흡수 집합

함수 분석과 수학의 관련 영역에서 벡터 공간의 흡수 집합은 집합 S로, 결국 벡터 공간의 주어진 점을 항상 포함하도록 "팽창" 또는 "스케일업"될 수 있다.대체 항은 방사형 또는 흡수성 집합이다.

정의

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 $번호{\displaystyle \mathbb{}}$R {\$displaystyle$ \$mathb$ {$R}$ 또는$$ 복잡한 번호 $C{\displaystyle \mathbb{}}$. {\displaystyle \mathb ${C}$의 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathb$ {K$}$필드 위에 있는 벡터 공간이라고$$ 가정합시다$.$

표기법

스칼라 및 벡터 제품

모든 -${\displaystyle \mathrm{\infty }r}$ r${\displaystyle }$≤ R${\displaystyle }$∞${\displaystyle \mathrm{}\infty }$ , ${\displaystyle$ -$\infit \leq r\leq \infitty,}$ $벡터$ x$$, {\$displaystyle$ x$$$,}$ 및 $부분{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{집합}}$A ${\displaystyle ,}$ X$$, {\$displaystystyle$A\$subseteq$ X$,}$은 다음과 같이 한다$$.

$K{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에서 반경 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 열린 공(존중하게, 닫힌 공)을 0$,$ {\$displaystyle$ 0$,}$에 중심에$$ 두고 let

Similarly, if ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {K} }$ and ${\displaystyle k}$ is a scalar then let ${\displaystyle KA=\{ka:k\in K,a\in A\},}$ ${\displaystyle Kx=\{kx:k\in K\},}$ ${\displaystyle kA=\{ka:a\in A\},}$ and ${\displaystyle \mathbb{K}x}$${\displaystyle \mathb {K}$$}$

한 세트는 다른 세트를 흡수한다.

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $A$$}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$의 하위 집합인$$ 경우$,$ $다음$과 같은 동등한 조건 중 하나를 $충족$하면 A {\$displaystyle$ A}이$$(가$)$ $S{\displaystyle }$ ${\\displaystystyle$ S$}$을 흡수한다고 한다$$.

1. 정의:${\displaystyle \mathrm{실제}}$ > ${\displaystyle r>0}$이(가) 존재하며, 따라서 모든 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $c}$을(를) 만족하는 모든 스칼라 c ${\$$displaystyle$ $c$${\displaystyle .}$ {\$displaystyle$c$\geq r.}$에 대해$$ $S{\displaystyle }$ ${\$displaystystyplaystystystypaystyptypaystyptionstyptionstypt
   • If the scalar field is ${\displaystyle \mathbb {R} }$ then intuitively, "${\displaystyle A}$ absorbs ${\displaystyle S}$" means that if ${\displaystyle A}$ is perpetually "scaled up" or "inflated" (referring to ${\displaystyle tA}$ as ${\displaystyle t\to \infty }$) then eventually, all ${\displaystyle t}$${\displaystyle tA}$에는 $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}($ 양의 > 0 ${\displaystyle$ t$>0$$})$이 포함되며$$, $마찬가지$로 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle tA}$도 크기가 충분히 큰 모든 의 < 0{\$displaystyle t<0}$에 대해 $최종적$으로 S ${\}$을 포함해야 한다$$.
   • 이 정의는 이 정의를 스칼라 필드의 일반적인 유클리드 위상과 연결시키는 기본 스칼라 필드의 표준 규범에 따라 달라진다.따라서 흡수 집합(아래에 제시된)의 정의도 이 위상에 관련된다.
2. ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ > ${\displaystyle r$> 0{\displaystyle $cs$$\subseteq A}$을(를) 만족하는$$ 모든 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ c${\displaystyle \backslash }$$neq 0}$에 대해 실제 r > 0$${\$displaystystyle c \leq$ r$.}$이(으)이 있다.
   • $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\in A}$이(가) 알려진 경우 $제한{\displaystyle }$ c${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle c\neq$ 0$}$이(가) 제거되어 다음과 같은 특성을 가질 수 있다$$.${\displaystyle \mathrm{실제}}$ > ${\displaystyle r>0}$이(가) 존재하며, 모든 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 만족하는 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 스칼라 c {\$displaystyle c$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$c$\leq$ r$.}$에 $대해{\displaystyle }$ c$$${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq ?}$
3. > 0 ${\displaystyle r>0}$이(가) 존재하는데$,{\displaystyle }$ 이러한 것은 (${\displaystyle \mathrm{B}}$ $r ∖${ 0 ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle S}$.${\displaystyle \{r}\setminus \{0\}\right)$와 같다.$S\subseteq A.}$
   • 닫힌 볼 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$원점을 제거한 상태)를 오픈볼 ${\displaystyle B_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle B_{r}}}$ 대신 사용할 수 있어 다음 특성을 부여한다$$.
4. > 0 ${\displaystyle r>$${\displaystyle 0}$$}$이(가) 존재하는데$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle 이러한}$ 것은 ($B ≤$ ${\displaystyle r_{}}$∖${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle S}$.${\displaystyle \{\leq r}\setminus \{0\}\right$)와 같다$.$$S\subseteq A.}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 균형 잡힌 세트인 경우 이 목록에 추가할 수 있다.

