크를 따라 다지관을 밀어서 반대편 기호의 이중점을 제거하는 이 과정을 휘트니 트릭이라고 한다.null

국부적 이중점을 도입하기 위해 휘트니는 단위 공 바깥쪽으로는 대략 선형이지만 이중 점 하나를 포함하는 임미션 αmm : R → R2m 생성했다.m = 1의 경우 그러한 몰입은 다음에서 주어진다.

αR3 대한 지도로 간주할 경우 다음과 같은 점에 유의하십시오.

그런 다음 이중 포인트를 내장 상태로 해결할 수 있다.

공지 β(t, 0) = α(t)이고, and 0의 경우 t의 함수로서 β(t, a)는 내장형이다.null

더 높은 치수 m의 경우, R에서2m+1 유사하게 분해될 수 있는m α가 있다.5 들어 R에 포함시키는 경우 정의

이 과정은 궁극적으로 사람을 다음과 같은 정의로 이끈다.

어디에

αm 주요 특성은 이중점 αm(1, 0, ... , 0) = αm(-1, 0, ..., 0)를 제외한 임베딩이라는 것이다.더욱이 (t1, ... , tm)크기의 경우, 대략 선형 내장(0, t1, 0, t2, ..., 0, tm)이다.null

휘트니 속임수의 궁극적 결과

휘트니 트릭은 스테판 스메일에 의해 h-코보르디즘의 정리를 증명하기 위해 사용되었는데, 로부터 치수 m 5푸앵카레 추측과 디스크의 매끄러운 구조 분류(역시 치수 5 이상)가 뒤따른다.이것은 차원 5 이상에서 다지관을 분류하는 수술 이론의 기초를 제공한다.null

치수 ≥ 5의 단순하게 연결된 다지관에서 보완 치수의 두 방향 서브매니폴드를 주어진다면, 모든 교차점이 동일한 기호를 갖도록 서브매니폴드 중 하나에 동위원소를 적용할 수 있다.null

역사

하슬러 휘트니가 매끄러운 다지관에 대한 임베딩 정리에 대해 입증한 것은 (놀랍게도) 다지관 개념을 정확히 최초로 완전하게 표현한 것이라고 한다. 왜냐하면 그것이 당시 다지관의 서로 다른 개념을 하나로 모아 통일했기 때문이다: 추상적인 다지관인지에 대해서는 더 이상 혼란이 없었다.본질적으로 차트를 통해 정의되는 lds는 유클리드 공간의 하위매니폴드로 외삽적으로 정의된 다지관보다 다소 일반적이었다.문맥은 다지관과 품종의 역사도 참조한다.null

더 날카로운 결과

비록 모든 n-manifold가 R2n 내장되어 있지만, 종종 더 잘 할 수 있다.e(n)은 모든 소형 연결 n-manifolds가 Re(n) 내장되도록 가장 작은 정수를 나타내도록 한다.휘트니의 강력한 임베딩 정리에는 e(n) 2n이라고 명시되어 있다.n = 1, 2의 경우 클라인 병이 보여주는 것처럼 e(n) = 2n이 있다.보다 일반적으로, n = 2k 경우, 2차원k 실제 투영 공간이 보여주듯이 e(n) = 2n이 있다.휘트니의 결과는 n이 2의 검정력이 아닌 한 e(n) n 2n - 1로 개선될 수 있다.이것은 안드레 하페니거모리스 허쉬(n > 4)와 C의 결과물이다. T. C. Wall (n = 3); 이 저자들은 중요한 예비 결과와 Hirsch, William S에 의해 증명된 특정 사례를 사용했다. 매시, 세르게이 노비코프, 블라디미르 로클린.[1]현재 e 함수는 모든 정수에 대해 폐쇄형 형태로 알려져 있지 않다(유사한 숫자를 알고 있는 휘트니 몰입 정리와 비교).null

다지관 제한

다지관에 추가 제약을 가하면 결과를 강화할 수 있다.예를 들어, n-sphere는 항상 Rn + 1 포함되며, 이는 가능한 최선의 방법이다(닫힌 n-manifold는 R에 포함n 수 없음).밀폐된 비방향 표면4 R이 필요하지만, R3 비 빈 경계가 있는 콤팩트한 방향 표면 및 모든 콤팩트 표면.

N이 콤팩트한 방향의 n차원 다지관인 경우, NR2n − 1 내장된다(2의 동력이 아닌 경우 방향성 조건은 불필요한 것이다).n의 힘이 2인에게는 이것은 안드레 해플라이거모리스 허쉬(n > 4인 경우), 푸취안 팽(n = 4)의 결과물이다. 이 저자들은 자크 보에챗과 하플라이거, 사이먼 도날드슨, 허쉬와 윌리엄 S에 의해 증명된 중요한 예비 결과를 사용했다. 매시.[1]해플라이거는 N이 콤팩트한 n차원 k 연결 다지관이라면 R2nk N이 내장되어 2k + 3㎛ n을 제공했다는 것을 증명했다.[1]

동위원소 버전

상대적으로 '쉬운' 결과는 R4 1-매니폴드의 어떤 2개 임베딩이 동위원소임을 증명하는 것이다.이는 일반적인 위치를 사용하여 입증되며, 이를 통해 R2n + 2 대한 n-manifold의 두 임베딩이 동위원소임을 알 수 있다.이 결과는 약한 휘트니 임베딩 정리의 동위원소 버전이다.null

Wu는 n 2의 경우, R2n + 1 대한 n-manifold의 두 임베딩이 동위원소임을 증명했다.이 결과는 강한 휘트니 임베딩 정리의 동위원소 버전이다.null

임베딩 결과의 동위원소 버전으로서, 해플라이거는 N이 콤팩트한 n차원 k 연결 다지관이라면, R2nk + 1 N을 임베딩한 두 개 모두 2k + 2 n을 제공하는 동위원소임을 증명했다.치수 제한 2k + 2 n은 날카롭다: 해플리거는 계속해서 R6 비독점적으로 내장된 3-space (그리고 보다 일반적으로 R에는3d (2d - 1)space)의 예를 제시하였다.자세한 일반화를 참조하십시오.null

참고 항목

메모들

  1. ^ a b c Skopenkov(2008) 섹션 2 참조

참조

  • Whitney, Hassler (1992), Eells, James; Toledo, Domingo (eds.), Collected Papers, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
  • Milnor, John (1965), Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press
  • Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and Immersions, translated by Hudson, Kiki, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4612-4
  • Skopenkov, Arkadiy (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in Nicholas Young; Yemon Choi (eds.), Surveys in Contemporary Mathematics, London Math. Soc. Lect. Notes., vol. 347, Cambridge: Cambridge University Press, pp. 248–342, arXiv:math/0604045, Bibcode:2006math......4045S, MR 2388495

외부 링크