5. 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$이(가) 있으며, $이러한$ 스칼라 c ≠ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle S\subseteq cA$가 있다$.$$}$
6. 스칼라 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$이(가) 있으며, ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 스칼라 c ≠ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle cS\subsetq A.}$이(가) 있다.

세트가 싱글톤 세트 {${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{x\}$을(를) 흡수하면 포인트$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 흡수한다고 한다.$}$ ${\displaystyle A}$ $세트$가 원점을 포함하는 경우 및 그 경우에만 원점을 흡수함$$, 즉 0${\displaystyle \mathrm{that}}$ A.${\displaystyle 0\in$ A$.}$ 모든$$ 세트가 빈 세트를 흡수함.

예:$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}} 또는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {C} .}$ 만약 $A$가 ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${ ${\displaystyle 0\mathbf{}\}}$ ${\displaystystyle A:$$=S^{1}\cup \{\mathbf {0} \}}$ \}}}은(는) 원점과 함께 단위 원(원점 중심)이며$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}$ \}}}}은$$(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystysty A$}가$$ 흡수하는 유일한 비원 집합이다.더욱이 단위원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle S^{1}.$에 흡수되는$$ X ${\displaystyle X}$의 비어 있지 않은 부분집합은 존재하지 않는다. 대조적으로$$ 원점의 모든 이웃은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 경계 부분집합을 흡수한다($$따라서 특히 모든 싱글톤 부분집합/포인트를 흡수한다.

흡수 집합

$필드{\displaystyle \mathbb{}}$ K ${\$ 위에 있는$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) X {\$displaystyle$ X$}$의 흡수(또는 흡수성)라고 하며$$, 다음과$$ 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면$$ $X{\displaystyle }$ ${\display X}$에서 흡수된다고 한다(여기서 명령됨).각 조건에서 이전 조건의 쉬운 결과는 정의부터 시작한다.

1. 정의:모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해},}$A {\$displaystyle$x\$in X,A}$은(는)${\displaystyle }${ x$$을(를) 흡수한다. {\displaystyle $\{x\}.$$}}$ 다르게 말하면$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $X{\displaystyle }$. {\$displaystyle X.}$의 모든 점을 흡수한다$$.
   • 따라서 특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle 0\not \in$ A$.}$인 경우 흡수될 수 없다$$.
2. ${\displaystyle 모든}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\$$in X,}$에 대해 실제$$$$ ${\displaystyle >}$ ${\$$displaystyle r>0$}이$($가) 존재하며${\displaystyle ,}$ 이러한 $실제$ ${\displaystyle r}$은 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ${\displaystyle 스칼라\mathbb{}}$ $c{\displaystyle }$ display K {\$displaystyle c\in$ \mathb {$K}}}$$mathb$ {\$displaysty c. {\c.$
3. ${\displaystyle 모든}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$에 대해 실제$$ r> ${\displaystyle cx\in A}$ 스칼라 ${\displaystyle c\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ K ${\$ {$K}}}$ c${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$. ${\displaystystyleq r}$을 만족하는 ${\displaystyle \mathrm{실제<img\; alt="r\; >\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:5.31ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="205">}}$ > ${\displaystyle 0}$이 존재한다.
4. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 실제 > ${\displaystyle$ ${\displaystyle r}$$>0}$이(가) 존재하며, $B{\displaystyle {}_{}}$ r ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ A${\displaystyle }$. ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A.}$
   • 그 스칼라장에 반지름 r{r\displaystyle}여기 Br){c∈ K:c<>r}{\displaystyle B_{r}=\{c\in \mathbb{K}:c<>r\}}은 개방적인 공은 발신지 중심적이고 Brx){c):c∈ Br}={c):c∈ K와 c<>r}.{\displaystyle B_{r}x=\left\{cx:c\in B_{r}\right\}.=\{$cx:c\in \mathb {K} {\text{ 및 }} c <r\}.$$}$
   • 열린 공 대신 닫힌 공을 사용할 수 있다.
5. For every ${\displaystyle x\in X,}$ there exists a real ${\displaystyle r>0}$ such that ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x,}$ where ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}.$$}$
   • Proof: This follows from the previous condition since ${\displaystyle B_{r}x\subseteq \mathbb {K} x,}$ so that ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A}$ if and only if ${\displaystyle B_{r}x\subseteq A\cap \mathbb {K} x.}$
   • 토폴로지 연결:기원이 K에서 만약 xK){\displaystyle \mathbb{K}}다음 세트 Br){\displaystyle B_{r}x은 통상적인 하우스 도르프 유클리드 토폴로지 주어진다}은 이웃);{\displaystyle \mathbb{K}x;}가 있는 진짜 r을이 존재한다;0{\displaystyle r>0}가 Br)⊆ ∩ K){\displaystyle. B_{r}$x\subseteq A\cap \mathb {K}$$x{\displaystyle }$} A${\displaystyle }$k ${\displaystyle K\mathbb{}}$ ${\displaystyle x}${\$displaystyle$A\$cap \mathb {K} x}$이(가) ${\displaystyle K}$ x .${\displaystyle \mathb {K}$ x$.}$의 원점 근처인$$ 경우에만$$ \mathb {K$}$
   • Every 1-dimensional vector subspace of ${\displaystyle X}$ is of the form ${\displaystyle \mathbb {K} x=\operatorname {span} \{x\}}$ for some non-zero ${\displaystyle x\in X}$ and if this 1-dimensional space ${\displaystyle \mathbb {K} x}$ is endowed with the unique Hausdorff vector topology${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 그러면}$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $\mathb {K} \to \mathb {K}$ \mathb {K}$$\$mapsto cx}$에 의해 정의된$$ \mathb {K}는 반드시$$ TVS- 이형성($일반적$으로 K ${\$ {$K}})$이며 유클리드b {K}은 표준 토폴로 지정된다$$.
6. ${\displaystyle A}$에는 원점이 포함되어 있으며, 모든$$ $1차원{\displaystyle }$ 벡터 $하위$$$공간 $Y$의 X , {\$displaystyle$ ${\displaystyle X}$$,}$$display$ Y {\$displaystyle$ A\cap$Y}$에 $대해{\displaystyle }$ Y ${\\displaystyle Y}$ 고유의 Hausdorff 벡터 토폴로지가 주어질$$ 때$$ Y${\}$의 원점 부근이다$$.
   • 1차원 벡터 공간의 Hausdorff 벡터 위상은 통상적으로 규범화된 유클리드 위상과 함께$$ $반드시{\displaystyle \mathbb{}}$ TVS와 K ${\$ 사이에 이형성이 있다.
   • 직감:이 조건은 위상 벡터 공간(TV) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 0의 근방이 흡수되는$$ 것이 당연하다는 것을 보여준다. $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 원점 근린이라면$$ 1차원 벡터 하위 $공간{\displaystyle }$ Y ${\displaystystyty$}이 존재한다면 병리일 것이다.$$${\displaystyle Y\}}$ U$$ {$$Y {\$displaystyle U\cap$ Y$}$이(가) $적어도$ Y$.$ {\$displaystyle$ Y$}$의 일부 TVS 위상에서는 원점 부근이 아니었던 $Y}$$Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$의 유일한 TVS 위상은 후스도르프 유클리드 위상 및 사소한 위상뿐이며$$, 이는 유클리드 위상의 일부다.따라서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\cap Y}$이(가) 모든 1차원 벡터 $서브스페이스{\displaystyle }$ Y${\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$에 대해 유클리드 위상에서 $0$ ${\displaystyle 0}$의 근방이 될 것으로$$ 예상하는 것은 당연하며, 이는$$$$ $X{\displaystyle }$.${\displaystyle X$.}에서 U$}$이 흡수되고$$ 있는 조건이다.모든 TVS에서 출발지의 모든 이웃은 반드시 이러한 병적인 행동이 일어나지 않는다는 것을 의미한다.유클리드 위상이 구별되는 이유는 궁극적으로 스칼라 필드 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\mathb {K} \to X}$이$($가) 유클리드 위상에 주어졌을$$ 때 스칼라 곱셈 $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ $\mathb$ {$K}$ }이$($$가$) 연속적이라는$$ TVS 위상에 대한 정의 요건 때문이다.
   • This condition is equivalent to: For every ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle A\cap \operatorname {span} \{x\}}$ is a neighborhood of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle \operatorname {span} \{x\}=\mathbb {K} x}$ when ${\displaystyle \operatorname {$$span} \{x\}$은(는) 고유의 Hausdorff TVS 토폴로지가 주어진다$$.
7. ${\displaystyle A}$에는 원점이 포함되어$$ 있으며$,$ $모든{\displaystyle }$ 1차원 벡터 하위 공간 Y {\$displaystyle$${\displaystyle }$ X,}$A$$$y Y {\$displaystyle$$A$$\cap$ Y$}$에 $대해{\displaystyle }$ $Y{\displaystyle }$${\displaystyle }$. ${\displaystyle$Y.}에서 흡수되고 있다$$$.$
   • 여기서 "흡수"는 이 조건 이외의 정의 조건에 따라 흡수를 의미한다.
   • 이는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 흡수되는 속성이 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $X$$}$의 1(또는 0) 치수 벡터 서브스페이스에 대해 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 동작 방식에 따라 달라진다는 것을 보여준다. 반대로$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyty$ X$}$의 유한 차원 벡터 서브스페이스 $Z{\displaystyle }$ ${\\\dension이$차원을 갖는 경우$$N1{\displaystyle n> 1}thenA∩ Z{\displaystyle A\cap Z}것을 흡수하는데 Z{Z\displaystyle}은 더 이상 충분한을 보장하 A∩ Z{\displaystyle A\cap Z}은 이웃의 기원이 Z{Z\displaystyle}때 Z{Z\displaystyle}은 부존과의 독특한 하우스 도르프 터널 비전 시스템 topolog.y(비록 그것이 여전히 필요한 조건이 되겠지만.이렇게 되려면 이 하우스도르프 $TVS{\displaystyle }$ Z ${\$$displaystyle A\cap Z$$}$에 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Z}$ ${\$$displaystyle$Z}이(가) 통이면 충분하다($$모든 유한차원 유클리드 공간은 바레인으로 된 공간이기 때문이다).

$K{\displaystyle \mathbb{}}$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$인 경우 이$$ 목록에 다음을 추가할 수 있다.

8. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 대수적 내부에는 원점($즉{\displaystyle \mathrm{}}$, 0 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 0\in {}^{i}A})$이 포함되어$$ 있다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 밸런싱된$$ 경우 이 목록에 다음을 추가할 수 있다.

9. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$에 대해 $scalar{\displaystyle }$ c${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle$c\$neq$ 0$}$이$($가) 존재하며, $x{\displaystyle c}$ c.$${\$displaystyle$ x$\in cA$$}$^[1]

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 볼록하거나 균형을 이룬 경우 이 목록에 다음 항목을 추가할 수 있다.

10. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$에 $대해{\displaystyle }$ r ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ A${\displaystyle }$. ${\displaystyle rx\in$ A$.}$과 같은 양의 실제 r > ${\displaystyle r>0}$이(가) 존재한다.
    • 이 조건을 만족하는$$ 균형 잡힌 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle$ A$}$이(가) X$${\$displaystyle$X}에서 반드시 흡수되고 있다는 증거는 "균형 집합"의 정의에서 거의 즉각적이다$$.
    • 이 조건을 만족하는$$ 볼록 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 반드시 흡수되고 있다는 증거는 덜 사소한(그러나 어렵지 않은) 것이다$$.이 각주에는^{[proof 1]} 상세한 증거가 제시되어 있으며, 아래에 요약이 제시되어 있다.
      • 증거 요약:추정 건대, 0이 아닌에 0≠ y∈ X,{0\neq y\in X\displaystyle,}것은 긍정적인 진짜 r을 태우기 위해;0{\displaystyle r>0}과 R>0{\displaystyle R>0}도록은 볼록 한 ∩ Ry는 RA{\displaystyle r(-y)\in}∈{\displaystyle Ry\in A}과 r를 혼동하다.(− y)∈ y 그런{\dis 가능하다.playstyley\cap\mathbb{R}}어떤 IT세트 A∩ Ry(y}또한 간격이라고 불린다 때문에 R의 모든 사각형 볼록 부분 집합{그 기원을 포함하는 개방sub-interval(− r, R)는 y:={ty:− r<>t<>R, t∈ R},{\displaystyle(-r,R)y:=\{ty:-r<, t<, R,t\in \mathbb{R}\와 같이},}가 포함되어 있습니다.\displaystyl$e \mathb {R} }$은(는) 간격이다.Give ${\displaystyle \mathbb {K} y}$ its unique Hausdorff vector topology so it remains to show that ${\displaystyle A\cap \mathbb {K} y}$ is a neighborhood of the origin in ${\displaystyle \mathbb {K} y.}$ If ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ then we are done, so assume that ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} .}$ The set ${\displaystyle S\,:=\,(A\cap \mathbb {R} y)\,\cup \,(A\cap \mathbb {R} (iy))\,\subseteq \,A\cap (\mathbb {C} y)}$ is a union of two intervals, each of which contains an open sub-interval that contains the origin;게다가, 이 두 간격의 교차점은 정확히 기원이다.따라서 볼록 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle A\cap \mathb {C} y$에 포함된$$ $S{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$의 볼록 선체는 원점 주위에 열린 공을 명확하게 포함하고$$ 있다.${\displaystyle \blacksquare }$
11. 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$,}$에 $대해{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle x\in rA$}과 같은 양의 real > 0 ${\displaystyle r>0}$이(가) 존재한다$.$$}$
    • This condition is equivalent to: every ${\displaystyle x\in X}$ belongs to the set ${\displaystyle \bigcup _{0<r<\infty }rA=\{ra:0<r<\infty ,a\in A\}=(0,\infty )A.}$ $X{\displaystyle }$= (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) A${\displaystyle }$, ${\displaystyle X=(0,\fty )A,}$의 경우에만 이러한 현상이 발생하며, 이 경우$$ 다음 특성을 나타낸다.
12. $(0,\displaystyle (0,\fty )A=X.}$
    • $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle T}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,\fty$)의$$ 모든 부분 $집합{\displaystyle }$ T ${\displaystyle$T}에 대해 표시할 수 있다.$T$${\displaystyle =}$$X}($${\displaystyle 각각}$ ${\displaystyle X}$에${\displaystyle }$대해${\displaystyle \mathrm{}}$0${\displaystyle ,x}$ ) x${\displaystyle \ne }$ ∅인 경우만$$ 해당${\displaystyle .}${\$displaystyle T\cap (0,\infit )$x\neq \$varnothing {\text{{}}}{}x\in.}마다 해당$.
13. For every ${\displaystyle x\in X,A\cap (0,\infty )x\neq \varnothing ,}$ where ${\displaystyle (0,\infty )x:=\{rx:0<r<\infty \}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\$$displaystyle 0$$\in$ A$}($$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 흡수되는$$ 데 필요한 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X}$가 아닌 $X$가 아닌 X가 아닌 모든$$ 비 0 x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x$$\in$$$$X$에 대해 위의 조건 중 하나를 점검하는 것으로 충분하다$.$

예제 및 충분한 조건

한 세트가 다른 세트를 흡수하는 경우

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to$ Y$}$을(를) 벡터 공간 사이의 선형 지도로 하고$$, $B{\displaystyle }$x X$${\$displaystyle B\subseteq$ X$}$ $및$ C${\displaystyle y}$ Y$${\$displaystyle C\subseteq Y$}을$$(를) 균형 세트로 한다.$그런{\displaystyle {}^{}}$ 다음 F${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle C}$ )${\displaystyle F^{-1(C)}$이(가) $B{\displaystyle }$. ${\displaystyle B$를 흡수하는$$ 경우에만$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) $F{\displaystyle }$(${\displaystyle B)}$ ${\$displaystystyle F$(B)}$을 흡수한다$.$$}$^[2]

세트 $A{\displaystyle }${\$displaystyle{\displaystyle }$ A}이$(가)$ 다른 세트$$ B {\$displaystyle{\displaystyle }$ B$}$을(를) $흡수$하는 경우, A$$ ${\$$displaystyle$ $A}$의 모든 Superset도 $B$. {\$displaystystyle$ B${\displaystyle .\}}$ 세트 $A$가 A. ${\displaystystyty A$의 $요소$인 경우에만 원점을 흡수한다$.$$}$

한 세트가 흡수되기 위해서

반규범 벡터 공간에서 단위 공이 흡수되고 있다.보다 일반적으로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 위상학적 벡터 공간(TV)이라면$$ X ${\displaystyle$ $X$$}$의 원점 부근은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $X$$}$에서 흡수되고 있다$$. 이 사실은$심지어{\displaystyle }$ "X . {\displaysty $X$의 흡수" 속성을 정의하는 주된 동기 중 하나이다.

X에서 만약 D∅{\displaystyle D\neq \varnothing}≠인 디스큰 다음 ⁡ D⋃ nx1∞ nD{\displaystyle \operatorname{뼘으로 재다}D=\bigcup _{n=1}^{\infty}nD}특히 길이가 너무 커서, D{D\displaystyle} 흥미진진한 부분 집합 ⁡ D.{\displaystyle \operatorname{뼘으로 재다}D.}그러므로 만약[3]로 확장{X\displaystyle}.${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$은(는) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $X$$}$의 디스크로${\displaystyle ,}$ 그러면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ X}에서 흡수되고 있는$$ 경우, 이는 스팬 ${\displaystyle D}$= ${\displaystyle X}$. ${\displaystystyle \opername}D=X$인 경우에만 해당된다$.$$}$

흡수 세트의 모든 슈퍼셋은 흡수된다.따라서 (하나 또는 그 이상의) 흡수 집단의 조합은 흡수되고 있다.(하나 이상의) 흡수 집합의 유한 집단의 교차점이 흡수되고 있다.

굴절 선형 연산자 아래에서 흡수 집합의 영상이 다시 흡수되고 있다.선형 연산자 아래 흡수 부분집합(코도메인)의 역 영상이 다시 흡수된다(영역에서).

특성.

모든 흡수 세트에는 기원이 들어 있다.

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X$$}$의 흡수 디스크인 $경우{\displaystyle }$X$${\$displaystyle$ X}에 E {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $E}$이(가) 있으며$$, $E$ + ${\displaystyle E\subseteq }$ . ${\displaystyle E+E\subseteq D.$

참고 항목

• 대수적 실내 – 위상적 실내의 일반화
• 절대 볼록 세트
• 균형 세트 – 기능 분석 시 시공
• Bornivorous 세트 – 모든 경계 서브셋을 흡수할 수 있는 세트
• 경계 집합(위상 벡터 공간) – 경계도의 일반화
• 볼록 세트 – 기하학에서 모든 선을 단일 선 세그먼트로 교차하는 세트
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈세트로 정의된 위상형 벡터 공간
• 방사형 집합
• 스타 도메인
• 대칭 집합
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

메모들

인용구

참조

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• Nicolas, Bourbaki (2003). Topological vector spaces Chapter 1-5 (English Translation). New York: Springer-Verlag. p. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
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